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2021年四川省成都市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．﹣7的倒数是（　　）
A．﹣ B． C．﹣7 D．7
2．如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆距离地球逾3亿千米的神秘火星，在火星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展．将数据3亿用科学记数法表示为（　　）
A．3×105 B．3×106 C．3×107 D．3×108
4．在平面直角坐标系xOy中，点M（﹣4，2）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣4，2） B．（4，2） C．（﹣4，﹣2） D．（4，﹣2）
5．下列计算正确的是（　　）
A．3mn﹣2mn＝1 B．（m2n3）2＝m4n6
C．（﹣m）3 m＝m4 D．（m+n）2＝m2+n2
6．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（　　）
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
7．菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是（　　）
A．34 B．35 C．36 D．40
8．分式方程+＝1的解为（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝﹣1
9．《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．4π B．6π C．8π D．12π
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）
11．（4分）因式分解：x2﹣4＝　 　．
12．（4分）如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为　 　．
13．（4分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2+2x+k与x轴只有一个交点，则k＝　 　．
14．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若点D到AB的距离为1，则BC的长为　 　．
三、解答题（本大题共6个小题，共54分，解答过程写在答题卡上）
15．（12分）（1）计算：+（1+π）0﹣2cos45°+|1﹣|．
（2）解不等式组：．
16．（6分）先化简，再求值：（1+）÷，其中a＝﹣3．
17．（8分）为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021﹣2025年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
课程 人数
篮球 m
足球 21
排球 30
乒乓球 n
根据图表信息，解答下列问题：
（1）分别求出表中m，n的值；
（2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；
（3）该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．
18．（8分）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长．（结果精确到1米；参考数据sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象相交于点A（a，3），与x轴相交于点B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．
20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．
参考答案及解析
【解析】A
解：∵﹣7×（﹣）＝1，
∴﹣7的倒数是﹣．
【解析】C
解：从上面看，底层的最右边是一个小正方形，上层是四个小正方形，右齐．
【解析】D
解：3亿＝300000000＝3×108．
【解析】C
解：点M（﹣4，2）关于x轴对称的点的坐标是（﹣4，﹣2）．
【解析】B
解：A. 3mn﹣2mn＝mn，所以本选项不合题意；
B．（m2n3）2＝m4n6，所以本选项符合题意；
C．（﹣m）3 m＝﹣m4，所以本选项不合题意；
D．（m+n）2＝m2+2mn+n2，所以本选项不合题意；
【解析】C
解：由四边形ABCD是菱形可知：AB＝AD，∠B＝∠D，
A、添加BE＝DF，可用SAS证明△ABE≌△ADF，所以不符合题意；
B、添加∠BAE＝∠DAF，可用ASA证明△ABE≌△ADF，所以不符合题意；
C、添加AE＝AD，不能证明△ABE≌△ADF，所以符合题意；
D、添加∠AEB＝∠AFD，可用AAS证明△ABE≌△ADF，所以不符合题意；
【解析】B
解：把已知数据按照由小到大的顺序重新排序后为30，34，36，40，
所以中位数为（34+36）÷2＝35．
【解析】A
解：分式方程整理得：﹣＝1，
去分母得：2﹣x﹣1＝x﹣3，
解得：x＝2，
所以分式方程的解为x＝2．
【解析】A
解：设甲需持钱x，乙持钱y，
根据题意得：
【解析】D
解：∵正六边形的外角和为360°，
∴每一个外角的度数为360°÷6＝60°，
∴正六边形的每个内角为180°﹣60°＝120°，
∵正六边形的边长为6，
∴S阴影＝＝12π，
【解析】（x+2）（x﹣2）
解：x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）．
【解析】100
解：根据题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方＝36，一直角边的平方＝64，
则斜边的平方＝36+64＝100．
【解析】1
解：由题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣4k＝0，
解得k＝1，
【解析】1+
解：过点D作DH⊥AB，则DH＝1，
由题目作图知，AD是∠CAB的平分线，
则CD＝DH＝1，
因为△ABC为等腰直角三角形，所以∠B＝45°，
因为△DHB为等腰直角三角形，所以BD＝HD＝，
所以BC＝CD+BD＝1+,
【解析】
解：（1）原式＝2+1﹣2×+﹣1
＝2+1﹣+﹣1
＝2；
（2）由①得：x＞2.5，
由②得：x≤4，
则不等式组的解集为2.5＜x≤4．
【解析】
解：原式＝
＝，
当a＝﹣3时，原式＝．
【解析】
解：（1）30÷＝120（人），
即参加这次调查的学生有120人，
选择篮球的学生m＝120×30%＝36，
选择乒乓球的学生n＝120﹣36﹣21﹣30＝33；
（2）360°×＝63°，
即扇形统计图中“足球”项目所对应扇形的圆心角度数是63°；
（3）2000×＝550（人），
答：估计其中选择“乒乓球”课程的学生有550人．
【解析】
解：延长BC交MN于点H，CD＝BE＝3.5,
设MH＝x，
∵∠MEC＝45°，所以EH＝x，
在Rt△MHB中，tan∠MBH＝＝≈0.65，
解得x＝6.5，
则MN＝1.6+6.5＝8.1≈8（米），
∴电池板离地面的高度MN的长约为8米。
【解析】
（1）∵一次函数y＝x+的图象经过点A（a，3），
∴a+＝3，
解得：a＝2，
∴A（2，3），
将A（2，3）代入y＝（x＞0），
得：3＝，
∴k＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）如图所示，过点A作AE⊥x轴于点E，
在y＝x+中，令y＝0，
得x+＝0，
解得：x＝﹣2，
∴B（﹣2，0），
∵E（2，0），
∴BE＝2﹣（﹣2）＝4，
∵△ABD是以BD为底边的等腰三角形，
∴AB＝AD，
又∵AE⊥BD，
∴DE＝BE＝4，
∴D（6，0），
设直线AD的函数表达式为y＝mx+n，
∵A（2，3），D（6，0），
∴，
解得：，
∴直线AD的函数表达式为y＝﹣x+，
联立方程组：，
解得：（舍去），，
∴点C的坐标为（4，）．
【解析】
（1）证明：连接OC,如图所示，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC,
∴∠ABC＝∠BCO,
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，
即∠ACB＝90°，
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线；
（2）过点C作CM⊥AB于点M, 过点B作BN⊥CD于点N, 如图所示：
∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2,
∴AB CM＝2，即×2 CM＝2，
∴CM＝2，
在Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA,
在Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA,
∴∠BCM＝∠A,
∴tan∠BCM＝tanA,即＝,
∴＝,
解得BM＝﹣1，BM＝+1（舍去），
∵∠BCD＝∠A,∠BCM＝∠A,
∴∠BCD＝∠BCM,
又BC＝BC,∠BMC＝∠BNC＝90°，
∴△BCM≌△BCN(AAS),
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°,∠D＝∠D,
∴△DBN∽△DCM,
∴＝＝,
即＝＝，
解得DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2;
（3）过点C作CM⊥AB于点M, 过点E作EH⊥AB于点H,连接OE, 如图所示：
∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴＝＝,
∵＝，
∴＝＝，
由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF,
Rt△OEH中，OH＝＝＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，
设HF＝x,则MF＝2x,
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，
∴(﹣1)+2x+x+(﹣2)＝2,
解得：x＝1,
∴HF＝1,MF＝2,
∴BF＝BM+MF＝(﹣1)+2＝+1．

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