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2022年上海市浦东新区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填在答题纸的相应位置上，]
1．（4分）下列二次根式中，的同类二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】将选项中的各个数化到最简，即可得到哪个数与与是同类二次根式，本题得以解决．
【解答】解：A、＝2与不是同类二次根式，错误；
B、与不是同类二次根式，错误；
C、与是同类二次根式，正确；
D、与不是同类二次根式，错误；
故选：C．
【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是明确什么是同类二次根式，注意要将数化到最简，再找哪几个数是同类二次根式．
2．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k＞1且k≠0
【分析】由方程根的个数，根据根的判别式可得到关于k的不等式，则可求得k的取值范围．
【解答】解：
∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即（﹣2）2﹣4k＞0，解得k＜1，
故选：A．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
3．（4分）如果将抛物线向右平移2个单位后得到y＝x2，那么原抛物线的表达式是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2
【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．
【解答】解：∵将抛物线向右平移2个单位后得到y＝x2，
∴抛物线y＝x2向左移2个单位得原函数解析式y＝（x+2）2，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．
4．（4分）如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为（　　）
A．0.4 B．0.36 C．0.3 D．0.24
【分析】根据乘车的人数和频率，求出总人数，再根据条形统计图给出的数据求出步行的人数，从而得出步行的频率．
【解答】解：∵乘车的有20人，它的频率是0.4，
∴总人数是＝50（人），
∴步行的频率为＝0.36；
故选：B．
【点评】此题考查了频数分布直方图，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
5．（4分）下列命题中，真命题的个数有（　　）
①长度相等的两条弧是等弧
②不共线的三点确定一个圆
③相等的圆心角所对的弧相等
④平分弦的直径必垂直于这条弦
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】对于①③，成立的条件是在同一个园内，不是真命题，②④都是真命题．
【解答】解：①在同一个园内，长度相等的两条弧是等弧，故原命题为假命题；
②不共线的三点确定一个圆，为真命题．
③在同一个圆内，故原命题为假命题；
④平分弦的直径不一定垂直弦，两条相交的直径互相平分，但不垂直，故原命题为真命题．
故真命题的个数为1个，
故选：A．
【点评】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握圆周角定理、垂径定理等知识是解答此题的关键．
6．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB＝6，BC＝4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（　　）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【分析】直接利用已知得出两圆的半径，进而得出两圆位置关系．
【解答】解：如图所示：连接MN，
可得M是AD的中点，N是BE的中点，
则MN是梯形ABED的中位线，
则MN＝（AB+DE）＝4.5，
∵EC＝3，BC＝AD＝4，
∴BE＝5，
则⊙N的半径为2.5，
⊙M的半径为2，
则2+2.5＝4.5．
故⊙M与⊙N的位置关系是：外切．
故选：B．
【点评】此题主要考查了圆与圆的位置关系，正确得出两圆心距离是解题关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．（4分）计算：（﹣a6）÷（﹣a）2＝　﹣a4　．
【分析】根据同底数幂相除的法则：底数不变，指数相减即可得出答案．
【解答】解：（﹣a6）÷（﹣a）2＝﹣（a6÷a2）＝﹣a4．
故答案为：﹣a4．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂相除的法则：底数不变，指数相减．
8．（4分）在北京冬奥运的火炬传递活动中，火炬传递的总里程大约为137000公里，用科学记数法可表示为 　1.37×105　公里．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：137000＝1.37×105．
故答案为：1.37×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（4分）不等式组的解集是 　x＜﹣2　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：由﹣x＞1，得：x＜﹣1，
由2x≤4，得：x≤2，
则不等式组的解集为x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
10．（4分）方程的解为　x＝1　．
【分析】方程两边平方，将无理方程转化为整式方程，求出x的值，经检验即可得到无理方程的解．
【解答】解：两边平方得：﹣x+2＝x2，即（x﹣1）（x+2）＝0，
解得：x＝1或x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是增根，无理方程的解为x＝1，
故答案为：x＝1
【点评】此题考查了无理方程，利用了转化的思想，解无理方程注意要验根．
11．（4分）已知反比例函数y＝，如果在每个象限内，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为 　a＞3　．
【分析】根据反比例函数的增减性，可得3﹣a＜0，解不等式即可．
【解答】解：根据题意，得3﹣a＜0，
解得a＞3，
故答案为：a＞3．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
12．（4分）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是　y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一）　．
【分析】设二次函数解析式为y＝ax2+c，将（1，﹣2）代入解析式，得到关于a、c的关系式，从而推知a、c的值．
【解答】解：∵对称轴为y轴，
∴设二次函数解析式为y＝ax2+c，
将（1，﹣2）代入解析式，得a+c＝﹣2，
不防取a＝﹣1，c＝﹣1，得解析式为y＝﹣x2﹣1，答案不唯一．
故答案为：y＝﹣x2﹣1等（答案不唯一）．
【点评】此题考查了二次函数的性质，要熟悉对称轴公式、二次函数成立的条件，要注意此题具有开放性，答案不唯一．
13．（4分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是　　．
【分析】在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称图案的卡片是圆、矩形、菱形，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中，中心对称图形有圆、矩形、菱形这3个，
∴抽到中心对称图形的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
14．（4分）在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是　6　株．
植树株数（株） 5 6 7
小组个数 3 4 3
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：这10个小组植树株数的平均数是＝6（株），
故答案为：6．
【点评】本题考查的是平均数，解题的关键是熟练掌握加权平均数的定义．
15．（4分）如图，一个高BE为米的长方体木箱沿坡比为1：的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为 　3　米．
【分析】根据坡度的概念求出∠DAF＝30°，根据正弦的定义求出DE，进而求出BD，得到答案．
【解答】解：设AB、EF交于点D，
∵斜坡的坡比为1：，
∴tan∠DAF＝＝，
∴∠DAF＝30°，
∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BDE＝60°，
在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，
∴＝，
解得，DE＝2（米），
∴BD＝1m，
∴AD＝AB﹣BD＝2（米），
在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝1（米），
∴EF＝DE+DF＝3（米），
故答案为：3．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
16．（4分）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果＝，＝，那么用、表示是 　﹣2　．
【分析】首先证明OA＝OC，OB＝OD，求出可得结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵＝+＝﹣+，
∴＝2＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．
17．（4分）一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n＝　6　．
【分析】根据正多边形内角和公式求出一个内角的度数，再根据中心角的求法求出中心角的度数列方程求解即可．
【解答】解：∵正n边形的一个内角和＝（n﹣2） 180°，
∴正n边形的一个内角＝，
∵正n边形的中心角＝，
∴＝2×，
解得，n＝6．（经检验可知n＝6是原方程的解）
故答案为：6．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角的求法．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，CD为AB边上的中线，CD＝5，以点B为圆心，r为半径作⊙B．如果⊙B与中线CD有且只有一个公共点，那么⊙B的半径r的取值范围为 　5＜r≤6或r＝　．
【分析】根据三角函数可得BC，AC，根据直角三角形斜边上的中线的性质可求CD，BD，根据三角形面积公式可求CD边的高，再根据直线与圆的位置关系即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的中线，CD＝5，
∴AB＝10，CD＝BD＝5，
∵cosA＝＝，
∴AC＝8，
∴BC＝＝＝6，
∴CD边的高＝6×8÷2÷2×2÷5＝，
∵⊙B与中线CD有且只有一个公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围为5＜r≤6或r＝．
故答案为：5＜r≤6或r＝．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的面积、直角三角形斜边上的中线、解直角三角形等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由三角函数求出BC是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
【分析】首先将括号里面通分运算，再将分子与分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝，
当时，
原式＝＝﹣7﹣4．
【点评】此题主要考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题关键．
20．（10分）解方程组：
【分析】根据平方根的意义，把方程组中①变形为：x﹣2y＝2或x﹣2y＝﹣2，它们与方程组②组成二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：由①得，x﹣2y＝2或x﹣2y＝﹣2
将它们与方程②分别组成方程组，得：
解，得；
解得．
所以原方程组的解为：，．
【点评】本题考查了二元二次方程组的解法，把组中的高次方程降次，重新得到方程组是解决本类题目的常见办法．另本题亦可把组中的②变形，用含一个未知数的代数式表示出另一个未知数，代入①解一元二次方程，先求出一个未知数的值，再求方程组的解．
21．（10分）如图，在△ABC中，sinB＝，点F在BC上，AB＝AF＝5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE：EC＝3：5，求BF的长与cotC的值．
【分析】过点A作AD⊥CB，在Rt△ABD中利用三角形的边角间关系先求出AD、BD，再利用平行线的性质求出CF、EF，最后利用直角三角形的边角间关系得结论．
【解答】解：过点A作AD⊥CB，垂足为D．
∵AB＝AF＝5，
∴BD＝FD＝BF．
在Rt△ABD中，
∵sinB＝＝，AB＝5，
∴AD＝4．
∴BD＝＝3．
∴BF＝2BD＝6．
∵EF⊥CB，AD⊥CB，
∴EF∥AD．
∴＝，
∵AE：EC＝3：5，DF＝3，
∴＝＝，＝＝＝．
∴CF＝5，EF＝．
在Rt△CEF中，
cotC＝＝2．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握“等腰三角形的三线合一”、平行线的性质、比例的性质及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
22．（10分）甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米，这样甲车将比乙车早到2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达．
（1）求甲车原计划的速度；
（2）如图是甲车行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的不完整函数图象，那么点A的坐标为 　（4，240）　，点B的坐标为 　（12，600）　，4小时后的y与x的函数关系式为 　y＝45x+60　（不要求写定义域）．
【分析】（1）设甲车原计划的速度为x千米/小时，根据图象列出方程解答即可；
（2）根据图象得出坐标和关系式即可．
【解答】解：（1）设甲车原计划的速度为x千米/小时
由题意得，
解得x1＝﹣50x2＝60
经检验，x1＝﹣50x2＝60都是原方程的解，但x1＝﹣50不符合题意，舍去
∴x＝60，
答：甲车原计划的速度为60千米/小时；
（2）4×60＝240，
所以点A的坐标为（4，240）；
点B的坐标为（12，600）；
4小时后的y与x 的函数关系式为y＝45x+60；
故答案为：（4，240）；（12，600）；y＝45x+60
【点评】本题考查了一次函数的应用及函数的图象，解答本题的关键是仔细观察所给图象，理解每个拐点的实际意义，注意数形结合思想的运用．
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E在BC的延长线，连接AE分别交BD、CD于点G、F，且＝．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若BC2＝GD BD，BG＝GE，求证：四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）欲证明AB∥CD，只要证明＝即可；
（2）利用相似三角形的性质证明BC＝CD即可解决问题；
【解答】证明：（1）∵AD∥BE，
∴＝，
∵＝
∴＝，
∴AB∥CD．
（2）∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
∵BC2＝GD BD，
∴AD2＝GD BD，
即＝，
又∵∠ADG＝∠BDA，
∴△ADG∽△BDA，
∴∠DAG＝∠ABD，
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC，
∵AD∥BC，
∴∠DAG＝∠E，
∵BG＝GE，
∴∠DBC＝∠E，
∴∠BDC＝∠DBC，
∴BC＝CD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、菱形的判定、平行线的判定等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；
（2）求tan∠BCD；
（3）点P在直线BC上，若∠PEB＝∠BCD，求点P的坐标．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出EC，BF的长，进而得出答案；
（3）分别利用①点P在x轴上方，②点P在x轴下方，分别得出点P的坐标．
【解答】解：（1）由题意得B（6，0），C（0，3），
把B（6，0）C（0，3）代入y＝ax2﹣2x+c
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：
y＝x2﹣2x+3
＝（x2﹣8x）+3
＝（x﹣4）2﹣1，
∴D（4，﹣1）；
（2）可得点E（3，0），
OE＝OC＝3，∠OEC＝45°，
过点B作BF⊥CD，垂足为点F
在Rt△OEC中，EC＝＝3，
在Rt△BEF中，BF＝BE sin∠BEF＝，
同理，EF＝，
∴CF＝3+＝，
在Rt△CBF中，tan∠BCD＝＝；
（3）设点P（m，）
∵∠PEB＝∠BCD，
∴tan∠PEB＝tan∠BCD＝，
①点P在x轴上方
∴，
解得：，
∴点P（，），
②点P在x轴下方
∴，
解得：m＝12，
∴点P（12，﹣3），
综上所述，点P（，）或（12，﹣3）．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合以及锐角三角函数关系的应用，正确分类讨论是解题关键．
25．（14分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E．
（1）求CE的长；
（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．
①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；
②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．
【分析】（1）设CE＝x，则AE＝BE＝x+2，依据勾股定理即可得到；
（2）①依据△ACE∽△PCA，即可得到AC2＝CE CP，即，进而得到；
②分两种情况讨论：若两圆外切，那么，此时方程无实数解；若两圆内切，那么，即可得到．
【解答】解：（1）∵AE∥CD，
∴＝，
∵BC＝DC，
∴BE＝AE，
设CE＝x，则AE＝BE＝x+2，
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+CE2＝AE2，即32+x2＝（x+2）2，
∴，即；
（2）①∵△ACQ∽△CPQ，∠QAC＞∠P，
∴∠ACQ＝∠P，
又∵AE∥CD，
∴∠ACQ＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠P，
∴△ACE∽△PCA，
∴AC2＝CE CP，即，
∴；
②设CP＝t，则，
∵∠ACB＝90°，
∴，
∵AE∥CD，
∴，
即＝＝，
∴，
若两圆外切，那么，
此时方程无实数解；
若两圆内切，那么，
∴15t2﹣40t+16＝0，
解之得，
又∵t＞，
∴．
【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程等知识，解题的关键是利用相似三角形的对应边成比例解决问题．
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2022年上海市浦东新区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填在答题纸的相应位置上，]
1．（4分）下列二次根式中，的同类二次根式是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＜1且k≠0 C．k＞1 D．k＞1且k≠0
3．（4分）如果将抛物线向右平移2个单位后得到y＝x2，那么原抛物线的表达式是（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2
4．（4分）如图，是某中学九（3）班学生外出方式（乘车、步行、骑车）的不完整频数（人数）分布直方图．如果乘车的频率是0.4，那么步行的频率为（　　）
A．0.4 B．0.36 C．0.3 D．0.24
5．（4分）下列命题中，真命题的个数有（　　）
①长度相等的两条弧是等弧
②不共线的三点确定一个圆
③相等的圆心角所对的弧相等
④平分弦的直径必垂直于这条弦
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（4分）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB＝6，BC＝4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（　　）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7．（4分）计算：（﹣a6）÷（﹣a）2＝　 　．
8．（4分）在北京冬奥运的火炬传递活动中，火炬传递的总里程大约为137000公里，用科学记数法可表示为 　 　公里．
9．（4分）不等式组的解集是 　 　．
10．（4分）方程的解为　 　．
11．（4分）已知反比例函数y＝，如果在每个象限内，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为 　 　．
12．（4分）请写出一个图象的对称轴为y轴，开口向下，且经过点（1，﹣2）的二次函数解析式，这个二次函数的解析式可以是　 　．
13．（4分）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是　 　．
14．（4分）在植树节当天，某校一个班的学生分成10个小组参加植树造林活动，如果10个小组植树的株数情况见下表，那么这10个小组植树株数的平均数是　 　株．
植树株数（株） 5 6 7
小组个数 3 4 3
15．（4分）如图，一个高BE为米的长方体木箱沿坡比为1：的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为 　 　米．
16．（4分）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果＝，＝，那么用、表示是 　 　．
17．（4分）一个正n边形的一个内角等于它的中心角的2倍，则n＝　 　．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，cosA＝，CD为AB边上的中线，CD＝5，以点B为圆心，r为半径作⊙B．如果⊙B与中线CD有且只有一个公共点，那么⊙B的半径r的取值范围为 　 　．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：，其中．
20．（10分）解方程组：
21．（10分）如图，在△ABC中，sinB＝，点F在BC上，AB＝AF＝5，过点F作EF⊥CB交AC于点E，且AE：EC＝3：5，求BF的长与cotC的值．
22．（10分）甲、乙两车需运输一批货物到600公里外的某地，原计划甲车的速度比乙车每小时多10千米，这样甲车将比乙车早到2小时．实际甲车以原计划的速度行驶了4小时后，以较低速度继续行驶，结果甲、乙两车同时到达．
（1）求甲车原计划的速度；
（2）如图是甲车行驶的路程y（千米）与时间x（小时）的不完整函数图象，那么点A的坐标为 　 　，点B的坐标为 　 　，4小时后的y与x的函数关系式为 　 　（不要求写定义域）．
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E在BC的延长线，连接AE分别交BD、CD于点G、F，且＝．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若BC2＝GD BD，BG＝GE，求证：四边形ABCD是菱形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝﹣x+3分别交于x轴、y轴上的B、C两点，抛物线的顶点为点D，联结CD交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式以及点D的坐标；
（2）求tan∠BCD；
（3）点P在直线BC上，若∠PEB＝∠BCD，求点P的坐标．
25．（14分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝3，以点C为圆心、CB为半径的圆交AB于点D，过点A作AE∥CD，交BC延长线于点E．
（1）求CE的长；
（2）P是CE延长线上一点，直线AP、CD交于点Q．
①如果△ACQ∽△CPQ，求CP的长；
②如果以点A为圆心，AQ为半径的圆与⊙C相切，求CP的长．
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