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微专题9 高考有关立体几何的创新问题
1
立体几何近几年考查的题目越来越新颖，考查立体几何的数学文化问题，2020年高考体现的非常明显；还考查立体几何在生活中的应用，有时还与其他知识综合进行考查；随着新高考的推进，立体几何的创新题型也不断出现．
所以FE∥GC.
又因为EF 平面A1C1CA，GC 平面A1C1CA，
所以EF∥平面A1C1CA.
(2)在线段AB上存在点P，当P是AB的中点时，
使得BC1⊥平面EFP，
如图，取AB的中点P，连接PE，PF.
因为BC1⊥平面ACC1A1，AC 平面ACC1A1，
CG 平面ACC1A1，
所以BC1⊥AC，BC1⊥CG.
在△ABC中，因为P，E分别是AB，BC的中点，所以PE∥AC.
又由(1)知FE∥CG，所以BC1⊥PE，BC1⊥EF.
【总结反思】解决有关数学文化的问题首项要读懂题意，根据题目所给的信息结合学习的知识进行求解．
1．(2020·山东省实验中学模拟)我国古籍《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上、下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相加，再乘高，最后除以6.那
么这个问题中的刍童的体积为(　　)
A．13.25立方丈 B．26.5立方丈
C．53立方丈 D．106立方丈
B
解析：由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)，故选B.
C
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
【总结反思】解决优化问题时应注意的问题
(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域；
(2)一般地，通过函数的极值来求得函数的最值．如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f′(x)＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较．
C
ABC
三、立体几何与其他知识的交汇
典例3　(2017·全国Ⅰ卷)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为________．
【总结反思】与体积、面积有关的最值问题的解题策略
空间几何体中的某些对象，如点、线、面，在约束条件下运动，带动相关的线段长度、体积等发生变化，进而就有了面积与体积的最值问题．
定性分析 在空间几何体的变化过程中，通过观察运动点的位置变化，确定其相关量的变化规律，进而发现相关面积或体积的变化规律，求得其最大值或最小值
定量分析 将所求问题转化为某一个相关量的问题，即转化为关于其中一个量的函数，求其最大值或最小值的问题．根据具体情况，有函数法、不等式法、三角函数法等多种方法可供选择
解析：如图．
6．(2020·湖北武汉模拟)已知点P为半径等于2的球O球面上一点，过OP的中点E作垂直于OP的平面截球O的截面圆为圆E，圆E的内接△ABC中，∠ABC＝90°，点B在AC上的射影为D，则三棱锥P ABD体积的最大值为________．
解析：如图，点P为半径等于2的球O球面上一点，过OP的中点E作垂直于OP的平面截球O的截面圆为圆E，圆E的内接△ABC中，∠ABC＝90°，点B在AC上的射影为D.
解：(1)证明：选择条件①：
在平行四边形ABCD中，设N是BC的中点，连接ON，如图，因为O是AD的中点，所以AB∥ON.
图1
又BO＝CO，∴ON⊥BC，
∴AB⊥BC.又在平行四边形ABCD中，BC∥AD，
∴AB⊥AD.
又AB⊥PD，且PD∩AD＝D，AD 平面PAD，PD 平面PAD，故AB⊥平面PAD.
选择条件②：
∵四边形ABCD为平行四边形，且AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形，AB⊥AD.
又AB⊥PD，且AD∩PD＝D，故AB⊥平面PAD.
(2)由(1)知AB⊥平面PAD.又AB 平面ABCD，
∴平面PAD⊥平面ABCD.如图2，连接PO，PN.
由PA＝PD，可得PO⊥AD，则PO⊥BC.又ON⊥BC，
PO∩NO＝O，∴BC⊥平面PNO，∴PN⊥BC，
图2
解：若选①，则三角形PAB为等边三角形，取AB的中点O，
连接PO，则PO⊥AB.又平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD＝AB，∴PO⊥平面ABCD.
以O为原点，直线AB为x轴，直线OP为z轴，
建立如图1所示的空间直角坐标系，
图1
取AB的中点O，连接PO，则PO⊥AB.
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
∴PO⊥平面ABCD.
以O为原点，直线AB为x轴，直线OP为z轴，
建立如图2所示的空间直角坐标系，
图2
以O为原点，直线AB为x轴，直线OP为z轴，
建立如图3所示的空间直角坐标系．
图3

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