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2022年上海高考数学模拟卷（二）
注意事项：
1．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．已知集合A={，∈Z}，用列举法表示集合A为 ．
2．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为 ．
3．不等式的解集是 ．
4．已知，则= ．
5． 若＝(2， 4)是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为 ．
6．若复数z满足0，则z= ．
7．若的二项展开式中前3项的系数成等差数列，则其各项系数之和
为 ．
8．若函数的值域是，则函数的值域
是 ．
9．有七名同学排队进行核酸检测，其中小王站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起，则不同的排队法有 ．
10．设为等比数列{}的前n项和，若＞0，，＜2，则{}的公比的取值范围是 ．
11． 已知椭圆（）与直线交于、两点，，
且中点的坐标为，则此椭圆的方程为 ．
12． 若数列满足，存在，对任意，使得，则的取值范围是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）
13. 下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
14． 已知等比数列{}的公比为（），是{}的前项和．则“数列{}单调递减”是“，”的（ ）条件
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
15. 设函数，若对于任意在区间上总存在唯一确定的，使得则的最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
16. 已知平面向量满足，且. 若对每一个确定的向量，记的最小值为m. 现有如下两个命题
命题 当变化时，m的最大值为；
命题：当变化时，m不存在最小值；
则下列选项中，正确的是 （ ）
A、为真命题为假命题 B、为假命题为真命题
C、都为真命题 D、都为假命题
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)
如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，高等于3，
点、、、为所在线段的三等分点.
（1）求此三棱柱的体积和三棱锥的体积；
（2）求异面直线、所成的角的大小
18．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)
设{}是等差数列，公差为，前项和为．
（1）设，求的最大值；
（2）设＝1， (n∈N*)，数列{}的前项和为，且对任意的n∈N*，都有≤20，求的取值范围．
19．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分)
如图1，某小区中有条长为50米，宽为6.5米的道路ABCD，在路的一侧可以停放汽车，已知小型汽车的停车位是一个2.5米宽，5米长的矩形，如GHPQ，这样该段道路可以划出10个车位，随着小区居民汽车拥有量的增加，停车难成为普遍现象．经过各方协商，小区物业拟压缩绿化，拓宽道路，改变车位方向增加停车位，如图2，改建后的通行宽度保持不变，即G到AD的距离不变．
（1）绿化被压缩的宽度BE与停车位的角度∠HPE有关，记d=BE，∠HPE=θ，为停车方便，要求30°＜θ＜60°，写出d关于θ的函数表达式d（θ）；
（2）沿用（1）的条件和记号，实际施工时，BE=3米，问改造后的停车位增加了多少个？
20．(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分)
已知、为椭圆（）和双曲线的公共顶点，、
分别为双曲线和椭圆上不同于、的动点，且满足（，），设直线、、、的斜率分别为、、、.
（1）求证：点、、三点共线；
（2）当，时，若点、都在第一象限，且直线的斜率为，求
△的面积；
（3）若、分别为椭圆和双曲线的右焦点，且∥，求的值.
21．(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分)
已知函数，其中．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）记点，求证：存在实数a，使得点P在函数图象上的充要条件是；
（3）对于给定的非负实数a，求最小的实数，使得关于的不等式对一切恒成立．2022年上海高考数学模拟卷（二）
注意事项：
1．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟；
2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1．已知集合A={，∈Z}，用列举法表示集合A为 ．
【答案】集合A={x|x2-3x≤0，x∈Z}={x|0≤x≤3}={0，1，2，3}．
故答案为：{0，1，2，3}．
2．若两个球的表面积之比为1：4，则这两个球的体积之比为 ．
【答案】由已知两个球的表面积之比是1：4，所以两个球的半径之比是1：2，所以两个球的体积之比1：8；故答案为：1：8．
3．不等式的解集是 ．
【答案】
所以，即.
4．已知，则= ．
【答案】
5． 若＝(2， 4)是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为 ．
【答案】∵＝(2， 4)是直线l的一个方向向量，
∴直线l的斜率k==，
∴直线l的倾斜角大小为π-arctan2．
故答案为：π-arctan2．
6．若复数z满足=0，则z= ．
【答案】因为=0，所以z2+4=0，即z2=-4，
所以z=±2i．故答案为：±2i．
7．若的二项展开式中前3项的系数成等差数列，则其各项系数之和为
．
【答案】∵的二项展开式中前3项的系数成等差数列，
∴，n2-9n+8=0，求得n=8 或n=1（舍去），
则其各项系数之和为==6561，
故答案为：6561．
8．若函数的值域是，则函数的值域是 ．
【答案】函数的值域是∴的值域为,
再根据在上单调递减，在[1，3]上单调递增，
又，所以原函数值域为．
9．有七名同学排队进行核酸检测，其中小王站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起，则不同的排队法有 ．
【答案】先把小李和小张安排好，即，然后把其他四个人全排列即
所以共有种情况.
10．设为等比数列{}的前n项和，若＞0，，＜2，则{}的公比的取值范围是 ．
【答案】
又＜2恒成立，所以，
所以恒成立，
即，
当，随着的增大在减小，所以当时，最大即，
所以只需，解的
故{}的公比的取值范围是(0，]．
11． 已知椭圆（）与直线交于、两点，，
且中点的坐标为，则此椭圆的方程为 ．
【答案】直线与轴交于，与轴交于，
根据对称性得椭圆经过，，所以，即方程为.
12． 若数列满足，存在，对任意，使得，则的取值范围是 ．
【答案】
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题５分）
13. 下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】解：A:因为为减函数，所以为增函数；
B: 对称轴为，图象开口向上，所以在上为增函数；
C:因为在定义域上为减函数，所以在定义域上为增函数；
D:当时，为减函数，当时，为减函数，且，
所以在定义域上为减函数.
故选:D.
14． 已知等比数列{}的公比为（），是{}的前项和．则“数列{}单调递减”是“，”的（ ）条件
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由a1＞a3，S2＞S4，可得a1＞a1q2，a1+a1q＞a1+a1q+a1q2+a1q3，
即为a1（1-q2）＞0，a1（1+q）＜0，
若a1＞0，则-1＜q＜1，且q≠0，又q＜-1，可得q∈ ；
若a1＜0，则q＞1或q＜-1，又q＞-1，可得q＞1，
综上可得，数列{an}单调递减；
但“数列{an}单调递减“推不到“a1＞a3，S2＞S4”，
所以“数列{an}单调递减”是“a1＞a3，S2＞S4”的必要不充分条件，
故选：B．
15. 设函数，若对于任意在区间上总存在唯一确定的，使得则的最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
【参考答案】B
【解析】画出图像，，所以的最小值为，选B
16. 已知平面向量满足，且. 若对每一个确定的向量，记的最小值为m. 现有如下两个命题
命题 当变化时，m的最大值为；
命题：当变化时，m不存在最小值；
则下列选项中，正确的是 （ ）
A、为真命题为假命题 B、为假命题为真命题
C、都为真命题 D、都为假命题
【参考答案】A
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤．
17．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)
如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，高等于3，
点、、、为所在线段的三等分点.
（1）求此三棱柱的体积和三棱锥的体积；
（2）求异面直线、所成的角的大小
【答案】（1） ， ……2分
，到平面的距离等于，即到平面的距离等
于，
三棱柱 的体积等于（立方单位），三棱锥的体积等于（立方单位）……………7分
（2）取线段的三等分点，，连，.
∥，∥， 的大小等于异面直线，所成的角或其补角的大小.…………9分
， ， .
.
异面直线，所成的角的大小等于.………………14分
18．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分)
设{}是等差数列，公差为，前项和为．
（1）设，求的最大值；
（2）设＝1， (n∈N*)，数列{}的前项和为，且对任意的n∈N*，都有≤20，求的取值范围．
【答案】（1）=40，，可得，
可得，
由为正整数，可得或101时，取得最大值2020.
（2）由题得，
所以是以2为首项，为公比的等比数列，
当时，，此时，不可能小于等于20恒成立，舍去；
当时，单调递增，无最大值，舍去；
当时，，随着的增大，在增大，
所以对任意的n∈N*，都有≤20，只需即可
即.
19．(本题满分 14 分，第 1 小题满分 7 分，第 2 小题满分 7 分)
如图1，某小区中有条长为50米，宽为6.5米的道路ABCD，在路的一侧可以停放汽车，已知小型汽车的停车位是一个2.5米宽，5米长的矩形，如GHPQ，这样该段道路可以划出10个车位，随着小区居民汽车拥有量的增加，停车难成为普遍现象．经过各方协商，小区物业拟压缩绿化，拓宽道路，改变车位方向增加停车位，如图2，改建后的通行宽度保持不变，即G到AD的距离不变．
（1）绿化被压缩的宽度BE与停车位的角度∠HPE有关，记d=BE，∠HPE=θ，为停车方便，要求30°＜θ＜60°，写出d关于θ的函数表达式d（θ）；
（2）沿用（1）的条件和记号，实际施工时，BE=3米，问改造后的停车位增加了多少个？
【答案】（1）由题意，
所以
又，所以，
又，得，
所以
（2）由（1）得
解得或；
又，所以不合题意舍去.
由得
图2改造后的停车位个，由题意得
所以解得
又，所以.
又图（1）车位数为个，
所以改造后的停车位增加了5个.
20．(本题满分 16 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分)
已知、为椭圆（）和双曲线的公共顶点，、
分别为双曲线和椭圆上不同于、的动点，且满足（，），设直线、、、的斜率分别为、、、.
（1）求证：点、、三点共线；
（2）当，时，若点、都在第一象限，且直线的斜率为，求
△的面积；
（3）若、分别为椭圆和双曲线的右焦点，且∥，求的值.
【答案】（1）不妨设、，为AB中点，
∴，， ……2分
∴，∴点、、三点共线. ……4分
（2）， ……5分
， ……6分
，点B到直线PQ的距离为， ……8分
∴. ……10分
方法2：， ……5分
， ……6分
……8分 .……10分
（3）不妨设、，，
，，，，
，， ……12分
∵∥，根据相似比关系，
∴， ……14分
∵，，，
∴，， ……16分
代入上式∴. ……18分
21．(本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分)
已知函数，其中．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）记点，求证：存在实数a，使得点P在函数图象上的充要条件是；
（3）对于给定的非负实数a，求最小的实数，使得关于的不等式对一切恒成立．
【答案】解：（1）函数fa（x）的定义域为R，当a＝0时，fa（x）＝2|x|为偶函数；
当a≠0时，由f（a）＝|a|，f（﹣a）＝3|a|，可得f（﹣a）≠f（a），且f（﹣a）≠﹣f（a），
则fa（x）＝|x|+|x﹣a|为非奇非偶函数；
（2）证明：充分性：已知y0≥|x0|，取a0＝x0+y0﹣|x0|，
则fa（x0）＝|x0|+|x0﹣a0|＝|x0|+|x0﹣（x0+y0﹣|x0|）|
＝|x0|+|y0﹣|x0||＝|x0|+y0﹣|x0|＝y0，所以点P在函数y＝f （x）图象上．
必要性：已知存在实数a，使得点P在函数y＝fa（x）图象上，
则y0＝fa（x0）＝|x0|+|x0﹣a|≥|x0|．
综上可得，存在实数a，使得点P在函数y＝fa（x）图象上的充要条件是y0≥|x0|；
（3）由于a≥0可得fa（x），具有如下两个性质，
1）对任意的0≤x1＜x2，均有fa（x1）≤fa（x2）；
2）对任意负实数x0，不等式fa（x）＜fa（x0）的解集为（x0，a﹣x0）．
①当a≥1时，l（a）的最小值为0，理由如下：若l（a）＜0，
取x0＝l（a），x0＜x0+1＝l（a）+1≤a＜a﹣x0，
由性质2）可得，fn（x0）＞fa（x0+1），即l（a）＜0不满足．
由性质1）可得，l（a）＝0满足．
②当0≤a＜1时，l（a）的最小值为．理由如下：
若l（a），取x0＝l（a），x0＜x0+1＝l（a）+1＜a﹣l（a）＝a﹣x0，
由性质2）可得，fa（x0）＞fa（x0+1），即l（a）不满足；
若l（a），当x≥0时，由性质1）可得，fa（x+1）≥fa（x），
当x＜0时，x+1＞a﹣x，由性质2）fa（x+1）≥fa（x），
所以fa（x+1）≥fa（x）对任意的x∈[，+∞）恒成立，即l（a）满足．
综上可得，l（a）min．

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