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§8.2　两条直线的位置关系
考试要求　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．
知识梳理
1．两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0
垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1与v2 不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝.
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝.
常用结论
1．直线系方程
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
2．五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2 l1∥l2.(　×　)
(2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　×　)
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　×　)
(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(　√　)
教材改编题
1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为(　　)
A．2 B.
C. D.
答案　C
解析　点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝＝.
2．直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于(　　)
A．2 B．－3
C．2或－3 D．－2或－3
答案　C
解析　直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠(m≠0)，故m＝2或－3.故选C.
3．直线l1：2x＋y－1＝0和l2：x－2y＋7＝0的交点的坐标为________．
答案　(－1,3)
解析　解方程组得
所以两条直线交点的坐标为(－1,3).
题型一　两条直线的平行与垂直
例1　(1)(2022·杭州模拟)已知直线l1：ax＋(a＋2)y＋1＝0，l2：x＋ay＋2＝0(a∈R)，则“ea＝”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　当l1∥l2时，
解得a＝－1或a＝2.
而由ea＝，解得a＝－1，
所以“ea＝”是“l1∥l2”的充分不必要条件．
(2)(2022·长春模拟)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则直线l的方程为(　　)
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
答案　C
解析　∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，
∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，
∵直线l经过点(1，－1)，
∴1－2＋c＝0，即c＝1.
直线l的方程为x＋2y＋1＝0.
教师备选
1．“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由l1⊥l2，得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，
∴m＝3或m＝－2，
∴“m＝3”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
2．已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0或4x＋3y＋5＝0平行时，m＝或m＝－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－.所以实数m的取值集合为.
思维升华 判断两条直线位置关系的注意点
(1)斜率不存在的特殊情况．
(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．
跟踪训练1　(1)(2022·荆门模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的顶点A(2,0)，B(1,2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)
A．x－2y－4＝0 B．2x＋y－4＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．2x－4y＋1＝0
答案　D
解析　由题设，可得kAB＝＝－2，
且AB的中点为，
∴AB垂直平分线的斜率k＝－＝，
故AB的垂直平分线方程为y＝＋1＝＋，
∵AC＝BC，则△ABC的外心、重心、垂心都在AB的垂直平分线上，
∴△ABC的欧拉线的方程为2x－4y＋1＝0.
(2)已知两直线l1：x＋ysin α＋1＝0和l2：2xsin α＋y＋1＝0.若l1∥l2，则α＝________.
答案　kπ±，k∈Z
解析　由A1B2－A2B1＝0，得1－2sin2α＝0，
所以sin α＝±.
又A1C2－A2C1≠0，
所以1－2sin α≠0，即sin α≠.
所以α＝kπ±，k∈Z.
故当α＝kπ±，k∈Z时，l1∥l2.
题型二　两直线的交点与距离问题
例2　(1)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax＋3y－4＝0间的距离为d，则a，d的值分别为(　　)
A．a＝6，d＝ B．a＝－6，d＝
C．a＝6，d＝ D．a＝－6，d＝
答案　B
解析　由题知2×3＝－a，解得a＝－6，
又－6x＋3y－4＝0可化为2x－y＋＝0，
∴d＝＝.
(2)已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________．
答案　4x－y－2＝0或x＝1
解析　若所求直线的斜率存在，则可设其方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，
由题设有＝，
即|k－1|＝|7－k|，解得k＝4.
此时直线方程为4x－y－2＝0.
若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x＝1，满足题设条件．
故所求直线的方程为4x－y－2＝0或x＝1.
教师备选
1．经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．
答案　4x＋3y－6＝0
解析　由方程组得
即P(0,2)．
因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－，
所以直线l的方程为y－2＝－x，
即4x＋3y－6＝0.
2．直线l1经过点(3,0)，直线l2经过点(0,4)，且l1∥l2，d表示l1和l2之间的距离，则d的取值范围是________．
答案　(0,5]
解析　当直线l1，l2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时，
dmax＝＝5；
当直线l1和l2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合．
所以0＜d≤5.
思维升华　利用距离公式应注意的点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|.
(2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．
跟踪训练2　(1)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，
所以|PQ|的最小值为.
(2)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B. C. D．2
答案　B
解析　由y＝k(x＋1)可知直线过定点P(－1,0)，设A(0，－1)，当直线y＝k(x＋1)与AP垂直时，点A到直线y＝k(x＋1)的距离最大，即为|AP|＝.
题型三　对称问题
命题点1　点关于点中心对称
例3　过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________．
答案　x＋4y－4＝0
解析　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
命题点2　点关于直线对称
例4　若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________.
答案　
解析　由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y＝2x－3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的垂直平分线，
于是
解得故m＋n＝.
命题点3　线关于线对称
例5　直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为(　　)
A．4x－2y－1＝0 B．4x－2y＋1＝0
C．4x＋2y＋1＝0 D．4x＋2y－1＝0
答案　A
解析　设直线2x－4y－1＝0上一点P(x0，y0)关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为P′(x，y)，
则
整理可得
∴－2y＋4x－1＝0，
即直线2x－4y－1＝0关于x＋y＝0对称的直线方程为4x－2y－1＝0.
教师备选
1．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为(　　)
A．2 B．1 C. D.
答案　D
解析　以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4,0)，C(0,4)，A(0,0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0.设P(t，0)(0(－t，0)，根据反射定律可知直线P1P2就是光线RQ所在的直线，由P1，P2两点的坐标可得直线P1P2的方程为y＝·(x＋t)．设△ABC的重心为G，易知G.因为重心G在光线RQ上，所以＝·，得t＝(t＝0舍去)，即|AP|＝.
2．已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________．
答案　2x－y＋3＝0
解析　易得A不在l1和l2上，因此l1，l2为∠B，∠C的平分线，所以点A关于l1，l2的对称点在BC边所在的直线上，
设点A关于l1的对称点为A1(x1，y1)，点A关于l2的对称点为A2(x2，y2)．
则
解得
所以A1(0,3)，又易得点A关于l2的对称点A2的坐标为(－2，－1)，
所以BC边所在直线的方程为＝，
即2x－y＋3＝0.
思维升华　对称问题的求解策略
(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．
(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
跟踪训练3　已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l′的方程．
解　(1)设A′(x，y)，由已知条件得
解得∴A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
由得N(4,3)．
又m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)方法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，
如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，
易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)，
再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
方法二　∵l∥l′，
∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)．
∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，
∴由点到直线的距离公式，
得＝，
解得C＝－9，∴l′的方程为2x－3y－9＝0.
课时精练
1．过点A(2,3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为(　　)
A．x－2y＋4＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋5＝0
答案　A
解析　由题意可设所求直线方程为x－2y＋m＝0，将A(2,3)代入上式得2－2×3＋m＝0，即m＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.
2．过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为(　　)
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．19x－3y＝0 D．3x＋19y＝0
答案　D
解析　方法一　解方程组可得直线l1和l2的交点坐标为，又所求直线过原点，所以所求的直线方程为y＝－x，即3x＋19y＝0.
方法二　根据题意可设所求的直线方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－，所以所求直线的方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.
3．(2022·漳州质检)已知a2－3a＋2＝0，则直线l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为(　　)
A．垂直或平行 B．垂直或相交
C．平行或相交 D．垂直或重合
答案　D
解析　因为a2－3a＋2＝0，所以a＝1或a＝2.
当a＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：4x－2y－3＝0，
k1＝－，k2＝2，
所以k1·k2＝－1 ，则两直线垂直；
当a＝2时，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y－2＝0，则两直线重合．
4．点P(2,5)关于x＋y＋1＝0对称的点的坐标为(　　)
A．(6,3) B．(3，－6)
C．(－6，－3) D．(－6,3)
答案　C
解析　设点P(2,5)关于x＋y＋1＝0的对称点为Q(a，b)，
则
解得即P(2,5)关于x＋y＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．
5．已知直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0，若l1∥l2，则a的值为(　　)
A．1 B．2 C．6 D．1或2
答案　C
解析　∵直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x－y＋a＝0的斜率都存在，且l1∥l2，
∴k1＝k2，即－＝3－a，解得a＝6.
6．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)，若直线l上存在点P使得|PA|＋|PB|最小，则点P的坐标为(　　)
A．(－2，－3) B．(－2,3)
C．(2,3) D．(－2,2)
答案　B
解析　根据题意画出大致图象，如图．
设点A关于直线x－2y＋8＝0的对称点为
A1(m，n)．
则有
解得
故A1(－2,8)．
此时直线A1B的方程为x＝－2.所以当点P是直线A1B与直线x－2y＋8＝0的交点时，|PA|＋|PB|最小，将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为(－2,3)．
7．(多选)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－
D．若l1⊥l2，则m＝
答案　BD
解析　直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，若l1∥l2，则＝≠－，解得m＝3，故A错误，B正确；若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝，故C错误，D正确．
8．(多选)(2022·苏州模拟)已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，a∈R，以下结论正确的是(　　)
A．不论a为何值时，l1与l2都互相垂直
B．当a变化时，l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(－1,0)
C．不论a为何值，l1与l2都关于直线x＋y＝0对称
D．如果l1与l2交于点M，O为坐标原点，则|MO|的最大值是
答案　ABD
解析　对于A，a×1＋(－1)×a＝0恒成立，l1与l2互相垂直恒成立，故A正确；
对于B，直线l1：ax－y＋1＝0，当a变化时，x＝0，y＝1恒成立，
所以l1恒过定点A(0,1)；
l2：x＋ay＋1＝0，当a变化时，x＝－1，y＝0恒成立，
所以l2恒过定点B(－1,0)，故B正确；
对于C，在l1上任取点，
其关于直线x＋y＝0对称的点的坐标为，
代入l2：x＋ay＋1＝0，则左边不恒等于0，故C不正确；
对于D，联立解得
即M，
所以|MO|＝＝≤，
所以|MO|的最大值是，故D正确．
9．(2022·邯郸模拟)直线l1：x＋ay－2＝0(a∈R)与直线l2：y＝x－1平行，则a＝________，l1与l2的距离为________．
答案　－　
解析　由题可知直线l1的斜率为－(a≠0)，
直线l2的斜率为，
所以－＝，
解得a＝－，
则直线l1：x－y－2＝0，即3x－4y－6＝0，
直线l2：y＝x－1，即3x－4y－4＝0，
所以它们之间的距离为d＝＝.
10．直线3x－4y＋5＝0关于直线x＝1对称的直线的方程为________．
答案　3x＋4y－11＝0
解析　直线3x－4y＋5＝0与x＝1的交点坐标为(1,2)，又直线3x－4y＋5＝0的斜率为，所以关于直线x＝1对称的直线的斜率为－，故所求直线的方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋4y－11＝0.
11．已知直线l1：ax＋y＋3a－4＝0，则原点O到l1的距离的最大值是________．
答案　5
解析　直线l1：ax＋y＋3a－4＝0等价于a(x＋3)＋y－4＝0，
则直线过定点A(－3,4)，
当原点到l1的距离最大时，满足OA⊥l1，
此时原点到l1的距离的最大值为
|OA|＝＝5.
12．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1与l2之间的距离最大时，直线l1的方程是____________．
答案　x＋2y－3＝0
解析　当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2之间的距离最大．
因为A(1,1)，B(0，－1)，
所以kAB＝＝2，
所以两平行直线的斜率k＝－，
所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
13．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)
A．3 B．2 C．3 D．4
答案　A
解析　∵l1∥l2，
∴AB的中点M的轨迹是平行于l1，l2的直线，且到l1，l2的距离相等，易求得M所在直线的方程为x＋y－6＝0.
∴中点M到原点的最小距离为原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.
14．(多选)(2022·南通调研)在平面直角坐标系Oxy中，点P在曲线y＝x＋(x>0)上，则点P到直线3x－4y－2＝0的距离可以为(　　)
A. B．1
C. D.
答案　CD
解析　设点P(x0，y0)，
y＝f(x)＝x＋(x>0)，
则f′(x0)＝1－，点P与直线3x－4y－2＝0的最小距离，即为点P处的切线的斜率等于直线3x－4y－2＝0的斜率时的情况，即满足1－＝，
解得x0＝2，
所以y0＝2＋＝，
所以点P，
所以点P到直线3x－4y－2＝0的距离的最小值为d＝＝，
故只需满足d≥即可．
15．(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.以下命题不正确的是(　　)
A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行
B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直
C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直
D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交
答案　BCD
解析　设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
对于A，若d1＝d2＝1，
则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直线P1P2与直线l平行，正确；
对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，直线P1P2不一定与l垂直，错误；
对于C，若d1＝d2＝0，满足d1＋d2＝0，
即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，
则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；
对于D，若d1·d2≤0，
即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，
所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，
所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．
16．(多选)(2022·武汉调研)台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD，AB＝2AD，现从角落A沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C的球袋中，则tan α的值可能为(　　)
A. B. C．1 D.
答案　AD
解析　如图1，A关于DC的对称点为E，D关于AB的对称点为G，C关于AB的对称点为F，连接GF，EF，
由题可得tan α＝＝＝.
　
　　　　 图1　　　　　 图2
如图2，A关于BC的对称点为G，B关于AD的对称点为F，C关于AD的对称点为E，连接EF，EG，
由题可得tan α＝＝＝.

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