资源简介

§8.1　直线的方程
考试要求　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
知识梳理
1．直线的方向向量
设A，B是直线上的两点，则就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
常用结论
直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀：
1．“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　√　)
(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan　α.(　×　)
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　×　)
(4)截距可以为负值．(　√　)
教材改编题
1．若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1　　 B．4
C．1或3　　 D．1或4
答案　A
解析　由题意得＝1，解得m＝1.
2．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　)
A．x－y＋1＝0　　 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0　　 D．x＋y＋1＝0
答案　D
解析　直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0.
3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
答案　3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，
设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，
解得a＝5.
所以直线方程为x＋y－5＝0.
题型一　直线的倾斜角与斜率
例1　(1)直线2xcos α－y－3＝0的倾斜角的变化范围是(　　)
A.　　 B.
C.　　 D.
答案　B
解析　直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α.
由于α∈，
所以≤cos α≤，
因此k＝2cos α∈[1，]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，]．
由于θ∈[0，π)，
所以θ∈，即倾斜角的变化范围是.
(2)过函数f(x)＝x3－x2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为(　　)
A.　　 B.∪
C.　　 D.
答案　B
解析　设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)，
∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴切线的斜率k＝tan α≥－1，
则α∈∪.
教师备选
1．(2022·潮州模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　)
A．k≥　　 B．k≤－2
C．k≥或k≤－2　　 D．－2≤k≤
答案　D
解析　直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，
∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，
∴－2≤k≤.
2．若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，则k的取值范围是________．
答案　[－，0)∪
解析　当α∈时，
k＝tan　α∈；
当α∈时，k＝tan α∈[－，0)．
综上得k∈[－，0)∪.
思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．
跟踪训练1　(1)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A.　　 B.
C.∪　　　 D.∪
答案　B
解析　依题意，直线的斜率k＝－∈[－1,0)，因此其倾斜角的取值范围是.
(2)若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为________，______.
答案　　－3
解析　如图，在正方形OABC中，对角线OB所在直线的斜率为2，建立如图所示的平面直角坐标系．设对角线OB所在直线的倾斜角为θ，则tan θ＝2，由正方形的性质可知，直线OA的倾斜角为θ－45°，直线OC的倾斜角为θ＋45°，
故kOA＝tan(θ－45°)＝
＝＝，
kOC＝tan(θ＋45°)＝＝＝－3.
题型二　求直线的方程
例2　(1)已知直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为(　　)
A．y－3＝－(x＋4) B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝(x＋4) D．y＋3＝－(x－4)
答案　C
解析　方法一　因为直线l的一个方向向量为
n＝(2,3)，
所以直线l的斜率k＝，
故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．
方法二　设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，则＝(x＋4，y－3)，
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，
即直线l的方程为y－3＝(x＋4)．
(2)(多选)过点(－3,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程可能是(　　)
A．x＋3y＝0　　 B．x＋y＋2＝0
C．x－y＋2＝0　　 D．x－3y＝0
答案　AB
解析　当截距均为0时，设直线的方程为y＝kx，将点(－3,1)的坐标代入得k＝－，此时直线的方程为x＋3y＝0；当截距均不为0时，设直线的方程为＋＝1，将点(－3,1)的坐标代入得a＝－2，此时直线的方程为x＋y＋2＝0.
教师备选
1．已知A(－1,1)，B(3,1)，C(1,3)，则△ABC的边BC上的高所在的直线方程为(　　)
A．x＋y＝0　　 B．x－y＋2＝0
C．x＋y＋2＝0　　 D．x－y＝0
答案　B
解析　因为B(3,1)，C(1,3)，所以kBC＝＝－1，故BC边上的高所在直线的斜率k＝1，又高线经过点A(－1,1)，所以其所在的直线方程为x－y＋2＝0.
2．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是(　　)
A．x＋y－3＝0　　 B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0　　 D．3x＋y－6＝0
答案　D
解析　设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tan＝＝－3，又点M(2,0)，
所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
思维升华　求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
跟踪训练2　(1)已知△ABC的三个顶点坐标为A(1,2)，B(3,6)，C(5,2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在直线的方程为(　　)
A．2x＋y－12＝0　　 B．2x－y－12＝0
C．2x＋y－8＝0　　 D．2x－y＋8＝0
答案　C
解析　由题知M(2,4)，N(3,2)，中位线MN所在直线的方程为＝，
整理得2x＋y－8＝0.
(2)过点(2,1)且在x轴上截距与在y轴上截距之和为6的直线方程为______________．
答案　x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
解析　由题意可设直线方程为＋＝1.
则
解得a＝b＝3或a＝4，b＝2.故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
题型三　直线方程的综合应用
例3　已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
解　方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A，B(0,1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)·
＝≥×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立．
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
方法二　设直线l：＋＝1，
且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2,1)，
所以＋＝1，
则1＝＋≥2，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，
当且仅当＝＝时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0.
延伸探究
1．在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解　由本例方法二知，＋＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·
＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当a＝2＋，b＝1＋时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y＝2＋.
2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解　方法一　由本例方法一知A，B(0,1－2k)(k＜0)．
所以|MA|·|MB|＝·
＝2×＝2≥4.
当且仅当－k＝－，
即k＝－1时取等号．
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
方法二　由本例方法二知A(a，0)，B(0，b)，a＞0，b＞0，＋＝1.
所以|MA|·|MB|＝||·||
＝－·
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)－5
＝2≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
教师备选
如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，但△EFA内部为文物保护区，不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
解　如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则E(30,0)，F(0,20)，
∴直线EF的方程为＋＝1.
易知当矩形草坪的两邻边在BC，CD上，且一个顶点在线段EF上时，可使草坪面积最大，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，
设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)，
又＋＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20－m，
∴S＝(100－m)
＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)，
∴当m＝5时，S有最大值，此时＝5，
∴当矩形草坪的两邻边在BC，CD上，一个顶点P在线段EF上，且|EP|＝5|PF|时，草坪面积最大．
思维升华　直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
跟踪训练3　已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
(1)证明　直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．
(2)解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有
解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解　由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A，B(0,1＋2k)．
依题意得
解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
课时精练
1．已知直线l过点(－2,1)，且倾斜角是，则直线l的方程是(　　)
A．x＋y＋1＝0　　 B．y＝－x
C．x＋2＝0　　 D．y－1＝0
答案　C
解析　由于直线l过点(－2,1)，且倾斜角是，则直线l的方程为x＝－2，即x＋2＝0.
2．(2022·芜湖模拟)倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为(　　)
A．y＝－x＋2　　 B．y＝－x－2
C．y＝x＋2　　 D．y＝x－2
答案　B
解析　斜率为tan 120°＝－，利用斜截式直接写出方程，即y＝－x－2.
3．过点(－1,0)，且方向向量为a＝(5，－3)的直线的方程为(　　)
A．3x＋5y－3＝0　　 B．3x＋5y＋3＝0
C．3x＋5y－1＝0　　 D．5x－3y＋5＝0
答案　B
解析　方法一　设直线上任意一点P(x，y)，则向量(x＋1，y)与a＝(5，－3)平行，
则－3(x＋1)－5y＝0，即3x＋5y＋3＝0.
方法二　因为直线的方向向量为a＝(5，－3)，
所以所求直线的斜率k＝－，
故所求直线的方程为y＝－(x＋1)，
即3x＋5y＋3＝0.
4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有(　　)
A．a＞0，c＞0　　 B．a＞0，c＜0
C．a＜0，c＞0　　 D．a＜0，c＜0
答案　A
解析　因为直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，所以直线的斜率a＞0，在y轴上的截距c＞0.
5．(2022·衡水模拟)1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为(　　)
A．0°　　B．1°　　C．2°　　D．3°
答案　C
解析　∵O，O3都为五角星的中心点，
∴OO3平分第三颗小星的一个角，
又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，
过O3作x轴的平行线O3E，如图，
则∠OO3E＝α≈16°，
∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.
6．直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是(　　)
A．－1＜k＜　　 B．k＞1或k＜
C．k＞1或k＜　　 D．k＞或k＜－1
答案　D
解析　设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－，
令－3＜1－＜3，
解不等式可得k>或k<－1.
7．(多选)若直线过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程为(　　)
A．x－y＋1＝0　　 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0　　 D．x－y－1＝0
答案　ABC
解析　当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，
所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，
设所求的直线方程为x±y＝a，
把点A(1,2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，
求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
综上知，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
8．(多选)垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是(　　)
A．4　　B．－4　　C．3　　D．－3
答案　CD
解析　设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－，－，所以6＝××＝.
所以d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.
9．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．
答案　5x＋3y＝0或x－y＋8＝0
解析　①当直线过原点时，直线方程为y＝－x，即5x＋3y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a，代入点(－3,5)，得a＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.综上，直线方程为5x＋3y＝0或x－y＋8＝0.
10．直线l过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b)在l上，则b的值为________．
答案　2 023
解析　直线l的方程为＝，
即＝，即y＝2x＋1.
令x＝1 011，得y＝2 023，
∴b＝2 023.
11．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝________.
答案　5　1
解析　因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－x＋2，由题意得－＝－1，解得k＝5.直线l的方程可化为＋＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
12．已知点M是直线l：y＝x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________．
答案　x＝－或y＝(x＋)
解析　在y＝x＋3中，令y＝0，得x＝－，即M(－，0)．因为直线l的斜率为，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan 30°＝，故其方程为y＝(x＋)．
13．直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)
A.　　 B.
C.∪　　 D.∪
答案　C
解析　直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，
∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.
倾斜角和斜率的关系如图所示，
∴该直线倾斜角的取值范围为∪.
14．已知直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，直线恒过定点(　　)
A.　　 B.
C.　　 D.
答案　D
解析　直线方程可化为2x＋1－m(y＋3)＝0，
令得
∴直线恒过定点.
15．(多选)已知直线xsin α＋ycos α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是(　　)
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线不过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
答案　BD
解析　根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin　α＋ycos α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B正确；当α＝时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝·＝≥1，所以D正确．
16．若ab>0，且A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
答案　16
解析　根据A(a，0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又因为C(－2，－2)在该直线上，
故＋＝1，
所以－2(a＋b)＝ab.
又因为ab>0，故a<0，b<0.
根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≤0(舍去)或≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.

展开更多......

收起↑