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北师大版数学七年级下期第四章三角形
证明题训练2（证明位置关系）
如图，在△ABF和△CDE中，点B、E、F、C在同一条直线上，已知BE＝CF，∠A＝∠D，AB∥CD，线段AF与DE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
如图，在中，，∠ABC=90°，D为AB的延长线上的一点，点E在BC边上，且，连接AE、DE、DC .
与全等吗？请说明理由；
猜想AE与CD的位置关系，并证明你的结论.
如图所示，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD，CE有何特殊位置关系，并证明．
如图，点A，B，C 在同一直线上，点 E 在 BD 上, 且△ ABD ≌ △ EBC ， AB=2cm ， BC=3cm.
(1)求 DE 的长；
(2)判断 AC 与 BD 的位置关系，并说明理由。
如图，∠1=∠2，AD=AB，AE=AC．
（1）求证：BE=CD．
（2）若线段BE与DC相交于点O，且∠1是直角，判断BE与CD的位置关系并证明．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=∠AED=90°，∠EAD=∠EDA=45°，AE=ED，AC=2AB，D是AC的中点，试猜想线段BE和EC的关系（关系包括数量关系和位置关系），并证明你的猜想．
如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC=BE，CE=DE，
（1）证明：△ACE≌△BED；
（2）试猜想线段CE与DE位置关系，并证明你的结论．
如图，已知中，，，是上一点，在的延长线上，且，的延长线与交于点．试通过观察、测量、猜想等方法来探索与有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．
如图，△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BA=BC，∠DBE=90°，BD=BE，连接AD，CE.试猜想线段AD和CE之间的数量关系和位置关系，并加以证明.
如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．

（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；
（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为__cm．
（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．
如图，BM、CN都是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，请探究AP与AQ的位置关系和数量关系，并说明理由．
如图，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，且BD、CE交于点F，点G是线段CD上一点，连接AF、GF，若AF=GF，BD=CD．
（1）求∠CAF的度数；
（2）判断线段FG与BC的位置关系，并说明理由．
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为AB边上一点，CE⊥CD，BE⊥BA，F为BD的中点，连接CF、AE交于点G．
（1）求证：CE=CD；
（2）判断CF与AE的位置关系，并说明理由．
如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
①当点D在AC上时，如图（1），线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出答案.
②将图（1）中的△ADE的位置改变一下，如图（2），使∠BAD=∠CAE，则线段BD，CE又有怎样的关系？请说明理由.
如图，△ADC中，DB是高，点E是DB上一点，AB＝DB，EB＝CB，M，N分别是AE，CD上的点，且AM＝DN．
（1）求证：△ABE≌△DBC．
（2）探索BM和BN的位置关系，并证明你的结论．
如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC．
（1）问线段EC与BF数量关系和位置关系？并给予证明．
（2）连AM，请问∠AME的大小是多少，如能求写出过程；不能求，写出理由．
参考答案
1.解：结论：AF=DE，AF∥DE．
理由：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABF和△CDE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴AF=DE，∠AFB=∠DEC，
∴AF∥DE，
∴AF=DE，AF∥DE．
2.（1），
D为AB延长线上一点，
，
在和中，
，
≌；
（2）延长AE至CD于点F，

∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠AEB=∠CEF，
∴∠ABE=∠CFE=90°，
∴AE⊥CD.
3.（1）
证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）
解：BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
证明：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠E．
∵∠DAE=90°，
∴∠E+∠ADE=90°．
∴∠ADB+∠ADE=90°．
即∠BDE=90°．
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
4.解：,
,
；
理由，
，
又在一条直线上，
，
.
5.解：（1）∵∠1=∠2，
∴∠CAD=∠BAE，
在△CAD和△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS）,
∴BE=CD.
（2）关系：BE⊥CD；
如图：
∵△CAD≌△EAB，
∴∠D=∠ABE，
∵∠DPA=∠BPC，
∴∠1=∠BOD=90°，
∴BE⊥CD.
6.解：猜想：BE=CE．
证明：∵∠BAC=∠AED=90°，∠EAD=∠EDA=45°，∠EDC=∠EAD+∠AED，∠EAB=∠BAC+∠EAD，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中点，
∴AC=2DC，
∵AC=2AB，
∴AB=DC，
∵AE=ED，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE．
7.（1）证明：∵AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，
∴∠A=∠B=90°，
在△RtACE和△RtBED中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△BED；
（2）∵Rt△ACE≌Rt△BED，
∴∠AEC=∠D，
∵∠D+∠BED=90°，
∴∠AEC+∠BED=90°，
∴∠CED=180°-90°=90°，
∴CE⊥DE．
8.解：猜想：BF⊥AE．
理由：∵∠ACB=90°，
∴∠ACE=∠BCD=90°．
∴在Rt△BDC与Rt△AEC中
，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）．
∴∠CBD=∠CAE．
又∴∠CAE+∠E=90°．
∴∠EBF+∠E=90°．
∴∠BFE=90°，即BF⊥AE．
9.解：AD=CE，AD⊥CE．
证明：延长AD交BC于F，交CE于H，
∵∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC-∠CBD=∠DBE-∠CBD，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD和△CBE中，
，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE，∠BAD=∠BCE．
∵∠CAB=90°，
∴∠BAD+∠AFB=90°，
∴∠BCE+∠AFB=90°．
∵∠CFH=∠AFB，
∴∠BCE+∠CFH=90°，
∴∠FHC=90°．
∴AD⊥CE．
10.解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
在△CBD与△CAE中，
，
∴△CBD≌△CAE（SAS）；
（2）8；
（3）AE⊥BD，理由如下：
AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中，
∵△CBD≌△CAE，
∴∠ADO=∠CEO，
∵∠AOD=∠COE，
∴∠OAD=∠OCE=90°，
∴AE⊥BD．
11.解：AP=AQ，AP⊥AQ，
理由如下：∵∠ABP+∠BAM=90°，∠ACQ+∠CAN=90°，
∴∠ABP=∠ACQ，
在△ACQ和△PBA中，
，
∴△ACQ≌△PBA（SAS），
∴AP=AQ，∠Q=∠PAB，
∵∠PAB+∠ADN=90°，
∴∠ADN+∠Q=90°，
∴∠QAP=90°
∴AP⊥AQ．
∴AP=AQ，AP⊥AQ．
12.解：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEF=∠CDF=90°，
∵∠EFB=∠DFC，
∴∠EBF=∠FCD，
∵BD=CD，∠ADB=∠CDF，
∴△ABD≌△FCD，
∴AD=DF，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴∠CAF=45°；
（2）FG∥BC，理由是：
∵AF=FG，
∴∠FGA=∠CAF=45°，
∵BD⊥AC，BD=CD，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=45°，
∴∠FGA=∠DCB，
∴FG∥BC．
13.（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠ACB，
∴∠BCE=∠ACD，
∵BE⊥BA，
∴∠ABE=90°，
∴∠CBE=90°-∠CBA=45°，
∴∠CBE=∠CAD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（ASA），
∴CE=CD；
（2）解：CF⊥AE，理由如下：
延长CF至H，使HF=CF，连接BH，
∵F为BD的中点，
∴BF=DF，
在△BFH和△DFC中，
，
∴△BFH≌△DFC（SAS），
∴BH=CD，∠HBF=∠CDF，
∴BH∥CD，
∴∠HBC+∠BCD=180°，
∵∠ACB+∠ECD=90°+90°=180°，
∴∠BCD+∠DCA+∠ECD=180°，
∴∠BCD+∠ECA=180°，
∴∠HBC=∠ECA，
∵BH=CD，CE=CD，
∴BH=CE，
在△HBC和△ECA中，
，
∴△HBC≌△ECA（SAS），
∴∠BCH=∠CAE，
∴∠FGA=∠FCA+∠CAE=∠FCA+∠BCH=∠ACB=90°，
∴CF⊥AE．
14.解：①BD=CE，EC⊥BD，理由如下：
延长BD交CE于点F,
由题意，知：
在△BAD和△CAE中，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE，
∵∠DAE=90°，
∴∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠ABD+∠AEC=90°，
∴∠BFE=90°，
∴BD⊥CE,
∴BD=CE，EC⊥BD.
②BD=CE，BD⊥CE，理由如下：
延长BD交CE于F，
∵∠BAD+∠CAD=90°，∠CAD+∠EAC=90°，
∴∠BAD=∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠CBF+∠BCF=∠ABC-∠ABD+∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BFC=90°，即EC⊥BD．
∴BD=CE，BD⊥CE.
15.（1）证明：∵DB是△ADC的高，
∴∠ABE=∠DBC=90°．
在△ABE和△DBC中，
∴△ABE≌△DBC（SAS）；
（2）解：BM⊥BN．
证明如下：
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAM=∠BDN．
在△ABM 和△DBN 中，
，
∴△ABM≌△DBN（SAS）．
∴BM=BN，∠ABM=∠DBN．
∴∠DBN+∠DBM=∠ABM+∠DBM=∠ABD=90°．
∴BM⊥BN.

16.解：（1）结论：EC=BF，EC⊥BF．
理由：∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠EAB=∠CAF=90°，
∴∠EAB+∠BAC=∠CAF+∠BAC，
∴∠EAC=∠BAE．
在△EAC和△BAF中，
，
∴△EAC≌△BAF（SAS），
∴EC=BF．∠AEC=∠ABF
∵∠AEG+∠AGE=90°，∠AGE=∠BGM，
∴∠ABF+∠BGM=90°，
∴∠EMB=90°，
∴EC⊥BF．
∴EC=BF，EC⊥BF．
（2）∠AME=∠EMF，
作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．
∵△EAC≌△BAF，
∴AP=AQ（全等三角形对应边上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
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