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§8.9　圆锥曲线中求值与证明问题
题型一　求值问题
例1　(12分)(2021·新高考全国Ⅰ)在平面直角坐标系Oxy中，已知点F1(－，0)，F2(，0)，点M满足|MF1|－|MF2|＝2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程； [切入点：双曲线定义]
(2)设点T在直线x＝上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和. [关键点：利用等式列式]
教师备选
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，F是椭圆C的一个焦点，点M(0,2)且|MF|＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且满足|AM|＝|BN|，求l的方程．
解　(1)由题意，可得
解得a＝2，b＝，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)根据题意可得，点A必在点B的上方，
才有|AM|＝|BN|.
当l的斜率不存在时，|AM|＝2－，
|BN|＝，|AM|≠|BN|，不合题意，故l的斜率必定存在．
设l的方程为y＝kx＋2，
由
得(1＋4k2)x2＋16kx＋8＝0，
Δ＝(16k)2－32(1＋4k2)＝128k2－32>0，
即k2>.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
设N(x0，y0)，
则x0＝＝－.
由|AM|＝|BN|可得，|AB|＝|MN|，
所以|x1－x2|＝|x0－0|，
则＝|x0|，
即＝，
整理得k2＝>，
故k＝±，l的方程为y＝±x＋2.
思维升华　求值问题即是根据条件列出对应的方程，通过解方程求解．
跟踪训练1　(2021·天津)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P.若MP∥BF，求直线l的方程．
解　(1)易知点F(c，0)，B(0，b)，
故|BF|＝＝a＝，
因为椭圆的离心率为e＝＝，
所以c＝2，b＝＝1，
因此，椭圆的方程为＋y2＝1.
(2)设点M(x0，y0)为椭圆＋y2＝1上一点，
先证明直线MN的方程为＋y0y＝1，
联立消去y并整理得x2－2x0x＋x＝0，Δ＝4x－4x＝0，
因此，椭圆＋y2＝1在点M(x0，y0)处的切线方程为＋y0y＝1.
在直线MN的方程中，令x＝0，可得y＝，由题意可知y0>0，即点N，
直线BF的斜率为kBF＝－＝－，所以直线PN的方程为y＝2x＋，
在直线PN的方程中，令y＝0，可得x＝－，
即点P，
因为MP∥BF，则kMP＝kBF，
即＝＝－，
整理可得(x0＋5y0)2＝0，
所以x0＝－5y0，所以＋y＝6y＝1，
因为y0>0，故y0＝，x0＝－，
所以直线l的方程为－x＋y＝1，
即x－y＋＝0.
题型二　证明问题
例2　(2021·新高考全国Ⅱ)已知椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F(，0)，且离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
(1)解　由题意得，
椭圆半焦距c＝且e＝＝，
所以a＝，
又b2＝a2－c2＝1，所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明　由(1)得，曲线为x2＋y2＝1(x>0)，
当直线MN的斜率不存在时，直线MN：x＝1，不符合题意；
当直线MN的斜率存在时，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
必要性：
若M，N，F三点共线，
可设直线MN：y＝k(x－)，
即kx－y－k＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，解得k＝±1，
联立
可得4x2－6x＋3＝0，
所以x1＋x2＝，x1·x2＝，
所以|MN|＝·＝，
所以必要性成立；
充分性：设直线MN：y＝kx＋b(kb<0)，
即kx－y＋b＝0，
由直线MN与曲线x2＋y2＝1(x>0)相切可得＝1，所以b2＝k2＋1，
联立
可得(1＋3k2)x2＋6kbx＋3b2－3＝0，
所以x1＋x2＝－，x1·x2＝，
所以|MN|＝·＝
＝·＝，
化简得3(k2－1)2＝0，所以k＝±1，
所以或
所以直线MN：y＝x－或y＝－x＋，
所以直线MN过点F(，0)，M，N，F三点共线，充分性成立，所以M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝.
高考改编
在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点F的直线l交C于A，B两点，线段AB的中点为M，分别过A，B作C的切线l1，l2，且l1与l2交于点P，证明：O，P，M三点共线．
(1)解　由解得
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)证明　由题意知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋1，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，P(x3，y3)，
由
整理得3(m2y2＋2my＋1)＋4y2＝12，
即(3m2＋4)y2＋6my－9＝0.
∴y0＝＝，
x0＝，
∴kOM＝－m.
直线l1的方程为＋＝1，①
直线l2的方程为＋＝1，②
②－① (y2－y1)＝(x1－x2)
＝·＝－m，
∴＝－m＝kOP，
∴kOM＝kOP，即O，P，M三点共线．
思维升华　圆锥曲线证明问题的类型及求解策略
(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．
(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
跟踪训练2　(2022·漳州模拟)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的点为M(x，y)，且z满足|z＋2|－|z－2|＝2，点M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)设A(－1,0)，B(1,0)，若过F(2,0)的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R.证明：
(ⅰ)点R在定直线上；
(ⅱ)若直线AQ与BP交于点S，则RF⊥SF.
(1)解　由题意可知，
－＝2，
所以点M到点F1(－2,0)与到点F2(2,0)的距离之差为2，且2<|F1F2|＝4，
所以动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，
设其方程为－＝1(x≥a，a>0，b>0)，
其中2a＝2,2c＝4，
所以a＝1，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝3，
所以曲线C的方程为x2－＝1(x≥1)．
(2)证明　(ⅰ)设直线PQ的方程为x＝ty＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中x1>1，x2>1.
联立消去x，
可得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，
由题意知3t2－1≠0且Δ＝144t2－36(3t2－1)＝36(t2＋1)>0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝.
直线AP：y＝(x＋1)，
直线BQ：y＝(x－1)，①
由于点P(x1，y1)在曲线C上，可知y＝3(x－1)，
所以＝，
所以直线AP：y＝(x＋1)．②
联立①②，消去y可得
(x＋1)＝(x－1)，
由题意知x≠1，
所以＝，
所以＝
＝，
所以＝＝－9，
所以x＝，
所以点R在定直线x＝上．
(ⅱ)由题意，与(ⅰ)同理可证点S也在定直线x＝上．
设R，S，
由于R在直线AP：y＝(x＋1)上，
S在直线AQ：y＝(x＋1)上，
所以r＝·，
s＝·，
所以rs＝·
＝·
＝·
＝·
＝－，
又因为＝，＝，
所以·＝＋rs＝0，所以RF⊥SF.
课时精练
1．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线与x轴的交点为A(－1,0)．
(1)求C的方程；
(2)若过点M(2,0)的直线l与抛物线C交于P，Q两点．求证：＋为定值．
(1)解　由题意，可得－＝－1，即p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)证明　设直线l的方程为x＝my＋2，
P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立
消去x得y2－4my－8＝0，
则Δ＝16(m2＋2)>0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，
又|PM|＝|y1|，
|QM|＝|y2|.
∴＋＝＋
＝
＝
＝＝.
∴＋为定值．
2．设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若|ON|＝|OF|(O为原点)，且OP⊥MN，求直线PB的斜率．
解　(1)设椭圆的半焦距为c，
依题意，2b＝4，＝，
又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0)．
设直线PB的斜率为k(k≠0)，
又B(0,2)，则直线PB的方程为y＝kx＋2，
与椭圆方程联立
整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，
可得xP＝－，
代入y＝kx＋2得yP＝，
所以直线OP的斜率＝.
在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.
由题意得N(0，－1)，
所以直线MN的斜率为－.
由OP⊥MN，得·＝－1，
化简得k2＝，从而k＝±.
所以直线PB的斜率为或－.
3．(2022·莆田质检)曲线C上任意一点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＝4的距离之比等于，过点M(4,0)且与x轴不重合的直线l与C交于不同的两点A，B.
(1)求C的方程；
(2)求证：△ABF内切圆的圆心在定直线上．
(1)解　设P(x，y)，由题意，
＝ (x－2)2＋y2
＝(x－4)2，
化简得＋＝1，
即C的方程为＋＝1.
(2)证明　设直线l：x＝my＋4，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
将l代入C得(m2＋2)y2＋8my＋8＝0，
∴
设直线AF与BF的斜率分别为k1，k2，
则k1＋k2＝＋
＝＋
＝
＝＝0.
∴k1＝－k2，则∠BFM＝π－∠AFM，
∴直线x＝2平分∠AFB，而三角形内心在∠AFB的角平分线上，
∴△ABF内切圆的圆心在定直线x＝2上．
4．(2022·深圳光明区模拟)已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，E(0,1)，过焦点F2，且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，且满足＝2.
(1)求C的方程；
(2)过点D且斜率不为0的直线l交C于M，N两点，且|EM|＝|EN|，求直线l的方程．
解　(1)双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
过F2(c，0)，且斜率为的直线方程为
y＝(x－c)，
由得A，
由得B，
由于＝2，
即＝，
所以－＝，解得a＝2.
所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设l：y＝k(k≠0)，
由
消去y并化简得
(1－4k2)x2－12k2x－9k2－4＝0，
Δ＝144k4＋4(1－4k2)(9k2＋4)＝16－28k2>0，k2<且k≠0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2＋3)＝k
＝，
所以M，N的中点G的坐标为，
由于|EM|＝|EN|，
所以EG⊥MN，kEG·kMN＝－1，
·k＝－1，化简得8k2＋15k－2＝0，
(k＋2)(8k－1)＝0，
解得k＝－2或k＝，
由于k2<且k≠0，
所以k＝，
所以直线l的方程为y＝.

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