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§8.13　圆锥曲线压轴小题突破
题型一　圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题
例1　(1)(2022·济南联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1(－c,0)，F2(c,0)，点P是椭圆C上一点，满足|＋|＝|－|，若以点P为圆心，r为半径的圆与圆F1：(x＋c)2＋y2＝4a2，圆F2：(x－c)2＋y2＝a2都内切，其中0A. B.
C. D.
答案　C
解析　由|＋|＝|－|两边平方，
可得·＝0，则⊥，
由已知得
即|PF1|－|PF2|＝a，
由|PF1|＋|PF2|＝2a，得
在△PF1F2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2
得＋＝4c2，即e2＝＝，所以e＝.
(2)(2022·广州模拟)已知A，B分别为椭圆C：＋y2＝1的左、右顶点，P为椭圆C上一动点，PA，PB与直线x＝3交于M，N两点，△PMN与△PAB的外接圆的周长分别为l1，l2，则的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由已知得A(－2,0)，B(2,0)，
设椭圆C上动点P(x，y)，
则利用两点连线的斜率公式可知
kPA＝，kPB＝，
∴kPA·kPB＝·
＝＝
＝＝－.
设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，
则直线PB的方程为y＝－(x－2)，
根据对称性设k>0，
令x＝3，得yM＝5k，yN＝－，
即M(3,5k)，N，
则|MN|＝5k＋.
设△PMN与△PAB的外接圆的半径分别为r1，r2，
由正弦定理得2r1＝，
2r2＝，
∵∠MPN＋∠APB＝180°，
∴sin∠MPN＝sin∠APB，
∴＝＝＝＝
≥＝，
当且仅当5k＝，即k＝时，等号成立，
即的最小值为.
思维升华　高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题．
跟踪训练1　(1)(2022·深圳模拟)F1，F2分别为双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，若l⊥F2B，则·等于(　　)
A．4－2 B．4＋
C．6－2 D．6＋2
答案　C
解析　在双曲线C中，a＝1，b＝，c＝，
则F1(－，0)，F2(，0)，
因为直线l过点F1，由图知，直线l的斜率存在且不为零，
因为l⊥F2B，则△F1BF2为直角三角形，
可得|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2＝12，
由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2，
所以4＝(|BF1|－|BF2|)2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|＝12－2|BF1|·|BF2|，
可得|BF1|·|BF2|＝4，
联立
解得|BF2|＝－1，
因此·＝(＋)·
＝2＋·
＝(－1)2＝6－2.
(2)(多选)(2022·德州模拟)已知椭圆C：＋＝1(0A．椭圆C的焦距为2
B．曲线E过点F2的切线斜率为±
C．若A，B为椭圆C上关于原点对称的异于顶点和点P的两点，则直线PA与PB斜率之积为－
D．|PQ|＋|PF2|的最小值为2
答案　BC
解析　圆x2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＝0对称的曲线为以C(4,0)为圆心，1为半径的圆，
即曲线E的方程为(x－4)2＋y2＝1，
由椭圆定义有|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，
|PQ|－|PF2|＝|PQ|－(2－|PF1|)
＝|PQ|＋|PF1|－2≥|Q′F1|－2.
由图知Q′(3,0)，
|Q′F1|－2＝3＋c－2＝5－2，
解得c＝2，b＝1，
椭圆方程为＋y2＝1.
故焦距|F1F2|＝2c＝4，A错误；
|PQ|＋|PF2|≥|Q′F2|＝3－c＝1，D错误；
设曲线E过点F2的切线斜率为k，
则切线方程为kx－2k－y＝0，
由圆心到切线方程的距离等于半径得＝1，
即k＝±，B正确；
设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
则kPA·kPB＝·＝，
又点P，A，B都在椭圆上，即＋y＝1，
＋y＝1 ＝－，C正确．
题型二　圆锥曲线与三角形“四心”问题
例2　(1)(2022·苏州联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，点P是双曲线C右支上异于顶点的点，点H在直线x＝a上，且满足＝λ，λ∈R.若5＋4＋3＝0，则双曲线C的离心率为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　C
解析　由＝λ，λ∈R，
则点H在∠F1PF2的角平分线上，
由点H在直线x＝a上，则点H是△PF1F2的内心，
由5＋4＋3＝0，
由奔驰定理(已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝0)知，
＝5∶4∶3，
即|F1F2|·r∶|PF1|·r∶|PF2|·r
＝5∶4∶3，
则|F1F2|∶|PF1|∶|PF2|＝5∶4∶3，
设|F1F2|＝5λ，|PF1|＝4λ，|PF2|＝3λ，
则|F1F2|＝2c＝5λ，
即c＝，|PF1|－|PF2|＝2a＝λ，
即a＝，则e＝＝5.
(2)(2022·江苏百师联盟联考)过抛物线C：x2＝2py(p>0)上点M作抛物线D：y2＝4x的两条切线l1，l2，切点分别为P，Q，若△MPQ的重心为G，则p＝________.
答案　
解析　设M，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
设过点M的直线方程为x＝t＋x0，①
与y2＝4x联立得y2＝4t＋4x0，
即y2－4ty＋－4x0＝0，②
由题意知Δ＝16t2－4＝0，
即2pt2－xt＋2px0＝0，
则t1＋t2＝，t1·t2＝x0(t1，t2分别表示l1，l2斜率的倒数)，
由于方程②Δ＝0，则其根为y＝2t，
当t＝t1时，y1＝2t1，当t＝t2时，y2＝2t2，
∵△MPQ的重心为G，
∴＋y1＋y2＝＋2(t1＋t2)
＝＋2×＝＝，③
而x1＋x2＝t1＋x0＋t2＋x0
＝2(t＋t)－(t1＋t2)＋2x0
＝2[(t1＋t2)2－2t1t2]－(t1＋t2)＋2x0
＝2－＋2x0
＝－2x0.
∴x0＋x1＋x2＝－x0＝3，④
联立③④得p＝.
思维升华　圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题．但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新．在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力．
跟踪训练2　(1)已知F1(－1,0)，F2(1,0)，M是第一象限内的点，且满足|MF1|＋|MF2|＝4，若I是△MF1F2的内心，G是△MF1F2的重心，记△IF1F2与△GF1M的面积分别为S1，S2，则(　　)
A．S1>S2 B．S1＝S2
C．S1答案　B
解析　因为|MF1|＋|MF2|＝4>|F1F2|＝2，
所以M的轨迹是椭圆＋＝1在第一象限内的部分，如图所示．
因为I是△MF1F2的内心，设内切圆的半径为r，
所以
＝，
所以r＝，
所以S1＝＝，
又因为G是△MF1F2的重心，
所以OG∶GM＝1∶2，
所以
＝·＝，
所以S1＝S2.
(2)在平面直角坐标系Oxy中，双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________．
答案　
解析　设OA 所在的直线方程为y＝x ，
则OB 所在的直线方程为y＝－x，
解方程组得
所以点A 的坐标为 ，
抛物线的焦点F的坐标为.
因为F是△OAB的垂心，所以kOB·kAF＝－1 ，
所以－·＝－1 ＝.
所以e2＝＝1＋＝，解得e＝.
题型三　圆锥曲线在生活中的应用
例3　(1)(2022·湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，若从点F2发出的光线经双曲线右支上的点A(x0,2)反射后，反射光线为射线AM，则∠F2AM的角平分线所在的直线的斜率为(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　B
解析　由已知可得A(x0,2)在第一象限，
将点A的坐标代入双曲线方程可得x－＝1，
解得x0＝，所以A(，2)，
又由双曲线的方程可得a＝1，b＝，
所以c＝，则F2(，0)，
所以|AF2|＝2，且点A，F2都在直线x＝上，
又|OF1|＝|OF2|＝，
所以tan∠F1AF2＝＝＝，
所以∠F1AF2＝60°，
设∠F2AM的角平分线为AN，
则∠F2AN＝(180°－60°)×＝60°，
所以∠F2AM的角平分成所在的直线AN的倾斜角为150°，
所以直线的斜率为tan 150°＝－.
(2)第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD(如图2)，且两切线斜率之积等于－，则椭圆的离心率为(　　)
图1　　　　　　　　　图2
A. B. C. D.
答案　B
解析　若内层椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由离心率相同，可设外层椭圆方程为
＋＝1(m>1)，
∴A(－ma,0)，B(0，mb)，
设切线AC为y＝k1(x＋ma)，
切线BD为y＝k2x＋mb，
∴
整理得(a2k＋b2)x2＋2ma3kx＋m2a4k－a2b2＝0，
由Δ＝0知
(2ma3k)2－4(a2k＋b2)(m2a4k－a2b2)＝0，
整理得k＝·，
同理
可得k＝·(m2－1)，
∴(k1k2)2＝＝2，即＝，
故e＝＝＝.
思维升华　圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地．研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性．
跟踪训练3　(1)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x2＋4y2＝4，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|等于(　　)
A.∶ B．1∶
C．1∶3 D．1∶
答案　C
解析　由椭圆的光学性质得直线l′平分∠F1PF2，
因为＝
＝＝，
由|PF1|＝1，|PF1|＋|PF2|＝4得|PF2|＝3，
故|F1M|∶|F2M|＝1∶3.
(2)一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2－x2＝1，y∈[1,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．2.5
答案　A
解析　清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，
圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为r，圆心为(0，r＋1)，
圆的方程为x2＋(y－r－1)2＝r2，
代入双曲线方程y2－x2＝1，
得y2－(r＋1)y＋r＝0，∴y＝1或y＝r，
要使清洁钢球到达底部，即r≤1.
课时精练
1．(2022·遵义模拟)双曲线－＝1上一点P到右焦点F2的距离为6，F1为左焦点，则∠F1PF2的角平分线与x轴交点坐标为(　　)
A．(－1,0) B．(0,0)
C．(1,0) D．(2,0)
答案　D
解析　设交点为D(x,0)，用面积法＝，化简可得角平分线定理＝，由双曲线定义知|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋6＝12，所以交点到左焦点距离是其到右焦点距离的2倍，因为左焦点(－6,0)，右焦点(6,0)，所以x＋6＝2(6－x)，解得x＝2.
2．天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的长半轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k，k＝，其中M为中心天体质量，G为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为60亿千米，取≈3.1，则冥王星的公转周期约为(　　)
A．157年 B．220年
C．248年 D．256年
答案　C
解析　设地球椭圆轨道的长半轴为a1，公转周期为T1.冥王星椭圆轨道的长半轴为a2，公转周期为T2.
则两式相除并化简得
T＝×T＝3×1＝6 400×10，
所以T2＝80≈80×3.1＝248(年)．
3．(2022·东三省四市联考)已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，O为坐标原点，|＋|＝·|－|，则实数a的值为(　　)
A．±2 B．±
C．± D．±
答案　D
解析　由|＋|＝|－|得，
(＋)2＝3(－)2，
又O为圆x2＋y2＝4的圆心，
则||＝||＝2，
所以·＝2，
所以||||cos∠AOB＝2，
即cos∠AOB＝，
所以∠AOB＝，
所以△AOB为等边三角形，
则O到直线x＋y＝a的距离为d＝，
即d＝＝，解得a＝±.
4．(2022·郑州模拟)已知A，B是椭圆＋＝1(a>b>0)长轴的两个端点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2(k1k2≠0)．若椭圆的离心率为，则|k1|＋|k2|的最小值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　B
解析　设点P(x0，y0)，则由椭圆的对称性知Q(x0，－y0)，
不妨令y0>0，A(－a,0)，B(a,0)，
则k1＝，k2＝，
显然有－a则|k1|＋|k2|＝＋＝，
因为椭圆的离心率为，
即e2＝＝＝1－＝，即a＝b，
＋＝1 x＝2b2－2y，
则|k1|＋|k2|＝＝，
因为0所以|k1|＋|k2|＝≥＝，
当且仅当y0＝b时取“＝”，
即|k1|＋|k2|的最小值为.
5．已知在平面直角坐标系Oxy中，点F1，F2分别为双曲线C：－y2＝1(a>0)的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MF2的中点，点I为△OMF2的外心，若O，I，D三点共线，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B．3 C. D．5
答案　C
解析　不妨设点M在第二象限，
设M(m，n)，F2(c,0)，
由D为MF2的中点，O，I，D三点共线知直线OD垂直平分MF2，则OD：y＝x，
故有＝－a，且·n＝·，
解得m＝，n＝，
将M，即M，
代入双曲线的方程可得－＝1，化简可得c2＝5a2，即e＝，点M在第三象限时，同理可得e＝.
6．(2022·济南联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　不妨设渐近线的方程为y＝－x，
因为MF2∥OP，O为F1F2的中点，
所以P为MF1的中点，
将直线OM，MF1的方程联立
可得M，
又F1(－c,0)，所以P
即P，又P点在双曲线上，
所以－＝1，解得＝，
所以该双曲线的离心率为.
7．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)为抛物线C上的三个动点，其中x1A．1 B. C．2 D．3
答案　C
解析　由题意知d1＝＋2；
d2＝＋2；d3＝＋2，
代入d1＋d3＝2d2中，
得到x1＋2x2＋x3＝2(x1＋x3)，
即2x2＝x1＋x3.
又F为△P1P2P3的重心，
则有＝2，＝0，
即2x2＝6－x2，得x2＝2，y2＝－4，
因此有y1＋y3＝4，
所以P1P3所在直线的斜率为
k＝＝＝2.
8．(多选)(2022·沧州模拟)设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：－＝1(a1>0，b1>0)的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若(　　)
A．|F1F2|＝2|MO|，则＋＝
B．|F1F2|＝2|MO|，则＋＝2
C．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是
D．|F1F2|＝4|MF2|，则e1e2的取值范围是
答案　BD
解析　如图，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，焦距为2c，由椭圆定义可得m＋n＝2a，
由双曲线定义可得m－n＝2a1，
解得m＝a＋a1，n＝a－a1，
当|F1F2|＝2|MO|时，则∠F1MF2＝90°，
所以m2＋n2＝4c2，即a2＋a＝2c2，
由离心率的公式可得＋＝2，故B正确；
当|F1F2|＝4|MF2|时，
可得n＝c，即a－a1＝c，可得－＝，
由01，可得>，
即1可设2＋e2＝t(3则＝＝2，
由f(t)＝t＋－4在(3,4)上单调递增，
可得f(t)∈，
则e1e2∈，故D正确．
9．(2022·株州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点、右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，·＝·，且＝4，则双曲线的离心率e为________．
答案　
解析　在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)中，A(a,0)，
渐近线为y＝±x，设右焦点为F(c,0)，
由·＝· ·(＋)＝0，
即·＝0，即⊥，直线l：x＝a，
由双曲线对称性知，
不妨令Q(a，b)，设B(x0，y0)，
则＝(a－x0，b－y0)，＝(a－c，b)，
因为＝4，
则(a－x0，b－y0)＝4(a－c，b)，
解得x0＝4c－3a，y0＝－3b，
即B(4c－3a，－3b)，又点B在双曲线C上，
则有－＝1，即(4e－3)2＝10，
解得e＝，
因为e>1，则e＝.
10．早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为________．
答案　(x－14)2＝－y　
解析　设桥拱所在抛物线方程为x2＝－2py，由图可知，曲线经过(20，－5)，
代入方程得202＝－2p×(－5)，解得p＝40，
所以桥拱所在抛物线方程为x2＝－80y.
四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，
设第一个抛物线C1：(x－14)2＝－2p′y，
由图知抛物线C1经过点A(20，－5)，
则(20－14)2＝－2p′×(－5)，
解得p′＝，
所以C1：(x－14)2＝－y.
点A即桥拱所在抛物线x2＝－80y与
C1：(x－14)2＝－y的交点坐标，
设A(x，y)，7由
解得x＝.
所以点A的横坐标为.
11．(2022·江苏七市调研)“康威圆定理”是英国数学家约翰·康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c.延长线段CA至点A1，使得AA1＝a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a＝4，b＝3，c＝5，则由△ABC生成的康威圆的半径为________．
答案　
解析　设M是圆心，因为|A1C2|＝|A2B1|＝|B2C1|，因此点M到直线AB，BC，CA的距离相等，从而M是Rt△ABC的内心，作MN⊥AC于N，连接MC2，
则|MN|＝|CN|＝＝1，
|NC2|＝1＋5＝6，
所以|MC2|＝＝.
12．(2022·苏州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 cm，杯深8 cm，称为抛物线酒杯．①在杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为________ cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为________(单位：cm)．
答案　6　
解析　因为杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，所以球的半径为3 cm，
又因为杯口宽4 cm，
所以如图1所示，
|AB|＝4，|C1A|＝|C1B|＝3，C1D⊥AB，
所以|AD|＝|BD|＝2，
所以|C1D|＝＝＝1，
所以|DE|＝2，
又因为杯深8 cm，即|OD|＝8，
故最小距离为|OD|－|DE|＝6，
如图1所示，建立直角坐标系，易知B(2，8)，设抛物线的方程为y＝mx2，
所以将B(2，8)代入，得m＝1，故抛物线方程为y＝x2，
　　　
图1　　　　　　　　　　 图2
当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设玻璃球轴截面所在圆的方程为x2＋(y－r)2＝r2，
依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即≥r，
则有x2(x2＋1－2r)≥0恒成立，
解得1－2r≥0，
可得0所以玻璃球的半径的取值范围为.

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