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§2.1　函数的概念及其表示
考试要求　1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　×　)
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(　×　)
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．(　×　)
(4)函数f(x)＝的定义域为R.(　√　)
教材改编题
1．下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　)
答案　C
2．(多选)下列各组函数是同一个函数的是(　　)
A．f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
C．f(x)＝，g(x)＝
D．f(x)＝，g(x)＝x
答案　AC
3．(2022·长沙质检)已知函数f(x)＝则f 等于(　　)
A．－1 B．2 C. D.
答案　D
解析　∵f ＝log3<0，
∴f ＝＝.
题型一　函数的定义域
例1　(1)(2022·武汉模拟)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
答案　B
解析　要使函数有意义，
则需
解得－1所以x∈(－1,0)∪(0,2]．
所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,2]．
(2)若函数f(x)的定义域为[0,2]，则函数f(x－1)的定义域为________．
答案　[1,3]
解析　∵f(x)的定义域为[0,2]，
∴0≤x－1≤2，即1≤x≤3，
∴函数f(x－1)的定义域为[1,3]．
延伸探究　将本例(2)改成“若函数f(x＋1)的定义域为[0,2]”，则函数f(x－1)的定义域为________．
答案　[2,4]
解析　∵f(x＋1)的定义域为[0,2]，
∴0≤x≤2，
∴1≤x＋1≤3，
∴1≤x－1≤3，
∴2≤x≤4，
∴f(x－1)的定义域为[2,4]．
教师备选
1．(2022·西北师大附中月考)函数y＝lg(x2－4)＋的定义域是(　　)
A．(－∞，－2)∪[0，＋∞)
B．(－∞，－6]∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[0，＋∞)
D．(－∞，－6)∪[2，＋∞)
答案　B
解析　由题意，得
解得x>2或x≤－6.
因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)．
2．已知函数f(x)＝，则函数的定义域为(　　)
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)
答案　D
解析　令1－2x>0，
即2x<1，即x<0.
∴f(x)的定义域为(－∞，0)．
∴函数中，有解得x<1且x≠－1.
故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)．
思维升华　(1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义．
(2)求复合函数的定义域
①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝＋ln(3x－1)的定义域为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　要使函数f(x)＝＋ln(3x－1)有意义，
则 ∴函数f(x)的定义域为.
(2)已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为__________．
答案　[－1,0]
解析　由条件可知，函数的定义域需满足
解得－1≤x≤0，
所以函数g(x)的定义域是[－1,0]．
题型二　函数的解析式
例2　(1)(2022·哈尔滨三中月考)已知f ＝lg x，则f(x)的解析式为________．
答案　f(x)＝lg (x>1)
解析　令＋1＝t(t>1)，
则x＝，
所以f(t)＝lg (t>1)，
所以f(x)＝lg (x>1)．
(2)已知y＝f(x)是二次函数，若方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，则f(x)＝________.
答案　x2＋2x＋1
解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b，∴2ax＋b＝2x＋2，
则a＝1，b＝2.∴f(x)＝x2＋2x＋c，
又f(x)＝0，
即x2＋2x＋c＝0有两个相等实根．
∴Δ＝4－4c＝0，则c＝1.
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(3)已知函数对任意的x都有f(x)－2f(－x)＝2x，则f(x)＝________.
答案　x
解析　∵f(x)－2f(－x)＝2x，①
∴f(－x)－2f(x)＝－2x，②
由①②得f(x)＝x.
教师备选
已知f(x)满足f(x)－2f ＝2x，则f(x)＝________.
答案　－－
解析　∵f(x)－2f ＝2x，①
以代替①中的x，得f －2f(x)＝，②
①＋②×2得－3f(x)＝2x＋，
∴f(x)＝－－.
思维升华　函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
跟踪训练2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，则f(x)＝________.
答案　－x2＋2x，x∈[0,2]
解析　令t＝1－sin x，
∴t∈[0,2]，sin x＝1－t，
∴f(t)＝1－sin2x＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，t∈[0,2]，
∴f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]．
(2)(2022·黄冈质检)已知f ＝x4＋，则f(x)＝__________.
答案　x2－2，x∈[2，＋∞)
解析　∵f ＝2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈[2，＋∞)．
题型三　分段函数
例3　(1)已知f(x)＝则f ＋f 的值为(　　)
A. B．－ C．－1 D．1
答案　D
解析　f ＝f ＋1＝f ＋1
＝cos ＋1＝，
f ＝cos
＝cos ＝－，
∴f ＋f ＝－＝1.
(2)已知f(x)＝若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．
答案　1或－3　[－，－1]
解析　①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；
当a≤0时，a2－4＝5，
解得a＝－3或a＝3(舍)．
综上，a＝1或－3.
②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
由－3≤f(a)≤1，解得－≤a≤－1.
教师备选
1．已知函数f(x)＝则f(f(2 022))等于(　　)
A．－ B. C. D.
答案　B
解析　f(2 022)＝sin＝sin ＝，
∴f(f(2 022))＝f ＝＝.
2．(2022·百校联盟联考)已知函数f(x)＝若对于任意的x∈R，|f(x)|≥ax，则a＝________.
答案　0
解析　当x≥0时，|f(x)|＝x3≥ax，即x(x2－a)≥0恒成立，则有a≤0；
当x<0时，|f(x)|＝x2≥ax，即a≥x恒成立，
则有a≥0，所以a＝0.
思维升华　分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
跟踪训练3　(1)(2022·河北冀州一中模拟)设f(x)＝则f(f(－1))＝________，f(x)的最小值是________．
答案　0　2－3
解析　∵f(－1)＝2，
∴f(f(－1))＝f(2)＝2＋－3＝0，
当x≥1时，f(x)＝x＋－3≥2－3，
当且仅当x＝时取等号，f(x)min＝2－3，
当x<1时，f(x)＝x2＋1≥1，x＝0时取等号，
∴f(x)min＝1，综上有f(x)的最小值为2－3.
(2)(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝则f(x)答案　
解析　当x≤0时，x＋1≤1，f(x)等价于x2－1<(x＋1)2－1，
解得－当01，
此时f(x)＝x2－1≤0，
f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，
∴当0当x>1时，f(x)综上知，不等式f(x)课时精练
1．(2022·重庆模拟)函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)
C．(0,3] D．(0,1)∪(1,3]
答案　D
解析　∵f(x)＝，∴
解得0故函数的定义域为(0,1)∪(1,3]．
2．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
答案　B
解析　A中函数定义域不是[－2,2]；C中图象不表示函数；D中函数值域不是[0,2]．
3．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f(x)＝若f ＝8，则a等于(　　)
A. B.
C．1 D．2
答案　D
解析　f ＝4×－＝3，
则f ＝f(3)＝a3，
得a3＝8，解得a＝2.
4．设函数f ＝x，则f(x)的表达式为(　　)
A.(x≠－1) B.(x≠－1)
C.(x≠－1) D.(x≠－1)
答案　C
解析　令t＝，则x＝，
∴f(t)＝，即f(x)＝(x≠－1)．
5．如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿A－B－C－M运动时，设点P经过的路程为x，△APM的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)
答案　A
解析　由题意可得
y＝f(x)＝
画出函数f(x)的大致图象，故选A.
6．(多选)下列函数中，与y＝x是同一个函数的是(　　)
A．y＝ B．y＝
C．y＝lg 10x D．y＝10lg x
答案　AC
解析　y＝x的定义域为x∈R，值域为y∈R，
对于A选项，函数y＝＝x的定义域为x∈R，故是同一函数；
对于B选项，函数y＝＝≥0，与y＝x的解析式、值域均不同，故不是同一函数；
对于C选项，函数y＝lg 10x＝x，且定义域为R，故是同一函数；
对于D选项，y＝10lg x＝x的定义域为(0，＋∞)，与函数y＝x的定义域不相同，故不是同一函数．
7．(多选)(2022·张家界质检)设函数f(x)＝若f(1)＝2f(0)，则实数a可以为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　AB
解析　若a<0，
则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；
若0≤a<1，
则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；
若a≥1，
则f(0)＝1，f(1)＝0，f(1)＝2f(0)不成立．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．
8．(多选)具有性质：f ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是(　　)
A．f(x)＝x－ B．f(x)＝ln
C．f(x)＝ D．f(x)＝
答案　AD
解析　对于A，f(x)＝x－，
f ＝－x＝－f(x)，满足题意；
对于B，f(x)＝ln ，
则f ＝ln ≠－f(x)，不满足；
对于C，f ＝＝ex－1，
－f(x)＝≠f ，不满足；
对于D，f ＝
即f ＝
则f ＝－f(x)满足“倒负”变换，故选AD.
9．已知f(x5)＝lg x，则f(100)＝________.
答案　
解析　令x5＝100，
则x＝＝，
∴f(100)＝＝.
10．函数f(x)＝ln(x－1)＋的定义域为________．
答案　(1,4]
解析　依题意
解得1∴f(x)的定义域为(1,4]．
11．(2022·广州质检)已知函数f(x)＝的值域为R，则实数a的取值范围是________．
答案　
解析　∵当x≥1时，f(x)＝ln x≥ln 1＝0，
又f(x)的值域为R，
故当x<1时，f(x)的值域包含(－∞，0)．
故
解得－1≤a<.
12．设函数f(x)＝则不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．
答案　[－2,0)∪(0,1]
解析　当x<0时，f(x)＝x，
代入xf(x)＋x≤2得x2＋x－2≤0，
解得－2≤x<0；
当x>0时，f(x)＝1，
代入xf(x)＋x≤2，解得0综上有－2≤x＜0或0＜x≤1.
13．设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
答案　D
解析　当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.
作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，当且仅当或
解得x<－1或－1≤x<0，即x<0.
14．设函数f(x)＝若对任意的a∈R都有f(f(a))＝2f(a)成立，则λ的取值范围是______．
答案　[2，＋∞)
解析　当a≥1时，2a≥2.
∴f(f(a))＝f(2a)＝＝2f(a)恒成立．
当a<1时，
f(f(a))＝f(－a＋λ)＝2f(a)＝2λ－a，
∴λ－a≥1，即λ≥a＋1恒成立，
由题意λ≥(a＋1)max，∴λ≥2，
综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．
15．(多选)若函数f(x)满足：对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，有f(x1)＋f(x2)>2f ，则称函数f(x)具有H性质．则下列函数中具有H性质的是(　　)
A．f(x)＝x
B．f(x)＝ln x
C．f(x)＝x2(x≥0)
D．f(x)＝tan x
答案　ACD
解析　若对定义域内任意的x1，x2(x1≠x2)，有f(x1)＋f(x2)>2f ，则点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的中点在点的上方，如图.根据函数f(x)＝x，f(x)＝ln x，f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tan x的图象可知，函数f(x)＝x，
f(x)＝x2(x≥0)，f(x)＝tan x具有H性质，函数f(x)＝ln x不具有H性质．
16．设f(x)是定义在R上的函数，且f(x＋2)＝f(x)，f(x)＝其中a，b为正实数，e为自然对数的底数，若f ＝f ，则的取值范围为________．
答案　(e，＋∞)
解析　因为f(x＋2)＝f(x)，
所以f ＝f ＝()2f ＝2eb，
f ＝f ＝f
＝＝(a－1)，
因为f ＝f ，所以(a－1)＝2eb，
所以a＝eb＋1，
因为b为正实数，
所以＝＝e＋∈(e，＋∞)，
故的取值范围为(e，＋∞)．

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