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§2.4　函数性质的综合应用
题型一　函数的单调性与奇偶性
例1　(1)(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1,1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0,1]
C．[－1,0]∪[1，＋∞)
D．[－1,0]∪[1,3]
答案　D
解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，
则f(0)＝0.
又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，
画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，
则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．
　　　　 (1)　　　　　　　 (2)
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.
当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，
则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．
(2)若函数f(x)是定义在R上的奇函数，对于任意两个正数x1，x2(x1x1·f(x2)．记a＝25f(0.22)，b＝f(1)，c＝－log53，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>c>a D．c>b>a
答案　A
解析　构造函数g(x)＝，
函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，
∵函数f(x)为R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
g(－x)＝＝＝g(x)，
则函数g(x)为偶函数，
对于任意两个正数x1，x2(x1都有x2·f(x1)>x1·f(x2)，
则>，
即g(x1)>g(x2)，
则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∵a＝25f(0.22)＝f ＝g，
b＝f(1)＝g(1)，
c＝－log53＝－f(－log35)
＝g(log35)，
∵log35>log33＝1>，
则g(log35)b>c.
思维升华　(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．
(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小．
跟踪训练1　(2022·南京质检)已知函数f(x)＝－x－x3，x1，x2，x3∈R，且x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，则f(x1)＋f(x2)＋f(x3)的值(　　)
A．一定大于零
B．一定小于零
C．等于零
D．正负都有可能
答案　B
解析　函数f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝－(－x)－(－x)3＝x＋x3
＝－f(x)，
所以函数f(x)是R上的奇函数，
由单调性的运算性质可知，函数f(x)是R上的减函数，
因为x1＋x2>0，x2＋x3>0，x3＋x1>0，
即x1>－x2，x2>－x3，x3>－x1，
所以f(x1)即f(x1)<－f(x2)，f(x2)<－f(x3)，f(x3)<－f(x1)，
所以f(x1)＋f(x2)<0，f(x2)＋f(x3)<0，f(x3)＋f(x1)<0，
三式相加可得f(x1)＋f(x2)＋f(x3)<0.
题型二　函数的奇偶性与周期性
例2　(1)(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2,0]上单调递减，下面关于f(x)的判断正确的是(　　)
A．f(0)是函数的最小值
B．f(x)的图象关于点(1,0)对称
C．f(x)在[2,4]上单调递增
D．f(x)的图象关于直线x＝2对称
答案　ABD
解析　A项，∵f(x＋2)＝－f(x)＝－f(－x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数，
又f(x)在[－2,0]上单调递减，在R上是偶函数，∴在[0,2]上单调递增，
∴f(0)是函数的最小值，正确；
B项，由f(x＋2)＋f(－x)＝0，
∴f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，正确；
C项，又f(x)在[－2,0]上单调递减，在R上是偶函数，
∴在[0,2]上单调递增，f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)在[2,4]上单调递减，错误；
D项，∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，f(x)的图象关于直线x＝2对称，正确．
(2)(2021·全国甲卷)设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f 等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　由于f(x＋1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，即有f(x)＋f(2－x)＝0，所以f(1)＋f(2－1)＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0. ①
由于f(x＋2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，即有f(x)－f(4－x)＝0，
所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＋f(1)＝－4a－b＋a＋b＝－3a＝6. ②
根据①②可得a＝－2，b＝2，所以当x∈[1,2]时，f(x)＝－2x2＋2.根据函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且关于点(1,0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以f ＝f ＝－f ＝2×2－2＝.
思维升华　周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
跟踪训练2　已知定义在R上的函数f(x)满足①f(x＋1)＝－f(x)，② f(x－2)为奇函数，③当x∈[0,1)时，>0(x1≠x2)恒成立．则f ，f(4)，f 的大小关系正确的是(　　)
A．f >f(4)>f
B．f(4)>f >f
C．f >f(4)>f
D．f >f >f(4)
答案　C
解析　由f(x＋1)＝－f(x)可得
f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
所以f(x)的周期为2，
因为f(x－2)为奇函数，所以f(x)为奇函数，
因为当x∈[0,1)时，>0，
所以f(x)在[0,1)上单调递增，
因为f(x)为奇函数，所以f(x)在(－1,0)上单调递增，
所以f(x)在(－1,1)上单调递增，
因为f ＝f ＝f ，
f(4)＝f(4－2×2)＝f(0)，
f ＝f ＝f ，
所以f >f(0)>f ，
即f >f(4)>f .
题型三　函数的奇偶性与对称性
例3　(1)已知f(x)是定义在R上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是(　　)
A．y＝(x－1)f(x－1)
B．y＝(x＋1)f(x＋1)
C．y＝xf(x)＋1
D．y＝xf(x)－1
答案　B
解析　构造函数g(x)＝xf(x)，该函数的定义域为R，所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，
函数g(x)为奇函数，
故函数g(x)的图象的对称中心为原点．
函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象可在函数g(x)的图象上向左平移1个单位长度，
故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1,0)．
(2)(2022·扬州模拟)写出一个满足f(x)＝f(2－x)的偶函数f(x)＝________.
答案　cos πx(常数函数也可，答案不唯一)
解析　取f(x)＝cos πx，证明过程如下：
f(x)＝cos πx的定义域为R，
由f(－x)＝cos(－πx)＝cos πx＝f(x)，
故f(x)为偶函数，
又f(2－x)＝cos[π(2－x)]＝cos(2π－πx)＝cos πx＝f(x)．
思维升华　由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．
跟踪训练3　定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2,0)对称，且f(x)在[0,2)上单调递增，则(　　)
A．f(11)B．f(21)C．f(11)D．f(21)答案　A
解析　函数f(x)的图象关于点(－2,0)对称，
∴f(x－4)＝－f(－x)，
又f(x)为定义在R上的奇函数，
所以－f(－x)＝f(x)，所以f(x－4)＝f(x)，
即函数f(x)的周期是4，
则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，
f(21)＝f(1)，
∵f(x)为奇函数，且在[0,2)上单调递增，
则f(x)在(－2,2)上单调递增，
∴f(－1)即f(11)题型四　函数的周期性与对称性
例4　(1)(2022·重庆模拟)已知函数f(x)满足：f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且f(x＋2)＝，当2≤x≤3时，f(x)＝log2，则f 的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
答案　B
解析　因为f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(x)的图象关于直线x＝0对称，即函数f(x)为偶函数，因为f(x＋2)＝，所以函数f(x)是周期函数，且T＝4，
所以f ＝f ＝f ＝f
＝f ＝f ＝log2＝3.
(2)(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称且f(x＋3)＝f(x－3)，当x∈[0,3]时，f(x)＝2x＋2x－11，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)为偶函数
B．f(x)在[－6，－3]上单调递减
C．f(x)的图象关于直线x＝3对称
D．f(2 023)＝－7
答案　ACD
解析　对于A，因为f(x)的定义域为R，
其函数图象关于直线x＝－3对称，
所以f(x－3)＝f(－x－3)，
又f(x＋3)＝f(x－3)，
所以f(x＋3)＝f(－x－3)，
所以f((x－3)＋3)＝f(－(x－3)－3)，
即f(x)＝f(－x)，
所以函数为偶函数，故A正确；
对于B，因为f(x＋3)＝f(x－3)，
所以f((x＋3)＋3)＝f((x＋3)－3)，
即f(x＋6)＝f(x)，
所以函数是周期为6的周期函数，
当x∈[－6，－3]时，x＋6∈[0,3]，
因为当x∈[0,3]时，f(x)＝2x＋2x－11，函数在[0,3]上单调递增，
所以当x∈[－6，－3]时，f(x)＝f(x＋6)＝2x＋6＋2(x＋6)－11，
函数在[－6，－3]上单调递增，故B错误；
对于C，因为f(x)＝f(－x)，
且f(x)的周期为6，
所以f(x－3)＝f(－(x－3))＝f(3－x)＝f(x＋3)，所以f(x)的图象关于直线x＝3对称，故C正确；
对于D，f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)，
又x∈[0,3]时，f(x)＝2x＋2x－11，
所以f(2 023)＝f(1)＝21＋2×1－11＝－7，
故D正确．
思维升华　函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．
跟踪训练4　已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(－1)＝2，则f(2 025)＝________.
答案　2
解析　由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．又由f(x＋4)＝－f(x)，
得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是周期为8的偶函数．
∴f(2 025)＝f(1＋253×8)＝f(1)＝f(－1)
＝2.
课时精练
1．(2022·荆门模拟)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)的周期为2，在[－1,0]上单调递增，那么f(x)在[1,3]上(　　)
A．单调递增 B．单调递减
C．先增后减 D．先减后增
答案　C
解析　函数f(x)的周期为2，
且f(x)在[－1,0]上单调递增且为偶函数，
∴函数f(x)在[0,1]上单调递减，
∴函数f(x)在[1,3]上先增后减．
2．已知函数f(x)＝x2－2|x|＋5.若a＝f(－log25)，b＝f(20.8)，c＝f ，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b答案　C
解析　根据题意知，
f(x)＝x2－2|x|＋5＝f(－x)，
则函数f(x)为偶函数，
则a＝f(－log25)＝f(log25)，
当x≥0时，f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，
在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
又由1＜20.8＜2＜log25＜，
则f(20.8)则有b＜a＜c.
3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，若实数a满足f(log3a)＋≥2f(1)，则a的取值范围是(　　)
A．(0,3] B.
C. D．[1,3]
答案　C
解析　函数f(x)是定义在R上的偶函数，
且在[0，＋∞)上单调递减，
故f(x)在(－∞，0]上单调递增．
因为f(log3a)＋≥2f(1)，
所以f(log3a)＋f(－log3a)＝2f(log3a)≥2f(1)，
即f(log3a)≥f(1)＝f(－1) |log3a|≤1，
所以－1≤log3a≤1，
解得≤a≤3.
4．(2022·重庆西南大学附中月考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3－3x，则f(2 023)等于(　　)
A．1 B．－2 C．－1 D．2
答案　D
解析　由题意知，函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝1对称，
又由f(－x)＝－f(x)，可得f(x)的图象关于点(0,0)对称，
所以函数f(x)是周期为4的函数，
所以f(2 023)＝f(－1)，
因为当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3－3x，
则f(2 023)＝f(－1)＝2.
5．(2022·辽阳模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在[0,2]上单调递增，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4的值为(　　)
A．8 B．－8 C．0 D．－4
答案　B
解析　因为f(x－4)＝－f(x)，
所以f(x)＝－f(x＋4)，
所以f(x＋8)＝f(x)，
所以函数f(x)的周期为8，
又因为f(x)是奇函数，在[0,2]上单调递增，
作出函数的大致图象如图所示，
由图象可知f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上的四个不同的根x1，x2，x3，x4，两个关于直线x＝－6对称，两个关于直线x＝2对称，
所以x1＋x2＋x3＋x4＝－6×2＋2×2＝－8.
6．已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且对于任意的θ∈[0，π]都有f(sin2θ－msin θ)＋f(2m－3)<0恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m>2 B．m<2
C．m≥2 D．m≤2
答案　A
解析　由定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，
得f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，
所以f(sin2θ－msin θ)＋f(2m－3)<0，
f(sin2θ－msin θ)<－f(2m－3)，
f(sin2θ－msin θ)所以sin2θ－msin θ>－2m＋3，
即m>对任意的θ∈[0，π]恒成立，
记2－sin θ＝t，t∈[1,2]，则sin θ＝2－t，
所以m>＝－＋4，
因为t＋≥2，当且仅当t＝1时取等号，
所以－＋4的最大值为2，所以m>2.
7．(多选)(2022·运城模拟)已知偶函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)是以2为周期的周期函数
B．函数f(x)是以4为周期的周期函数
C．函数f(x＋2)为偶函数
D．函数f(x－3)为偶函数
答案　BC
解析　依题意知f(x)是偶函数，
且f(x)＋f(2－x)＝0，
f(x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，所以A错误．
f(x)＝－f(x－2)＝－[－f(x－2－2)]＝f(x－4)，
所以B正确．
f(x＋2)＝f(x－2＋4)＝f(x－2)
＝f(－(x－2))＝f(－x＋2)，
所以函数f(x＋2)为偶函数，C正确．
若f(x－3)是偶函数，
则f(x－3)＝f(－x－3)＝f(x＋3)，
则函数f(x)是周期为6的周期函数，这与上述分析矛盾，所以f(x－3)不是偶函数．D错误．
8．(多选)已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则(　　)
A．f(3)＝0
B．f(3)＝f(5)
C．f(x＋3)＝f(x－1)
D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1
答案　ABC
解析　因为函数f(x＋1)为偶函数，
所以f(x＋1)＝f(1－x)，
又因为f(x)是R上的奇函数，
所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，
所以f(x＋2)＝－f(x)，
f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)的周期为4，
又因为f(1)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，
f(5)＝f(1)＝0，
故A，B正确；
f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，
所以C正确；
f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，
同时根据奇函数的性质得f(2)＝－f(－2)，
所以f(2)，f(－2)既相等又互为相反数，
故f(2)＝0，
所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1对于x＝0不成立，
故D不正确．
9．写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式____________．
答案　f(x)＝tan x，x≠＋kπ(k∈Z)(答案不唯一)
解析　满足题意的函数为f(x)＝tan x，
x≠＋kπ(k∈Z)(答案不唯一)．
10．(2022·哈尔滨模拟)已知函数f(x)的定义域为R，当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>时，f ＝f ，则f(6)＝________.
答案　2
解析　∵当x>时，f ＝f ，
∴当x>时，f(x＋1)＝f(x)，即周期为1.
∴f(6)＝f(1)，
∵当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，
∴f(1)＝－f(－1)，
∵当x<0时，f(x)＝x3－1，
∴f(－1)＝－2，
∴f(1)＝－f(－1)＝2，
∴f(6)＝2.
11．设函数f(x)为定义在R上的函数，对 x∈R都有：f(x)＝f(－x)，f(x)＝f(2－x)；且函数f(x)对 x1，x2∈[0,1]，x1≠x2，有>0成立，设a＝f ，b＝f(log43)，c＝f ，则a，b，c的大小关系为________．
答案　c解析　∵f(x)＝f(－x)，f(x)＝f(2－x)，
∴f(x＋2)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝f(x)，
又∵对 x1，x2∈[0,1]，x1≠x2，
有>0成立，
∴函数f(x)为偶函数、周期为2，在[0,1]上单调递增，
∴c＝f ＝f ，
a＝f ＝f ＝f ，
∵b＝f(log43)，其中log43∈，
∴<12．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，若实数a满足f(a)＋f(1－2a)>0，则a的取值范围是________．
答案　(0,1)
解析　对于函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，
有解得－1则函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)，定义域关于原点对称，
f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，
所以函数y＝f(x)为奇函数，
由于函数y＝ln(1＋x)在区间(－1,1)上单调递增，
函数y＝ln(1－x)在区间(－1,1)上单调递减，
所以函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)在(－1,1)上单调递增，
由f(a)＋f(1－2a)>0，
得f(a)>－f(1－2a)＝f(2a－1)，
所以
解得0因此，实数a的取值范围是(0,1)．

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