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§2.7　对数与对数函数
考试要求　1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
y＝logax a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．
常用结论
1．logab·logba＝1，＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　×　)
(2)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　×　)
(3)函数y＝loga与函数y＝ln(1＋x)－ln(1－x)是同一个函数．(　×　)
(4)函数y＝log2x与y＝的图象重合．(　√　)
教材改编题
1．函数y＝loga(x－2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点 ．
答案　(3,2)
解析　∵loga1＝0，
令x－2＝1，∴x＝3，
∴y＝loga1＋2＝2，
∴原函数的图象恒过定点(3,2)．
2．计算：(log29)·(log34)＝ .
答案　4
解析　(log29)·(log34)＝×＝×＝4.
3．若函数y＝logax(a>0，a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝ .
答案　或2
解析　当a>1时，loga4－loga2＝loga2＝1，
∴a＝2；
当0∴a＝，综上有a＝或2.
题型一　对数式的运算
例1　(1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A. B．10 C．20 D．100
答案　A
解析　2a＝5b＝m，
∴log2m＝a，log5m＝b，
∴＋＝＋＝logm2＋logm5
＝logm10＝2，
∴m2＝10，
∴m＝(舍m＝－)．
(2)计算：log535＋－log5－log514＝ .
答案　2
解析　原式＝log535－log5－log514＋
＝log5＋
＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.
教师备选
计算：＝ .
答案　1
解析　原式＝
＝
＝＝＝＝1.
思维升华　解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
跟踪训练1　(1)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＋b＝ .
答案　6
解析　设logb a＝t，则t>1，因为t＋＝，
所以t＝2，则a＝b2.又ab＝ba，
所以b2b＝，即2b＝b2，
又a>b>1，解得b＝2，a＝4.
所以a＋b＝6.
(2)计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝ .
答案　4
解析　原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2
＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2
＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2)
＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2
＝3(lg 5＋lg 2)＋1
＝4.
题型二　对数函数的图象及应用
例2　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0C．0答案　A
解析　由函数图象可知，f(x)为增函数，故a>1.函数图象与y轴的交点坐标为(0，logab)，由函数图象可知－1(2)若方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为 ．
答案　
解析　
若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在上有交点，
由图象知解得0教师备选
已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，则＋ln x2的值为(　　)
A．e2＋ln 2 B．e＋ln 2
C．2 D．4
答案　C
解析　根据题意，已知x1，x2分别是函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x－2的零点，
函数f(x)＝ex＋x－2的零点为函数y＝ex的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为(x1，)，
函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为函数y＝ln x的图象与y＝2－x的图象的交点的横坐标，
则两个函数图象的交点为(x2，ln x2)，
又由函数y＝ex与函数y＝ln x互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，
而直线y＝2－x也关于直线y＝x对称，则点(x1，)和(x2，ln x2)也关于直线y＝x对称，则有x1＝ln x2，则有＋ln x2＝＋x1＝2.
思维升华　对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝logax＋b的图象如图所示，那么函数g(x)＝ax＋b的图象可能为(　　)
答案　D
解析　结合已知函数的图象可知，
f(1)＝b<－1，a>1，
则g(x)单调递增，且g(0)＝b＋1<0，故D符合题意．
(2)(2022·广州调研)设x1，x2，x3均为实数，且＝ln x1，＝ln(x2＋1)，＝lg x3，则(　　)
A．x1C．x2答案　D
解析　画出函数y＝x，y＝ln x，y＝ln(x＋1)，y＝lg x的图象，如图所示．
数形结合，知x2题型三　对数函数的性质及应用
命题点1　比较指数式、对数式大小
例3　(1)设a＝log3e，b＝e1.5，c＝ ，则(　　)
A．bC．c答案　D
解析　c＝＝log34>log3e＝a.
又c＝log342，
∴a(2)(2022·昆明一中月考)设a＝log63，b＝log126，c＝log2412，则(　　)
A．bC．a答案　C
解析　因为a，b，c都是正数，
所以＝log36＝1＋log32，
＝log612＝1＋log62，
＝log1224＝1＋log122，
因为log32＝，
log62＝，
log122＝，且lg 3所以log32>log62>log122，
即>>，
所以a命题点2　解对数方程不等式
例4　若loga(a＋1)0，a≠1)，则实数a的取值范围是 ．
答案　
解析　依题意loga(a＋1)∴或
解得命题点3　对数性质的应用
例5　(2020·全国Ⅱ)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是偶函数，且在上单调递增
D．是奇函数，且在上单调递减
答案　D
解析　f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为.
又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|
＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，故排除A，C.
当x∈时，
f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln
＝ln＝ln，
∵y＝1＋在上单调递减，
∴由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．
教师备选
1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a＝log23，b＝2log53，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a
答案　B
解析　∵a＝log23>1，b＝2log53＝log59>1，
c＝<0，
∴＝＝×＝×
＝＝＝log45>1，
∴a>b，∴a>b>c.
2．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．[1,2) B．[1,2]
C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
答案　A
解析　令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数f(x)在
(－∞，1]上单调递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．
思维升华　求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
跟踪训练3　(1)若实数a，b，c满足loga2A．aC．c答案　C
解析　根据不等式的性质和对数的换底公式可得<<<0，
即log2c可得c(2)若函数f(x)＝存在最大值，则实数a的取值范围是 ．
答案　
解析　当a>1时，函数f(x)＝logax在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意，
故0当x≥2时，函数f(x)＝logax在[2，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(2)＝loga2；
当0则loga2≥－loga2－4，即loga2≥－2＝logaa－2，
即≥2,0故实数a的取值范围是.
(3)(2022·潍坊模拟)已知f(x)＝1＋log3x(1≤x≤9)，设函数g(x)＝f2(x)＋f(x2)，则g(x)max－g(x)min＝ .
答案　5
解析　由题意得
∴1≤x≤3，∴g(x)的定义域为[1,3]，
g(x)＝f2(x)＋f(x2)
＝(1＋log3x)2＋1＋log3x2
＝(log3x)2＋4log3x＋2，
设t＝log3x，则0≤t≤1，
则y＝t2＋4t＋2＝(t＋2)2－2，在[0,1]上单调递增，
∴当t＝0即x＝1时，g(x)min＝2，
当t＝1即x＝3时，g(x)max＝7，
∴g(x)max－g(x)min＝5.
课时精练
1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a＝，b＝log7，c＝log87，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
答案　D
解析　a＝＝log7>b＝log7，
c＝log87>log8＝＝a，
所以c>a>b.
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于(　　)
A．log2x B. C． D．2x－2
答案　A
解析　函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，
又f(2)＝1，即loga2＝1，
所以a＝2.故f(x)＝log2x.
3．(2022·昆明模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1＝10 lg (单位：分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I的取值范围是(　　)
A．(－∞，10－7) B．[10－12，10－5)
C．[10－12，10－7) D．(－∞，10－5)
答案　C
解析　由题意可得，0≤10·lg <50，
即0≤lg I－lg(1×10－12)<5，
所以－12≤lg I<－7，
解得10－12≤I<10－7，
所以声音强度I的取值范围是[10－12,10－7)．
4．设函数f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
答案　C
解析　由题意得
或
解得a>1或－15. (多选)函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)
A．a>1
B．0C．0D．c>1
答案　BC
解析　由图象可知函数为减函数，∴0令y＝0得loga(x＋c)＝0，
x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0<1－c<1，
∴06．(多选)已知函数f(x)＝ln(e2x＋1)－x，则(　　)
A．f(ln 2)＝ln
B．f(x)是奇函数
C．f(x)在(0，＋∞)上单调递增
D．f(x)的最小值为ln 2
答案　ACD
解析　f(ln 2)＝ln(e2ln 2＋1)－ln 2＝ln ，
故A项正确；
f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(e2x＋1)－ln ex
＝ln ＝ln(ex＋e－x)，
所以f(－x)＝ln(ex＋e－x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，故B项错误；
当x>0时，y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，
因此y＝ln(ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，故C项正确；
由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，
所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，
所以f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，故D项正确．
7．(2022·海口模拟)log3＋lg 25＋lg 4＋＋的值等于 ．
答案　
解析　原式＝
＋lg 52＋lg 22＋2＋
＝＋2lg 5＋2lg 2＋2＋2
＝＋2(lg 5＋lg 2)＋2＋2
＝＋2＋2＋2
＝.
8．函数f(x)＝log2·的最小值为 ．
答案　－
解析　依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－.
9．设f(x)＝log2(ax－bx)，且f(1)＝1，f(2)＝log212.
(1)求a，b的值；
(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的最大值．
解　(1)因为f(x)＝log2(ax－bx)，
且f(1)＝1，f(2)＝log212，
所以
即
解得a＝4，b＝2.
(2)由(1)得f(x)＝log2(4x－2x)，
令t＝4x－2x，
则t＝4x－2x＝2－，
因为1≤x≤2，所以2≤2x≤4，
所以≤2≤，即2≤t≤12，
因为y＝log2t在[2,12]上单调递增，
所以ymax＝log212＝2＋log23，
即函数f(x)的最大值为2＋log23.
10．(2022·枣庄模拟)已知函数f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，a>0且a≠1.
(1)判断f(x)的奇偶性并予以证明；
(2)当a>1时，求使f(x)>0的x的解集．
解　(1)f(x)是奇函数，证明如下：
因为f(x)＝loga(x＋1)－loga(1－x)，
所以
解得－1f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)
＝－[loga(1＋x)－loga(－x＋1)]＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)因为当a>1时，y＝loga(x＋1)是增函数，
y＝loga(1－x)是减函数，
所以当a>1时，f(x)在定义域(－1,1)内是增函数，
f(x)>0即loga(x＋1)－loga(1－x)>0，
loga>0，>1，>0，
2x(1－x)>0，解得0故使f(x)>0的x的解集为(0,1)．
11．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A．a＋bC．a＋b<0答案　B
解析　∵a＝log0.20.3>log0.21＝0，
b＝log20.3∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，
∴1＝log0.30.3>log0.30.4>log0.31＝0，
∴0<<1，∴ab12．若实数x，y，z互不相等，且满足2x＝3y＝log4z，则(　　)
A．z>x>y B．z>y>x
C．x>y，x>z D．z>x，z>y
答案　D
解析　设2x＝3y＝log4z＝k>0，
则x＝log2k，y＝log3k，z＝4k，
根据指数、对数函数图象易得4k>log2k，
4k>log3k，
即z>x，z>y.
13．(2022·沈阳模拟)函数f(x)＝|log3x|，若正实数m，n(mA. B. C. D.
答案　A
解析　∵f(x)＝|log3x|，正实数m，n(m∴0∴log3m＝－log3n，
∴log3m＋log3n＝0，解得mn＝1，
又∵f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，
易知f(m2)＝－log3m2＝2，此时
∴n－m＝.
14．(2022·惠州模拟)若函数f(x)＝loga有最小值，则实数a的取值范围是 ．
答案　(1，)
解析　令u＝x2－ax＋＝2＋－，
则u有最小值－，
欲使函数f(x)＝loga有最小值，
则有
解得115．(2022·丽水模拟)已知loga(a＋1)0且a≠1)，则a的取值范围是 ．
答案　
解析　∵loga(a＋1)－log(a＋1)a
＝－
＝
＝
当a>1时，lg(a＋1)>lg a>0，
∴loga(a＋1)>log(a＋1)a，不符合题意；
当00，
lg(a＋1)－lg a＝lg>lg 1＝0，
lg(a＋1)＋lg a＝lg [a(a＋1)]
＝lg，
∴loga(a＋1)即为lg>0，
由于y＝lg x(x>0)单调递增，
∴2－>1.
又0综上有a的取值范围是.
16．已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)．
(1)当k＝－4时，解不等式f(x)>2；
(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1)，且关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，求实数m的取值范围．
解　(1)当k＝－4时，f(x)＝log2(2x－4)．
由f(x)>2，
得log2(2x－4)>2，
得2x－4>4，
得2x>8，
解得x>3.
故不等式f(x)>2的解集是(3，＋∞)．
(2)因为函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的图象过点P(0,1)，
所以f(0)＝1，
即log2(1＋k)＝1，
解得k＝1.
所以f(x)＝log2(2x＋1)．
因为关于x的方程f(x)＝x－2m有实根，
即log2(2x＋1)＝x－2m有实根．
所以方程－2m＝log2(2x＋1)－x有实根．
令g(x)＝log2(2x＋1)－x，
则g(x)＝log2(2x＋1)－x
＝log2(2x＋1)－log22x
＝log2＝log2.
因为1＋>1，log2>0，
所以g(x)的值域为(0，＋∞)．
所以－2m>0，
解得m<0.
所以实数m的取值范围是(－∞，0)．

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