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§2.9　函数的零点与方程的解
考试要求　1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(　×　)
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(　×　)
(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(　×　)
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若b2－4ac<0，则f(x)无零点．(　√　)
教材改编题
1．(多选)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4 5 6 7
f(x) －4 －2 1 4 2 －1 －3
在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(　　)
A．(1,2) B．(2,3) C．(5,6) D．(5,7)
答案　BCD
解析　由所给的函数值表知，
f(1)f(2)>0，f(2)f(3)<0，f(5)f(6)<0，
f(5)f(7)<0，
∴f(x)在区间(2,3)，(5,6)，(5,7)内各至少有一个零点．
2．已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________．
答案　－2，e
解析　或
解得x＝－2或x＝e.
3．方程2x＋x＝k在(1,2)内有解，则实数k的取值范围是________．
答案　(3,6)
解析　设f(x)＝2x＋x，
∴f(x)在(1,2)上单调递增，
又f(1)＝3，f(2)＝6，
∴3题型一　函数零点所在区间的判定
例1　(1)(多选)(2022·菏泽质检)函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案　AD
解析　f(－2)＝>0，f(－1)＝－1<0，
f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，
f(2)＝e2－4>0，
因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．
(2)若aA．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案　A
解析　函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，
即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
教师备选
(2022·湖南雅礼中学月考)设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
答案　D
解析　f(x)的定义域为{x|x>0}，
f′(x)＝－＝，
令f′(x)>0 x>3，f′(x)<0 0∴f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
又f ＝＋1>0，f(1)＝>0，
∴f(x)在内无零点．
又f(e)＝－1<0，∴f(x)在(1，e)内有零点．
思维升华　确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
跟踪训练1　(1)(2022·太原模拟)利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案　C
解析　设f(x)＝log3x－3＋x，
当x→0时，f(x)→－∞，f(1)＝－2，
又∵f(2)＝log32－1<0，
f(3)＝log33－3＋3＝1>0，
故f(2)·f(3)<0，
故方程log3x＝3－x在区间(2,3)上有解，
即利用二分法求方程log3x＝3－x的近似解，可以取的一个区间是(2,3)．
(2)已知2答案　2
解析　依题意x0为方程logax＝－x＋b的解，
即为函数f(x)＝logax＋x－b的零点，
∵2∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(2)＝loga2＋2－b<0，
f(3)＝loga3＋3－b>0，
∴x0∈(2,3)，即n＝2.
题型二　函数零点个数的判定
例2　(1)(2022·绍兴模拟)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，已知函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6,6]内的零点个数为(　　)
A．14 B．13 C．12 D．11
答案　C
解析　因为f(x＋1)＝－f(x)，
所以函数y＝f(x)(x∈R)是周期为2函数，
因为x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，
所以作出它的图象，则y＝f(x)的图象如图所示．(注意拓展它的区间)
再作出函数g(x)＝的图象，
容易得出交点为12个．
(2)函数f(x)＝·cos x的零点个数为______．
答案　6
解析　令36－x2≥0，解得－6≤x≤6，
∴f(x)的定义域为[－6,6]．
令f(x)＝0得36－x2＝0或cos x＝0，
由36－x2＝0得x＝±6，
由cos x＝0得x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－6,6]，
∴x为－，－，，.
故f(x)共有6个零点．
教师备选
函数f(x)＝2x|log2x|－1的零点个数为(　　)
A．0 B．1 C．2 D．4
答案　C
解析　令f(x)＝0，得|log2x|＝x，分别作出y＝|log2x|与y＝x的图象(图略)，
由图可知，y＝|log2x|与y＝x的图象有两个交点，即原函数有2个零点．
思维升华　求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
跟踪训练2　(1)函数f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x<2时f(x)＝x2－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[－3,3]上与x轴的交点个数为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
答案　B
解析　令f(x)＝x2－x＝0，
所以x＝0或x＝1，所以f(0)＝0，f(1)＝0，
因为函数的最小正周期为2，
所以f(2)＝0，f(3)＝0，f(－2)＝0，
f(－1)＝0，f(－3)＝0.
所以函数y＝f(x)的图象在区间[－3,3]上与x轴的交点个数为7.
(2)(2022·泉州模拟)设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为(　　)
A．3 B．7 C．5 D．6
答案　B
解析　根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，
得f(x)＝1或f(x)＝.
作出f(x)的简图：
由图象可得当f(x)＝1和f(x)＝时，分别有3个和4个交点，
故关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为 7.
题型三　函数零点的应用
命题点1　根据函数零点个数求参数
例3　(2022·武汉模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)－a(x＋3)＝0有四个不同的实根，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，4－2) B．(4＋2，＋∞)
C．[0,4－2] D．(0,4－2)
答案　D
解析　画出f(x)的函数图象，
设y＝a(x＋3)，该直线恒过点(－3,0)，
结合函数图象，
若y＝a(x＋3)与y＝－x2－2x相切，
联立得x2＋(a＋2)x＋3a＝0，
Δ＝(a＋2)2－12a＝0，
得a＝4－2(a＝4＋2舍)，
若f(x)＝a(x＋3)有四个不同的实数根，
则0命题点2　根据函数零点范围求参数
例4　(2022·北京顺义区模拟)已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(－∞，0) D.
答案　B
解析　由f(x)＝3x－＝0，
可得a＝3x－，
令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)，
由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，
则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．
由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．
当x∈(－∞，－1)时，
g(x)＝3x－<3－1＋1＝，
又g(x)＝3x－>0，
所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.
因此实数a的取值范围是.
教师备选
1．函数f(x)＝－kx2有两个零点，则实数k的值为________．
答案　－1
解析　由f(x)＝－kx2＝x，
函数f(x)＝－kx2有两个零点，即函数y＝－kx只有一个零点x0，且x0≠0.
即方程－kx＝0有且只有一个非零实根．
显然k≠0，即＝x2＋2x有且只有一个非零实根．
即二次函数y＝x2＋2x的图象与直线y＝有且只有一个交点(横坐标不为零)．
作出二次函数y＝x2＋2x的图象，如图．
因为≠0，由图可知，当>－1时，
函数y＝x2＋2x的图象与直线y＝有两个交点，不满足条件．
当＝－1，即k＝－1时满足条件．
当<－1时，函数y＝x2＋2x的图象与直线y＝无交点，不满足条件．
2．若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是________．
答案　
解析　依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足
即
解得思维升华　已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
跟踪训练3　(1)(多选)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b可取的值可能是(　　)
A．0 B. C. D．1
答案　BCD
解析　函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的交点，
当x≤0时，f(x)＝(x＋1)ex，
则f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0]上单调递增，且f(－2)＝－，f(0)＝1，
x→－∞时，f(x)→0，
从而可得f(x)的图象如图所示，
通过图象可知，若函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的交点，则b∈(0,1]．
(2)已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1,3]上有零点，则m的取值范围为(　　)
A.
B.∪(0，＋∞)
C.∪(0，＋∞)
D.
答案　D
解析　由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1,3]上单调递增，
所以函数f(x)在(1,3]上单调递增，
由于函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1,3]上有零点，
则即
解得－≤m<0.
因此，实数m的取值范围是.
课时精练
1．函数f(x)＝x3－x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
答案　B
解析　由题意知，f(x)＝x3－x－2，
f(0)＝－4，f(1)＝－1，f(2)＝7，
因为f(x)在R上连续且在R上单调递增，
所以f(1)·f(2)<0，f(x)在(1,2)内有唯一零点．
2．设函数f(x)＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(3)>0，则方程的近似解落在区间(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　取x1＝2，
因为f(2)＝4×8＋2－8＝26>0，
所以方程近似解x0∈(1,2)，
取x2＝，
因为f ＝4×＋－8＝7>0，
所以方程近似解x0∈.
3．(2022·武汉质检)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
答案　D
解析　由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，即a＝x＋在上有解，
设t＝x＋，x∈，
则t的取值范围是.
所以实数a的取值范围是.
4．若函数f(x)＝存在2个零点，则实数m的取值范围为(　　)
A．[－3,0) B．[－1,0)
C．[0,1) D．[－3，＋∞)
答案　A
解析　因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，
函数f(x)＝存在2个零点，
当且仅当f(x)在(－∞，1]上有一个零点，x≤1时，f(x)＝0 m＝－3x，
即函数y＝－3x在(－∞，1]上的图象与直线y＝m有一个公共点，
而y＝－3x在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x<0，则当－3≤m<0时，直线y＝m和函数y＝－3x(x≤1)的图象有一个公共点．
5．(2022·重庆质检)已知函数f(x)＝x－log2x，设0A．x0c
C．x0b
答案　B
解析　f(x)＝x－log2x在(0，＋∞)上单调递减，由f(a)·f(b)·f(c)<0，
得f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0或f(a)>0，
f(b)>0，f(c)<0.
∴x0c不成立．
6．(2022·北京西城区模拟)若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的根的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．多于4
答案　C
解析　f(x)＝log3|x|的解的个数，等价于y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数，因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，
所以周期T＝2，
当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且f(x)为偶函数，
在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．
显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点．
7．(多选)函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是(　　)
A．1 B．2 C．4 D．6
答案　ABC
解析　由题意知，
f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]，
f(x)＝
在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示．
由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.
8．(多选)(2022·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋x B．g(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝＋1 D．f(x)＝|log2x|－1
答案　BCD
解析　选项A，若f(x0)＝x0，则＝0，该方程无解，故A中函数不是“不动点”函数；
选项B，若g(x0)＝x0，则x－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故B中函数是“不动点”函数；
选项C，若f(x0)＝x0，则＋1＝x0，
可得x－3x0＋1＝0，且x0≥1，
解得x0＝，故C中函数是“不动点”函数；
选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，
即|log2x0|＝x0＋1，
作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，
由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，
即|log2x0|＝x0＋1，
故D中函数是“不动点”函数．
9．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是奇函数，且有三个不同的零点，写出一个符合条件的函数：f(x)＝________.
答案　x3－x(答案不唯一)
解析　f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c为奇函数，
故a＝c＝0，f(x)＝x3＋bx＝x(x2＋b)有三个不同零点，
∴b<0，
∴f(x)＝x3－x满足题意．
10．函数f(x)＝若函数y＝f(x)－m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________．
答案　(1,2)
解析　画出函数y＝f(x)与y＝m的图象，如图所示，
注意当x＝－1时，
f(－1)＝－1＋2＋1＝2，f(0)＝1，
∵函数y＝f(x)－m有三个不同的零点，
∴函数y＝f(x)与y＝m的图象有3个交点，由图象可得m的取值范围为111．(2022·枣庄模拟)已知函数f(x)＝|ln x|，若函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0，e2]上有三个零点，则实数a的取值范围是______________．
答案　
解析　∵函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0，e2]上有三个零点，
∴y＝f(x)的图象与直线y＝ax在区间(0，e2]上有三个交点，
由函数y＝f(x)与y＝ax的图象可知，
k1＝＝，
f(x)＝ln x(x＞1)，f′(x)＝，
设切点坐标为(t，ln t)，则＝，
解得t＝e.∴k2＝.
则直线y＝ax的斜率a∈.
12．(2022·济南质检)若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝________.
答案　1
解析　x1，x2分别是函数y＝ex，函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，所以A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.
13．已知函数f(x)＝2x＋x－1，g(x)＝log2x＋x－1，h(x)＝x3＋x－1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小为(　　)
A．c>b>a B．b>c>a
C．c>a>b D．a>c>b
答案　B
解析　令f(x)＝0，则2x＋x－1＝0，
得x＝0，即a＝0，
令g(x)＝0，则log2x＋x－1＝0，
得x＝1，即b＝1，
因为函数h(x)＝x3＋x－1在R上为增函数，且h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，
所以h(x)在区间(0,1)上存在唯一零点c，
且c∈(0,1)，综上，b>c>a.
14．(2022·厦门模拟)已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的所有零点之和为________．
答案　
解析　当x≤0时，x＋1＝0，x＝－1，
由f(x)＝－1，
可得x＋1＝－1或log2x＝－1，
∴x＝－2或x＝；
当x>0时，log2x＝0，x＝1，由f(x)＝1，
可得x＋1＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2；
∴函数y＝f(f(x))的所有零点为－2，，0,2，
∴所有零点的和为－2＋＋0＋2＝.
15．若关于x的方程＝kx2有四个不同的实数解，则k的取值范围为(　　)
A．(0,1) B.
C. D．(1，＋∞)
答案　C
解析　因为＝kx2有四个实数解，
显然，x＝0是方程的一个解，
下面只考虑x≠0时有三个实数解即可．
若x>0，原方程等价于1＝kx(x＋4)，
显然k≠0，则＝x(x＋4)．
要使该方程有解，必须k>0，
则＋4＝(x＋2)2，此时x>0，方程有且必有一解；
所以当x<0时必须有两解，当x<0时，
原方程等价于－1＝kx(x＋4)，
即－＝x(x＋4)(x<0且x≠－4)，要使该方程有两解，
必须－4<－<0，
所以k>.
所以实数k的取值范围为.
16．已知M＝{α|f(α)＝0}，N＝{β|g(β)＝0}，若存在α∈M，β∈N，使得|α－β|答案　
解析　由题意可知f(2)＝0，且f(x)在R上单调递减，所以函数f(x)只有一个零点2，由|2－β|<1，得1<β<3，所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1,3)上存在零点．
由g(x)＝x2－aex＝0，得a＝.
令h(x)＝，则h′(x)＝＝，所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且h(1)＝，h(2)＝，h(3)＝>，要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点，只需a∈.