资源简介

向量的加法
【学习目标】
1．掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；
2．会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。
【学习重点】
1．会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量。
2．理解向量加法的定义
【学习过程】
一、情景引入：
（1）某人从A到B，再按原方向从B到C，
则两次的位移和：
（2）若上题改为从A到B，再按反方向从B到C，
则两次的位移和：
（3）某车从A到B，再从B改变方向到C，
则两次的位移和：
（4）船速为，水速为，则两速度和：
二、合作探究
探究一：向量加法——三角形法则和平行四边形法则
问题1：在情景引入（3）中两次位移的和向量与向量，的关系如何？
1．向量加法的三角形法则(“首尾相接”)：已知非零向量，在平面内任取一点A，作，则向量__________叫做与的和，记作_________ ，即=__ __ __=______ ，这种求向量和的方法称为向量加法的三角形 法则。
2．向量加法的平行四边形法则：已知向量a，b，作＝a，＝b，再作平行的＝b，连接DC，则四边形ABCD为平行四边形，向量叫作向量a与b的和，表示为＝a＋b
3．对于零向量与任一向量，我们规定=_________=____。
探究二：向量加法的交换律和结合律
问题2：数的运算律有哪些？类似的，向量的加法是否也有运算律呢？
4．对于任意向量，，向量加法的交换律是：
结合律是： 。
小结：在三角形法则中 “首尾相接”，是第二个向量的始点与第一个向量的终点重合。
三、拓展提升
一般地|+|≤ || + ||
当与不共线时，|+||| + ||
当与共线且同向时，|+|=|| + ||
当与共线且反向时，|+|=||| —|||
四、预习自测
1．化简
2．在平行四边形ABCD中，下列各式中不成立的是 （1）（2）（4）
（1） （2）
（3） （4）
3．已知正方形ABCD的边长为1，，则为（ ）
A．0 B．3 C． D．
答案：D
五、课堂互动探究
例1 化简下列各式：
（1）＋＋；（2）＋＋＋
解：（1）＋＋＝(＋P)＋＝＋＝2；
（2）＋M＋＋＝(＋)＋(＋M)＝＋＝。
巩固训练：
化简：（1）＋＋；
（2）＋＋＋＋；
（3）＋＋＋＋。
解：（1）原式＝＋＋＝；
（2）原式＝＋＋＋＋＝0；
（3）原式＝(＋)＋＋(＋)＝＋＋0＝0.
例2 如图，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量：
（1）＋；
（2）＋；
（3） ＋。
解：（1）＋＝； （2）＋＝； （3）＋＝0.
例3 一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时水的流速为2 km/h，求船实际航行的速度的大小与方向。
解：如图，设表示船垂直于对岸的速度，表示水流的速度，以AD，AB为邻边作平行四边形ABCD，则就是船实际航行的速度。
在Rt△ABC中，||＝2，||＝2，
∴||＝＝4．
∵tan∠CAB＝＝，
∴∠CAB＝60°。
六、迁移与应用
如图（1），用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)。
解：如图（2），设、分别表示A．B所受的力，10 N的重力用表示，
则＋＝。
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°。
∴∠CEG＝∠CFG＝90°，
∴||＝||cos 30°＝10×＝5，
||＝||cos 60°＝10×＝5．
∴A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N
【达标检测】
1．如图，D．E、F分别为的三边的中点， 则 （　　）
A． B．
C． D．
答案：A
2． 如图，分别为的边的中点，则( )
A． B．
C． D．
答案：A
3． O为三角形ABC内一点，若++=，则O是三角形ABC的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
答案：D
4．四边形OABC中，，若，，则（　　）
A． B． C． D．
答案：D
5．在中，已知M是BC中点，设则（　　）
A． B． C． D．
答案：A
解析：，故选A．
6．在中，若，则一定是（　　）
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
答案：C
7．如图，在正六边形ABCDEF中，（　　）
A． B． C． D．
答案：D
解析：根据正六边形的性质，我们易得
=。 故选D
8．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于 （ ）
A． B． C． D.
答案： A
解析：本题需要将用表达，则需利用向量的加法和减法法则（平行四边形或三角形法则）寻找他们之间的关系。由图可知所以，因为ABCD为平行四边形，所以有，则，故选A．
9．向量 表示“向东走2km”，向量表示“向南走km”，则表示 。
答案：向东南走8km
10．在四边形ABCD中，+++= 。
答案：
11．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝ 。
答案：2
解析：由向量加法的平行四边形法则得＋＝＝2，所以λ＝2．
12． 设平面内有四边形和点，，，，，
若，则四边形的形状为 。
答案：平行四边形
13． 如图，且，
则
答案：
A B C
C A B
A B
C
A B
C
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