资源简介

向量的加法
【学习目标】
1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律。
2．掌握向量加法运算法则，能熟练地进行加法运算。
3．数的加法与向量的加法的联系与区别。
【学习重难点】
1．向量加法的概念。
2．向量加法的运算法则。
3．数与向量的类比。
【学习过程】
问题导学
预习教材P137－P141的内容，思考以下问题：
1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？
2．向量的加法如何定义？
3．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
【新知初探】
1．向量加法的三角形法则
一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则向量称为向量a与b的和（也称为向量a与b的和向量），向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝。
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则。
对任意向量a，有a＋00＋a＝A．
向量a，b的模与a＋b的模之间满足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|。
2．向量加法的平行四边形法则
一般地，平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为＝，因此＝＋＝＋。
这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则。
由向量加法的平行四边形法则不难看出，向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋A．
3．多个向量相加
结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。
因为向量的加法满足交换律和结合律，所以有限个向量相加的结果是唯一的，我们可以任意调换其中向量的位置，也可以任意决定相加的顺序。例如
（a＋b）＋（c＋d）＝a＋[（b＋c）＋d]＝[（d＋c）＋a]＋B．
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）a＋（b＋c）＝（a＋b）＋C．（　　）
（2）＋＝0.（　　）
（3）求任意两个非零向量的和都可以用平行四边形法则。（　　）
2．＋＋等于（　　）
A．
B．
C．
D．
3．边长为1的正方形ABCD中，|＋|＝（　　）
A．2
B．
C．1
D．2
4．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________。
解析：由平行四边形法则可知＋＝。
探究点一：向量加法运算法则的应用
1．（1）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么（在横线上只填上一个向量）：
①＋＝________；
②＋＝________；
③＋＋＝________。
（2）①如图甲所示，求作向量和a＋B．
②如图乙所示，求作向量和a＋b＋C．
[互动探究]
1．[变问法]在例1（1）条件下，求＋。
解：因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝。
2．[变问法]在例1（1）图形中求作向量＋＋。
解：过A作AG∥DF，且AG＝DF交CF的延长线于点G，
则＋＝。作＝，连接，
则＝＋＋，如图所示。
[规律方法]
（1）三角形法则可以推广到n个向量求和，作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量。
（2）平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合。
（3）求作三个或三个以上的向量的和时，用三角形法则更简单。
1．如图，在正六边形ABCDEF中，O是其中心。
则（1）＋＝________；
（2）＋＋＝________；
（3）＋＋＝________。
探究点二：向量加法运算律的应用
2．（1）设a＝（＋）＋（＋），b是一个非零向量，则下列结论正确的有________。（将正确结论的序号填在横线上）
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|。
（2）如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
①＋＋；
②＋＋＋。
[规律方法]
向量加法运算律的意义和应用原则
（1）意义
向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的。实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
（2）应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序。
1．已知正方形ABCD的边长等于1，则|＋＋＋|＝________。
解析：|＋＋＋|＝|（＋）＋（＋）|＝|＋|＝2||＝2。
答案：2
探究点三：向量加法的实际应用
3．如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）。
[规律方法]
利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
4．如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和。
【达标反馈】
1．化简＋＋等于（　　）
A．
B．
C．
D．
2．对于任意一个四边形ABCD，下列式子不能化简为的是（　　）
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．＋＋
3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝________。
答案：1
4．若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）√
（2）√
（3）×
2．解析：选C．。
3．答案：B
4．解析：由平行四边形法则可知＋＝。
答案：
探究点一：向量加法运算法则的应用
1．解析：（1）＋＝＋＝；
（2）＋＋＝＋＝＋＝；
（3）＋＋＝＋＋＝。
答案：（1）（2）（3）
2．【解】（1）由条件得，（＋）＋（＋）＝0＝a，故①③正确。
（2）①＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝；
②＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0.
3．【解】如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10N的重力用表示，则＋＝。
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
∠FCG＝180°－120°＝60°。
所以||＝||·cos30°
＝10×＝5，
||＝||cos60°＝10×＝5．
所以A处所受的力为5N，B处所受的力为5N。
4．解：设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km，从B地按南偏东55°的方向飞行800km，则飞机飞行的路程指的是||＋||；
两次飞行的位移的和指的是＋＝。
依题意，有||＋||＝800＋800＝1600（km），
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以
＝800（km）。
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°。
所以飞机飞行的路程是1600km，两次飞行的位移和的大小为800km，方向为北偏东80°。
【达标反馈】
1．解析：选C．＋＋＝。
2．解析：选C．在A中＋＋＝＋＝；在B中＋＋＝＋＝；在C中＋＋＝＋＝；在D中＋＋＝＋＝＋＝。
3．解析：在菱形ABCD中，连接BD（图略），
因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形，
又因为||＝1，所以||＝1，
|＋|＝||＝1．
4．解析：如图所示，作＝a，＝b，
则a＋b＝＋＝。
所以|a＋b|＝||
＝＝8（km），
因为∠AOB＝45°，
所以a＋b的方向是东北方向。
答案：8km东北方向
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