资源简介

向量的减法
【学习目标】
1．掌握向量减法的运算及其几何意义，能熟练地进行向量的加减运算。
2．理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义。
3．能将向量的减法运算转化为向量的加法运算。
【学习重难点】
1．相反向量。
2．向量的减法。
3．与向量加法的关系。
【学习过程】
问题导学
预习教材P142－P144的内容，思考以下问题：
1．一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？
2．任何一个数x与它相反数的和为0，那么向量a与它的相反向量的和是什么？
3．向量的减法运算及其几何意义是什么？
【新知初探】
1．一般地，平面上任意给定两个向量a，b，如果向量x能够满足b＋x＝a，则称x为向量a与b的差，并记作x＝a－B．在平面内任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，注意到＋＝，因此向量就是向量a与b的差（也称为向量a与b的差向量），即－＝。上述求两向量差的作图方法也常称为向量减法的三角形法则。
2．给定一个向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量a的相反向量记作－A．因为零向量的始点与终点相同，所以－0＝0.
不难看出，a＋（－a）＝0，＋（－）＝0.
向量的减法可以看成向量加法的逆运算，即a－b＝a＋（－b）。
■名师点拨
相反向量与相等向量一样，都从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量。
【自我检测】
1．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若b是a的相反向量，则a与b一定不相等。（　　）
（2）若b是a的相反向量，则a∥b．（　　）
（3）向量的相反向量是，且＝－。（　　）
（4）－＝。（　　）
2．化简－＋＋的结果等于（　　）
A．B．C．D．
3．如图，在ABCD中，＝a，＝b，用a，b表示向量，，则＝________，＝________。
4．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为________。
探究点一：向量减法的几何意义
1．如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－C．
【解】法一：（几何意义法）如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－C．
法二：（定义法）如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝－c，连接OC，则＝a＋b－C．
[规律方法]
求作两个向量的差向量的两种思路
（1）可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋（－b）即可。
（2）也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量。
1．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－C．
探究点二：向量加减法的运算及简单应用
2．（1）化简：①＋－＝________；
②＋（＋）＋＝________；
③－－－＝________。
（2）如图，①用a，b表示；
②用b，c表示。
[规律方法]
（1）向量减法运算的常用方法
（2）向量加减法化简的两种形式
①首尾相连且为和。
②起点相同且为差。
解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用。
（3）与图形相关的向量运算化简
首先要利用向量加减的运算法则、运算律，其次要分析图形的性质，通过图形中向量相等、平行等关系辅助化简运算。
3．如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，则用a，b，c表示下列向量。
（1）＝________；（2）＝________；
（3）＝________；（4）＝________。
探究点三：向量减法几何意义的应用
4．已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围。
[互动探究]
[变条件，变问法]将本例的条件改为“||＝8，||＝5”，求||的取值范围。
解：因为＝－，||＝8，||＝5，
|||－|||≤|－|≤||＋||，
所以3≤||≤13，
当与同向时，||＝3，
当与反向时，||＝13，
所以||的取值范围是[3，13]。
[规律方法]
（1）用向量法解决平面几何问题的步骤
①将平面几何问题中的量抽象成向量。
②化归为向量问题，进行向量运算。
③将向量问题还原为平面几何问题。
（2）用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键
①利用向量证明线段平行且相等，从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可。
②根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键。
5．在四边形ABCD中，＝，若|－|＝|－|，则四边形ABCD是（　　）
A．菱形
B．矩形
C．正方形
D．不确定
【达标反馈】
1．在平行四边形ABCD中，－等于（　　）
A．
B．
C．
D．
2．下列等式：
①0－a＝－a；②－（－a）＝a；③a＋（－a）＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋（－b）；⑥a＋（－a）＝0.
正确的个数是（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．化简－＋－＝________。
4．已知＝a，＝b，若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90°，则|a－b|＝________。
【参考答案】
【自我检测】
1．答案：（1）×
（2）√
（3）√
（4）×
2．解析：选B．原式＝（＋）＋（＋）＝＋0＝。
3．解析：由向量加法的平行四边形法则，及向量减法的运算法则可知＝a＋b，＝b－A．
答案：a＋bb－a
4．答案：，
探究点一：向量减法的几何意义
1．解：法一：先作a－b，再作a－b－c即可。
如图①所示，以A为起点分别作向量和，使＝a，＝B．连接CB，得向量＝a－b，再以C为起点作向量，使＝c，连接DB，得向量。则向量即为所求作的向量a－b－C．
法二：先作－b，－c，再作a＋（－b）＋（－c），如图②。
（1）作＝－b和＝－c；
（2）作＝a，则＝a－b－C．
2．【解】（1）①＋－＝＋（－）＝＋＝0；
②＋（＋）＋＝（＋）＋（＋）＝＋＝0；
③－－－＝（－）－（＋）＝。
故填①0，0，。
（2）因为＝a，＝b，＝C．
①＝－＝－－＝－a－B．
②＝－＝－（＋）＝－b－C．
3．解析：因为四边形ACDE为平行四边形，
所以＝＝c，＝－＝b－a，
＝－＝c－a，
所以＝＋＝b－a＋C．
答案：（1）c（2）b－a（3）c－a（4）b－a＋c
探究点三：向量减法几何意义的应用
4．【解】因为|||－|||≤|－|≤||＋||，
且||＝9，||＝6，
所以3≤|－|≤15．
当与同向时，|－|＝3；
当与反向时，|－|＝15．
所以|－|的取值范围为[3，15]。
5．解析：选B．因为＝，
所以四边形ABCD为平行四边形，
因为|－|＝|－|，所以||＝||。
所以四边形ABCD为矩形。
【达标反馈】
1．解析：选A．－＝＝。
2．解析：选C．由向量减法、相反向量的定义可知①②③④⑤都正确；⑥错误。
3．解析：－＋－
＝（＋）＋（－）
＝＋
＝0.
答案：0
4．解析：如图，在矩形OACB中，－＝，则|a－b|＝||＝＝＝13．
答案：13
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