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等体积法求点到平面的距离
用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平 面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方 法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式 求出点到平面的距离h。在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。
一、例题讲解
例题：如图所示的正方体ABCD－棱长为2，求点到平面距离。
解：如右上图，作⊥平面于H，则的长度为所求。
对于四面体，
以为顶点，底面，高就是，
以A为顶点，底面，高就是，
△是边长为2的等边三角形，所以，，
的面积为，
由等体积法，有：，
即：，
解得：=，
所以，点到平面距离为。
点评：在使用等体积法求点到平面距离时，点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。
二、典型题练习
1、如图，是等腰梯形的两条高，，点是线段的中点，将该等腰梯形沿着两条高折叠成如右图所示的四棱锥(重合，记为点)．
（1）求证：；
（2）求点到平面距离.
2、如图，在四棱锥中，平面平面,, ,
,,
点、分别为、的中点.
﹙1﹚求证:平面平面；
﹙2﹚求点到平面的距离.
3、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求A到平面PBC的距离.
4、如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，为正三角形，点为线段的中点．
（1）证明；
（2）当时，求点到平面的距离．
5、如图，直三棱柱中，AC=CB，D，E分别是AB，的中点。
（1）证明：平面；
（2）求证：CD⊥平面ABB1A1；
（3）设，求E到截面的距离d.
6、如图，在直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，，点是中点．
（I）求证：平面平面；
（II）求点到平面的距离．
7、如图，四边形是矩形，,是的中点，与交于点, 平面.
（Ⅰ）求证：面；
(Ⅱ) 若,求点到平面距离.
8、如图所示，已知圆的直径长度为4，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且．点在圆所在平面上的正投影为点，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
9、如图，圆锥中，是圆的直径，是底面圆上一点，且，点为半径的中点，连.
求证：；
当是边长为的正三角形时，求点到平面的距离.
参考答案
1、解：(1) 因为，所以，
又，
所以 …………2分
因为，所以； …………3分
由已知得，，所以是等边三角形，
又因为点是的中点，所以； …………4分
因为，
所以 …………5分
因为，所以. …………6分
(2) 取中点，连结，
因为，，
所以，所以
所以，在中，， …………7分
所以， …………8分
因为，所以， …………9分
因为，所以， …………10分
又， …………11分
所以，即点到平面的距离为. …………12分
2、解: ﹙1﹚由题意知: 点是的中点,且,
所以 ,所以四边形是平行四边形,则. ……………………1分
平面,平面,所以平面. ……………………2分
又因为、分别为、的中点,所以.
平面,平面,
所以, 平面. ……………………3分
,所以平面平面. ……………………4分
﹙2﹚在中,,,
所以,所以.
因为平面平面,
平面平面
所以平面. ……………………5分
连,取的中点,连,易知,
平面且.
设点到平面的距离为.
在中,
在中, ……………………6分
在中,
在中, ……………………7分
在中,,
即,
解得,
所以,
所以.
…………………8分
以下求三棱准的体积：
解法一：利用
因为平面平面,
平面平面，,,所以，平面.
所以，的长即是点到平面的距离.
在中，,
所以，, ……………………9分
所以. ……………………10分
解法二：利用.
.
……………………9分
. ……………………10分
解法三:利用.
因为,,所以,所以点到平面的距离等于点到平面的距离.
过点作,垂足为.
因为平面，，所以，平面，平面,平面,所以.
所以，的长即是点到平面的距离.
在中，
即,
得.
所以，
即,得. ……………………9分
. ……………………10分
所以,
即, ……………………11分
即,解得.
所以求点到平面的距离为. ……………………12分
3、（Ⅰ）证明：∵，∴，
∵，∴.
又∵底面，∴.
∵，∴平面.
（Ⅱ）解：，
.
.
由（1）平面，
又，
.
.
又，
设A到平面PBC距离为d，
由 可得
，
. 即A到平面PBC的距离为.
4、解：（1）取的中点，连接、，
由题意可知：
.
为正三角形
.
又，，面，
面.
面，
.
由题意可知，且，
，且，
.
又，
.
由（1）知，且，面，
面，
三棱锥的体积为，
设点到平面的距离为，
则，
得.
5、【证明】：（1）连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点， ………………1分
又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF. ………………2分
平面A1CD，平面A1CD………………3分
BC1∥平面A1CD ………………4分
（2）ABC-A1B1C1是直三棱柱，AA1⊥平面ABC,……5分
CD平面ABC，AA1⊥CD， ………………6分
由已知AC=CB，D为AB的中点，CD⊥AB，…………7分
又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1， ………………8分
(3)由AA1=AC=CB=2，AB=得
∠ACB=90°，CD=，A1D=，DE=，A1E=3，
故A1D2+DE2=A1E2，DE⊥A1D，………………9分
………………10分
又CD⊥A1D,∴△A1DC为直角三角形，……………………11分
∴ ∴， ∴ ……………12分
法2：∵ CD⊥平面ABB1A1 ,且CD平面A1DC.
∴ 平面A1CD⊥平面ABB1A1 . ……………………………………………………10
∵ 平面A1CD∩平面ABB1A1=DA1且ED⊥DA1
∴ED⊥平面A1CD，∴ED为E到平面A1CD的距离………………………………11
在Rt△DBE中，ED=………………………………………12
6、解：（Ⅰ）记与的交点为.连结.
直三棱柱,点是中点,
……2分
因为点是、的中点，
所以 ， ， ……4分
又从而平面.
因为平面，所以平面平面. ……6分
（Ⅱ）过点Ａ作于点，
由（Ⅰ）平面平面，平面平面，
而平面 ……2分
即为点到平面的距离． ……3分
在中，，
即点到平面的距离为 　　……6分
7、∵四边形为矩形，∴∽，
∴ ……………1分
又∵矩形中，，∴
在中，
∴， ……………2分
在中，
∴，即 ……………4分
∵平面，平面 ∴ ……………5分
又∵，平面 ∴平面 ……………6分
（2）在中，
在中， ………… ……………8分
在中，，
∴………………………………10分
设点到平面的距离为，则
， ………………………………11分
∴ ………………………………12分
8、解析：（Ⅰ）连接，由知，点为的中点，
又∵为圆的直径，∴，
由知，，
∴为等边三角形，从而．-----------------3分
∵点在圆所在平面上的正投影为点，
∴平面，又平面，
∴，-----------------5分
由得，平面．-----------------6分
（注：证明平面时，也可以由平面平面得到，酌情给分．）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，--------7分
∴．--------10分
又，，，
∴为等腰三角形，则．--------12分
设点到平面的距离为，
由得，，解得．--------14分
法2：由（Ⅰ）可知，，
过点作，垂足为，连接，再过点作，垂足为．-----------------8分
∵平面，又平面，
∴，又，
∴平面，又平面，
∴，又，
∴平面，故为点到平面的距离．--------10分
在中，，，
在中，，即点到平面的距离为．-------14分
9、（I）证明：圆锥PO中，PO⊥平面ABC，CD平面ABC，
所以，PO⊥CD，
因为，OA＝OC，
所以，∠BOC＝60°，
又OB＝OC，
所以，△OBC为等边三角形，
因为D为OB中点，所以，CD⊥OB，
OB∩PO＝O，
所以，CD⊥平面PAB；
（II）依题意，PA＝AB＝PB＝PC＝4，
因为AB为直径，所以，BC⊥AC，
又，所以，BC＝2，
△PBC中，BC边上的高为：
△PBC的面积为：S1＝＝
PO＝2，AC＝2
△ABC面积为S2＝2，
VP－ABC＝VA－PBC，
所以，
解得：h＝

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