资源简介

§6.1　数列的概念
考试要求　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
知识梳理
1．数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1＞an 其中n∈N*
递减数列 an＋1＜an
常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．
常用结论
1．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝
2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N*)；若an最小，则(n≥2，n∈N*)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(　×　)
(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(　×　)
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　×　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(　√　)
教材改编题
1．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 023的值为(　　)
A．2 B．－3 C．－ D.
答案　C
解析　因为a1＝2，an＋1＝，
所以a2＝＝－3，
同理可得a3＝－，a4＝，a5＝2，…，
可得an＋4＝an，则a2 023＝a505×4＋3＝a3＝－.
2．数列，，，，，…的通项公式是an＝________.
答案　，n∈N*
解析　∵a1＝＝，
a2＝＝，
a3＝＝，
a4＝＝，
a5＝＝，
∴通过观察，我们可以得到如上的规律，
则an＝，n∈N*.
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则数列{an}的通项公式an＝________.
答案　4n－5
解析　a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]
＝4n－5，
因为a1也适合上式，所以an＝4n－5.
题型一　由an与Sn的关系求通项公式
例1　(1)设Sn为数列{an}的前n项和，若2Sn＝3an－3，则a4等于(　　)
A．27 B．81
C．93 D．243
答案　B
解析　根据2Sn＝3an－3，
可得2Sn＋1＝3an＋1－3，
两式相减得2an＋1＝3an＋1－3an，
即an＋1＝3an，
当n＝1时，2S1＝3a1－3，解得a1＝3，
所以数列{an}是以3为首项，3为公比的等比数列，
所以a4＝a1q3＝34＝81.
(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，则an＝________.
答案　
解析　当n＝1时，a1＝21＝2.
∵a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①
∴a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②得，(2n－1)·an＝2n－2n－1＝2n－1，
∴an＝(n≥2)．
显然n＝1时不满足上式，∴an＝
教师备选
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n，则an＝________.
答案　2n＋1
解析　当n＝1时，a1＝S1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1.由于a1＝3适合上式，∴an＝2n＋1.
2．已知数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.
答案　－2n－1
解析　当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，
∴a1＝－1.
当n≥2时，Sn＝2an＋1，①
Sn－1＝2an－1＋1.②
①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－2an－1，
即an＝2an－1(n≥2)，
∴{an}是首项为a1＝－1，公比为q＝2的等比数列．
∴an＝a1·qn－1＝－2n－1.
思维升华　(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝转化为关于an的关系式，再求通项公式．
(2)Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解．
方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
跟踪训练1　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n＋1，n∈N*，则an＝________.
答案　
解析　根据题意，
可得Sn－1＝2(n－1)2＋(n－1)＋1.
由通项公式与求和公式的关系，
可得an＝Sn－Sn－1，
代入化简得
an＝2n2＋n＋1－2(n－1)2－(n－1)－1＝4n－1.
经检验，当n＝1时，S1＝4，a1＝3，
所以S1≠a1，
所以an＝
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则an＝________.
答案　
解析　由已知得an＋1＝Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，
两边同时除以Sn＋1Sn，
得－＝－1.
故数列是以－1为首项，－1为公差的等差数列，
则＝－1－(n－1)＝－n.
所以Sn＝－.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＋＝，
故an＝
题型二　由数列的递推关系求通项公式
命题点1　累加法
例2　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　)
A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n D．1＋n＋ln n
答案　A
解析　因为an＋1－an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n，
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，
a3－a2＝ln 3－ln 2，
a4－a3＝ln 4－ln 3，
……
an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，
把以上各式分别相加得an－a1＝ln n－ln 1，
则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也适合，
因此an＝2＋ln n(n∈N*)．
命题点2　累乘法
例3　若数列{an}满足a1＝1，nan－1＝(n＋1)·an(n≥2)，则an＝________.
答案　
解析　由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，
得＝(n≥2)．
所以an＝···…···a1＝×××…×××1＝，
又a1＝1满足上式，所以an＝.
教师备选
1．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________.
答案　4－
解析　∵an＋1－an＝＝－，
∴当n≥2时，an－an－1＝－，
an－1－an－2＝－，
……
a2－a1＝1－，
∴以上各式相加得，an－a1＝1－，
∴an＝4－，a1＝3适合上式，
∴an＝4－.
2．若{an}满足2(n＋1)·a＋(n＋2)·an·an＋1－n·a＝0，且an>0，a1＝1，则an＝________.
答案　n·2n－1
解析　由2(n＋1)·a＋(n＋2)·an·an＋1－n·a＝0得
n(2a＋an·an＋1－a)＋2an(an＋an＋1)＝0，
∴n(an＋an＋1)(2an－an＋1)＋2an(an＋an＋1)＝0，
(an＋an＋1)[(2an－an＋1)·n＋2an]＝0，
又an>0，
∴2n·an＋2an－n·an＋1＝0，
∴＝，
又a1＝1，
∴当n≥2时，
an＝··…···a1
＝×××…×××1＝2n－1·n.
又n＝1时，a1＝1适合上式，
∴an＝n·2n－1.
思维升华　(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求数列{an}的通项公式．
(2)形如＝f(n)的数列，常令n分别为1,2,3，…，n－1，代入＝f(n)，再把所得的(n－1)个等式相乘，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
跟踪训练2　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，an＋1＝an＋2n－1＋1，则an＝________.
答案　2n－1＋n
解析　∵an＋1＝an＋2n－1＋1，
∴an＋1－an＝2n－1＋1，
∴当n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1＝2n－2＋2n－3＋…＋2＋1＋a1＋n－1＝＋2＋n－1＝2n－1＋n.
又∵a1＝2满足上式，
∴an＝2n－1＋n.
(2)(2022·莆田模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．
答案　an＝
解析　由Sn＝n2an，
可得当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2an－1，
则an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，
即(n2－1)an＝(n－1)2an－1，
易知an≠0，故＝(n≥2)．
所以当n≥2时，
an＝×××…×××a1
＝×××…×××1
＝.
当n＝1时，a1＝1满足an＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
题型三　数列的性质
命题点1　数列的单调性
例4　已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若数列{an}为递增数列，
则有an＋1－an>0，
∴(n＋1)2－2λ(n＋1)－n2＋2λn
＝2n＋1－2λ>0，
即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，
于是有λ∵由λ<1可推得λ<，
但反过来，由λ<不能得到λ<1，
因此“λ<1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件．
命题点2　数列的周期性
例5　(2022·广州四校联考)数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则a2 023等于(　　)
A．－2 B．－1
C．2 D.
答案　C
解析　∵数列{an}满足a1＝2，
an＋1＝(n∈N*)，
∴a2＝＝－1，
a3＝＝，
a4＝＝2，…，
可知此数列有周期性，周期T＝3，
即an＋3＝an，则a2 023＝a1＝2.
命题点3　数列的最值
例6　已知数列{an}的通项公式an＝(n＋1)·n，则数列{an}的最大项为(　　)
A．a8或a9 B．a9或a10
C．a10或a11 D．a11或a12
答案　B
解析　结合f(x)＝(x＋1)x的单调性，
设数列{an}的最大项为an，
所以
所以
解不等式组可得9≤n≤10.
所以数列{an}的最大项为a9或a10.
教师备选
1．已知数列{an}的通项公式为an＝，若数列{an}为递减数列，则实数k的取值范围为(　　)
A．(3，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
答案　D
解析　因为an＋1－an＝－
＝，
由数列{an}为递减数列知，
对任意n∈N*，an＋1－an＝<0，
所以k>3－3n对任意n∈N*恒成立，
所以k∈(0，＋∞)．
2．在数列{an}中，a1＝1，anan＋3＝1，则log5a1＋log5a2＋…＋log5a2 023等于(　　)
A．－1 B．0
C．log53 D．4
答案　B
解析　因为anan＋3＝1，所以an＋3an＋6＝1，所以an＋6＝an，所以{an}是周期为6的周期数列，
所以log5a1＋log5a2＋…＋log5a2 023
＝log5(a1a2…a2 023)
＝log5[(a1a2…a6)337·a1]，
又因为a1a4＝a2a5＝a3a6＝1，
所以a1a2…a6＝1，
所以原式＝log5(1337×1)＝log51＝0.
思维升华　(1)解决数列的单调性问题的方法
用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列．
(2)解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
(3)求数列的最大项与最小项的常用方法
①函数法，利用函数的单调性求最值．
②利用(n≥2)确定最大项，利用(n≥2)确定最小项．
跟踪训练3　(1)在数列{an}中，an＋1＝若a1＝，则a2 023的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　a1＝>，
∴a2＝2a1－1＝>，
∴a3＝2a2－1＝<，
∴a4＝2a3＝<，
∴a5＝2a4＝，
……
可以看出四个循环一次，
故a2 023＝a4×505＋3＝a3＝.
(2)(2022·沧州七校联考)已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，则数列{an}的最小项是第________项．
答案　5
解析　an＝＝，
当n>5时，an>0，且单调递减；
当n≤5时，an<0，且单调递减，
∴当n＝5时，an最小．
课时精练
1．数列{an}的前几项为，3，，8，，…，则此数列的通项公式可能是(　　)
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
答案　A
解析　数列为，，，，，…，其分母为2，分子是以首项为1，公差为5的等差数列，故数列{an}的通项公式为an＝.
2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，
a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
3．已知数列{an}的前n项积为Tn，且满足an＋1＝(n∈N*)，若a1＝，则T2 023为(　　)
A．－4 B．－
C．－ D.
答案　C
解析　由an＋1＝，a1＝，
得a2＝，a3＝－4，a4＝－，a5＝，…，
所以数列{an}具有周期性，周期为4，
因为T4＝a1·a2·a3·a4＝1,2 023＝4×505＋3，
所以T2 023＝(a1a2a3a4)…(a2 021a2 022a2 023)
＝××(－4)＝－.
4．若数列{an}的前n项和Sn＝2an－1(n∈N*)，则a5等于(　　)
A．8 B．16 C．32 D．64
答案　B
解析　数列{an}的前n项和Sn＝2an－1(n∈N*)，
则Sn－1＝2an－1－1(n≥2)，
两式相减得an＝2an－1(n≥2)，
由此可得，数列{an}是等比数列，
又S1＝2a1－1＝a1，所以a1＝1，
故数列{an}的通项公式为an＝2n－1，
令n＝5，得a5＝16.
5．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　)
A．这个数列的第10项为
B.是该数列中的项
C．数列中的各项都在区间内
D．数列{an}是单调递减数列
答案　BC
解析　an＝＝
＝，
令n＝10得a10＝，故A错误；
令＝得n＝33∈N*，
故是数列中的项，故B正确；
因为an＝＝＝1－，
又n∈N*.
所以数列{an}是单调递增数列，
所以≤an＜1，故C正确，D不正确．
6．(多选)若数列{an}满足：对任意正整数n，{an＋1－an}为递减数列，则称数列{an}为“差递减数列”．给出下列数列{an}(n∈N*)，其中是“差递减数列”的有(　　)
A．an＝3n B．an＝n2＋1
C．an＝ D．an＝ln
答案　CD
解析　对于A，若an＝3n，则an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不为递减数列，故A错误；
对于B，若an＝n2＋1，
则an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，
所以{an＋1－an}为递增数列，故B错误；
对于C，若an＝，
则an＋1－an＝－＝，
所以{an＋1－an}为递减数列，故C正确；
对于D，若an＝ln ，
则an＋1－an＝ln －ln
＝ln＝ln，
由函数y＝ln在(0，＋∞)上单调递减，所以{an＋1－an}为递减数列，故D正确．
7．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N*)，则an＝________.
答案　
解析　∵an＋1＝3Sn(n∈N*)，
∴当n＝1时，a2＝3；
当n≥2时，an＝3Sn－1，
∴an＋1－an＝3an，
得an＋1＝4an，
∴数列{an}从第二项起为等比数列，
当n≥2时，an＝3·4n－2，
故an＝
8．(2022·临沂模拟)已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是________．
答案　(－3，＋∞)
解析　因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1>an，
即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，
整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1)．(*)
因为n∈N*，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.
9．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通项公式．
解　(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3，
由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由题设知当n＝1时，a1＝1.
当n≥2时，有
an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理得an＝an－1，
于是a2＝a1，a3＝a2，…，an－1＝an－2，
an＝an－1，
将以上n－1个等式中等号两端分别相乘，整理得an＝.
当n＝1时，a1＝1满足an＝.
综上可知，{an}的通项公式为an＝.
10．求下列数列{an}的通项公式．
(1)a1＝1，an＋1＝an＋3n；
(2)a1＝1，an＋1＝2nan.
解　(1)由an＋1＝an＋3n得an＋1－an＝3n，
当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)
＝1＋31＋32＋33＋…＋3n－1
＝＝，
当n＝1时，a1＝1＝，满足上式，
∴an＝(n∈N*)．
(2)由an＋1＝2nan得＝2n，
当n≥2时，an＝a1××××…×
＝1×2×22×23×…×2n－1
＝21＋2＋3＋…＋(n－1)＝.
当n＝1时，a1＝1满足上式，
∴an＝(n∈N*)．
11．已知数列{an}满足an＝且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1,3) D．(2,3)
答案　D
解析　若{an}是递增数列，则
即
解得2即实数a的取值范围是(2,3)．
12．(多选)(2022·江苏盐城中学模拟)对于数列{an}，若存在数列{bn}满足bn＝an－(n∈N*)，则称数列{bn}是{an}的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是(　　)
A．若数列{an}是单增数列，则其“倒差数列”不一定是单增数列
B．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最大值
C．若an＝3n－1，则其“倒差数列”有最小值
D．若an＝1－n，则其“倒差数列”有最大值
答案　ACD
解析　若数列{an}是单增数列，则bn－bn－1＝an－－an－1＋＝(an－an－1)，
虽然有an>an－1，
但当1＋<0时，bn因此{bn}不一定是单增数列，A正确；
an＝3n－1，则bn＝3n－1－，易知{bn}是递增数列，无最大值，B错误；C正确，最小值为b1.
若an＝1－n，
则bn＝1－n－，
∵函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递增，
∴当n为偶数时，an＝1－n∈(0,1)，
∴bn＝an－<0，
当n为奇数时，an＝1＋n>1，显然an是单调递减的，
因此bn＝an－也是单调递减的，
即b1>b3>b5>…，
∴{bn}的奇数项中有最大值为b1＝－＝>0，
∴b1＝是数列{bn}(n∈N*)中的最大值，D正确．
13．已知数列{an}的通项公式an＝，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak对n∈N*恒成立，则正整数k的值为________．
答案　5
解析　an＝，当n≤5时，an>1；
当n≥6时，an<1，
由题意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n项乘积的最大值，所以k＝5.
14．(2022·武汉模拟)已知数列{an}中，a1＝1，－＝n＋1，则其前n项和Sn＝________.
答案　
解析　∵－＝2，－＝3，
－＝4，…，－＝n，
累加得－＝2＋3＋4＋…＋n，
得＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝，
∴an＝＝2，
∴Sn＝2＝.
15．(多选)若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，anan－2＝an－1(n≥3)，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的有(　　)
A．Tn无最大值 B．an有最大值
C．T2 023＝1 D．a2 023＝1
答案　BCD
解析　因为a1＝1，a2＝3，
anan－2＝an－1(n≥3)，
所以a3＝3，a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝1，a8＝3，…
因此数列{an}为周期数列，an＋6＝an，
an有最大值3，
a2 023＝a1＝1，
因为T1＝1，T2＝3，T3＝9，T4＝9，T5＝3，T6＝1，T7＝1，T8＝3，…，
所以{Tn}为周期数列，Tn＋6＝Tn，Tn有最大值9，
T2 023＝T1＝1.
16．已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
解　(1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，
又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*)．
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…＞an>1(n∈N*)．
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，
最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋＝1＋，
已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋的单调性，
可知5<<6，即－10即a的取值范围是(－10，－8)．

展开更多......

收起↑