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§6.3　等比数列
考试要求　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．
知识梳理
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：
Sn＝
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)．
(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，则am·an＝ap·aq＝a.
(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除外)．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)若或则等比数列{an}递增．
若或则等比数列{an}递减．
常用结论
1．若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{a}，，{an·bn}，也是等比数列．
2．等比数列{an}的通项公式可以写成an＝cqn，这里c≠0，q≠0.
3．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数．(　×　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　×　)
(3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　×　)
(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列．(　×　)
教材改编题
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a4＝，则公比q等于(　　)
A．－ B．－2 C．2 D．±
答案　D
解析　设等比数列的公比为q，
∵{an}是等比数列，a2＝2，a4＝，
∴a4＝a2q2，
∴q2＝＝，
∴q＝±.
2．在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，则a6＋a8＝______.
答案　5
解析　∵{an}是等比数列，
且a1a11＋2a6a8＋a3a13＝25，
∴a＋2a6a8＋a＝(a6＋a8)2＝25.
又∵an>0，∴a6＋a8＝5.
3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．
答案　1,3,9或9,3,1
解析　设这三个数为，a，aq，
则
解得或
∴这三个数为1,3,9或9,3,1.
题型一　等比数列基本量的运算
例1　(1)(2020·全国Ⅱ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则等于(　　)
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
答案　B
解析　方法一　设等比数列{an}的公比为q，
则q＝＝＝2.
由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1.
所以an＝a1qn－1＝2n－1，
Sn＝＝2n－1，
所以＝＝2－21－n.
方法二　设等比数列{an}的公比为q，
则
得＝q＝2.
将q＝2代入①，解得a3＝4.
所以a1＝＝1，下同方法一．
(2)(2019·全国Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________.
答案　
解析　设等比数列{an}的公比为q，
因为a＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，
所以a1q＝1，又a1＝，所以q＝3，
所以S5＝＝＝.
教师备选
1．已知数列{an}为等比数列，a2＝6,6a1＋a3＝30，则a4＝________.
答案　54或24
解析　由
解得或
a4＝a1·q3＝2×33＝54或a4＝3×23＝3×8＝24.
2．已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，若a2a6＝－2a7，S3＝－6，则a6等于(　　)
A．－2或32 B．－2或64
C．2或－32 D．2或－64
答案　B
解析　∵数列{an}为等比数列，
a2a6＝－2a7＝a1a7，
解得a1＝－2，
设数列的公比为q，S3＝－6＝－2－2q－2q2，
解得q＝－2或q＝1，
当q＝－2时，则a6＝(－2)6＝64，
当q＝1时，则a6＝－2.
思维升华　(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
跟踪训练1　(1)(2020·全国Ⅱ)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　a1＝2，am＋n＝aman，
令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，
∴{an}是以a1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，
∴an＝2×2n－1＝2n.
又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
∴＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.
①求{an}的通项公式；
②求a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1.
解　①设{an}的公比为q(q>1)．
由题设得
解得或(舍去)．
所以{an}的通项公式为an＝2n，n∈N*.
②由于(－1)n－1anan＋1＝(－1)n－1×2n×2n＋1
＝(－1)n－122n＋1，
故a1a2－a2a3＋…＋(－1)n－1anan＋1
＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1
＝＝－(－1)n.
题型二　等比数列的判定与证明
例2　已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an，设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
解　(1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列，
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
教师备选
已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式．
(1)证明　an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为{an}中各项均为正数，
所以an＋1＋an>0，所以＝3，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列．
(2)解　由题意知an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1
＝2×3n－1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，
故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，an＝×3n－1.
思维升华　等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列．
(3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
跟踪训练2　Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q>0.
(1)求an及Sn；
(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)易知q≠1，
由题意可得
解得a1＝1，q＝3，
∴an＝3n－1，Sn＝＝.
(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列，
∵S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，
解得λ＝，
此时Sn＋＝×3n，
则＝＝3，
故存在常数λ＝，使得数列是以为首项，3为公比的等比数列．
题型三　等比数列的性质
例3　(1)若等比数列{an}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023等于(　　)
A. B．1 011
C. D．1 012
答案　C
解析　由题意得a5a2 019＝3，
根据等比数列性质知，
a1a2 023＝a2a2 022＝…＝a1 011a1 013＝a1 012a1 012＝3，
于是a1 012＝，
则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023
＝log3(a1a2a3…a2 023)
(2)已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12等于(　　)
A．40 B．60 C．32 D．50
答案　B
解析　数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，
即4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，
∴S12＝4＋8＋16＋32＝60.
教师备选
1．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝__________.
答案　
解析　设等比数列{an}的公比为q，易知q≠－1，由等比数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，
∴＝，
又由已知得S6＝3S3，
∴S9－S6＝4S3，
∴S9＝7S3，
∴＝.
2．已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
答案　2
解析　由题意，得
解得
所以q＝＝＝2.
思维升华　(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
跟踪训练3　(1)(2022·安康模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝7，则S40等于(　　)
A．5 B．10 C．15 D．－20
答案　C
解析　易知等比数列{an}的前n项和Sn满足S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30，…成等比数列．设{an}的公比为q，则＝q10>0，故S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30，…均大于0.
故(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)，
即(S20－1)2＝1·(7－S20) S－S20－6＝0.
因为S20>0，所以S20＝3.
又(S30－S20)2＝(S20－S10)(S40－S30)，
所以(7－3)2＝(3－1)(S40－7)，故S40＝15.
(2)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
答案　A
解析　∵a1a2…a8＝16，
∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，
∴＋＋…＋＝＋＋＋
＝(a1＋a8)＋(a2＋a7)＋(a3＋a6)＋(a4＋a5)
＝(a1＋a2＋…＋a8)＝2.
课时精练
1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{an}满足a1＋a2＝1，a4＋a5＝8，则a7等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　A
解析　设等比数列{an}的公比为q，
则＝q3＝8，
所以q＝2，又a1＋a2＝a1(1＋q)＝1，
所以a1＝，
所以a7＝a1×q6＝×26＝.
2．已知等比数列{an}满足a1＝1，a3·a5＝4(a4－1)，则a7的值为(　　)
A．2 B．4 C. D．6
答案　B
解析　根据等比数列的性质得a3a5＝a，
∴a＝4(a4－1)，即(a4－2)2＝0，解得a4＝2.
又∵a1＝1，a1a7＝a＝4，∴a7＝4.
3．(2022·开封模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　B
解析　由等比数列前n项和的性质知，
Sn＝32n－1＋r＝×9n＋r，
∴r＝－.
4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为(　　)
A．6里 B．12里
C．24里 D．48里
答案　C
解析　由题意可知，该人所走路程形成等比数列{an}，其中q＝，
因为S6＝＝378，
解得a1＝192，
所以a4＝a1·q3＝192×＝24.
5．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A．数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列是公比为的等比数列
答案　AD
解析　对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；
对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于D，＝＝，
所以数列是公比为的等比数列．
6．(多选)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有(　　)
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D．an＝
答案　ABD
解析　由题意，数列{an}的前n项和满足an＋1＝2Sn(n∈N*)，
当n≥2时，an＝2Sn－1，
两式相减，可得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，
可得an＋1＝3an，即＝3(n≥2)，
又a1＝1，则a2＝2S1＝2a1＝2，所以＝2，
所以数列{an}的通项公式为
an＝
当n≥2时，Sn＝＝＝3n－1，
又S1＝a1＝1，适合上式，
所以数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1，
又＝＝3，
所以数列{Sn}为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD是正确的．
7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则a1＝________.
答案　1
解析　由于S3＝7，S6＝63知公比q≠1，
又S6＝S3＋q3S3，
得63＝7＋7q3.
∴q3＝8，q＝2.
由S3＝＝＝7，
得a1＝1.
8．已知{an}是等比数列，且a3a5a7a9a11＝243，则a7＝________；若公比q＝，则a4＝________.
答案　3　81
解析　由{an}是等比数列，
得a3a5a7a9a11＝a＝243，
故a7＝3，a4＝＝81.
9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{an}的公差为2，其前n项和Sn＝pn2＋2n，n∈N*.
(1)求实数p的值及数列{an}的通项公式；
(2)在等比数列{bn}中，b3＝a1，b4＝a2＋4，若{bn}的前n项和为Tn，求证：数列为等比数列．
(1)解　Sn＝na1＋d＝na1＋n(n－1)
＝n2＋(a1－1)n，
又Sn＝pn2＋2n，n∈N*，
所以p＝1，a1－1＝2，即a1＝3，
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
(2)证明　因为b3＝a1＝3，b4＝a2＋4＝9，
所以q＝3，
所以bn＝b3·qn－3＝3n－2，
所以b1＝，
所以Tn＝＝，
所以Tn＋＝，
又T1＋＝，
所以＝＝3(n≥2)，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．
10．(2022·威海模拟)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋1.设bn＝an＋1－2an.
(1)求证：数列{bn}为等比数列；
(2)设cn＝|bn－100|，Tn为数列{cn}的前n项和．求T10.
(1)证明　由Sn＋1＝4an＋1，
得Sn＝4an－1＋1(n≥2，n∈N*)，
两式相减得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
所以an＋1－2an＝2(an－2an－1)，
所以＝
＝
＝2(n≥2)，
又a1＝1，S2＝4a1＋1，
故a2＝4，a2－2a1＝2＝b1≠0，
所以数列{bn}为首项与公比均为2的等比数列．
(2)解　由(1)可得bn＝2·2n－1＝2n，
所以cn＝|2n－100|＝
所以T10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400
＝200－＋27＋28＋29＋210
＝200＋2＋28＋29＋210
＝1 994.
11．(多选)(2022·滨州模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝a2＝1，an＝an－1＋2an－2(n≥3)，则下列结论正确的是(　　)
A．数列{an＋1＋an}为等比数列
B．数列{an＋1－2an}为等比数列
C．an＝
D．S20＝(410－1)
答案　ABD
解析　因为an＝an－1＋2an－2(n≥3)，
所以an＋an－1＝2an－1＋2an－2＝2(an－1＋an－2)，
又a1＋a2＝2≠0，
所以{an＋an＋1}是等比数列，A正确；
同理an－2an－1＝an－1＋2an－2－2an－1＝－an－1＋2an－2＝－(an－1－2an－2)，而a2－2a1＝－1，
所以{an＋1－2an}是等比数列，B正确；
若an＝，则a2＝＝3，
但a2＝1≠3，C错误；
由A知{an＋an－1}是等比数列，且公比为2，
因此数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，…仍然是等比数列，公比为4，
所以S20＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a19＋a20)＝＝(410－1)，D正确．
12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7·a8>1，<0.则下列结论正确的是(　　)
A．01
C．Sn的最大值为S9 D．Tn的最大值为T7
答案　AD
解析　∵a1>1，a7·a8>1，<0，
∴a7>1,0∴0a7a9＝a<1，故B错误；
∵a1>1,0∴Sn无最大值，故C错误；
又a7>1,0∴T7是数列{Tn}中的最大项，故D正确．
13．(2022·衡阳八中模拟)设Tn为正项等比数列{an}(公比q≠1)前n项的积，若T2 015＝T2 021，则＝________.
答案　
解析　由题意得，
T2 015＝T2 021
＝T2 015·a2 016a2 017a2 018a2 019a2 020a2 021，
所以a2 016a2 017a2 018a2 019a2 020a2 021＝1，
根据等比数列的性质，
可得a2 016a2 021＝a2 017a2 020＝a2 018a2 019＝1，
设等比数列的公比为q，
所以a2 016a2 021＝＝1 a2 021＝
a2 018a2 019＝＝1 a2 019＝
所以＝
14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．
答案　
解析　由题意，得正方形的边长构成以为首项,为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，所以n＝10，所以最小正方形的边长为10＝.
15．(多选)在数列{an}中，n∈N*，若＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是(　　)
A．k不可能为0
B．等差数列一定是“等差比数列”
C．等比数列一定是“等差比数列”
D．“等差比数列”中可以有无数项为0
答案　AD
解析　对于A，k不可能为0，正确；
对于B，当an＝1时，{an}为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；
对于C，当等比数列的公比q＝1时，an＋1－an＝0，分式无意义，所以{an}不是“等差比数列”，错误；
对于D，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．
16．已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为.
(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Sn， n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．
解　(1)因为a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，
所以2a2＝a1＋a3－8，
即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，
所以an＝2·3n－1(n∈N*)．
因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝，
所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝(n≥2)，
两式相减，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，
因为an＝2·3n－1，
所以bn＝n(n≥2)，
当n＝1时，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，所以bn＝n(n∈N*)．
(2)因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以Sn＝＝<.
因为 n∈N*，Sn≤m恒成立，
所以m≥，即实数m的最小值为.

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