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§7.2　球的切、接问题
题型一　定义法
例1　(1)已知∠ABC＝90°，PA⊥平面ABC，若PA＝AB＝BC＝1，则四面体PABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为(　　)
A．π B.π C．2π D.
答案　D
解析　如图，取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得PA⊥BC，
又因为AB⊥BC，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，
在Rt△PBC中，OB＝PC，
同理OA＝PC，
所以OA＝OB＝OC＝PC，
因此P，A，B，C四点在以O为球心的球面上，
在Rt△ABC中，AC＝＝.
在Rt△PAC中，PC＝＝，
球O的半径R＝PC＝，
所以球的体积为π3＝.
延伸探究 本例(1)条件不变，则四面体P－ABC的内切球的半径为________．
答案　
解析　设四面体P－ABC的内切球半径为r.
由本例(1)知，
S△PAC＝PA·AC＝×1×＝，
S△PAB＝PA·AB＝×1×1＝，
S△ABC＝AB·BC＝×1×1＝，
S△PBC＝PB·BC＝××1＝，
VP－ABC＝×AB·BC·PA
＝××1×1×1＝，
VP－ABC＝(S△PAC＋S△PAB＋S△ABC＋S△PBC)·r
＝·r＝，
∴r＝.
(2)在矩形ABCD中，BC＝4，M为BC的中点，将△ABM和△DCM分别沿AM，DM翻折，使点B与点C重合于点P，若∠APD＝150°，则三棱锥M－PAD的外接球的表面积为(　　)
A．12π B．34π
C．68π D．126π
答案　C
解析　如图，由题意可知，MP⊥PA，MP⊥PD.
且PA∩PD＝P，PA 平面PAD，PD 平面PAD，
所以MP⊥平面PAD.
设△ADP的外接圆的半径为r，
则由正弦定理可得＝2r，
即＝2r，所以r＝4.
设三棱锥M－PAD的外接球的半径为R，
则(2R)2＝PM2＋(2r)2，
即(2R)2＝4＋64＝68，所以4R2＝68，
所以外接球的表面积为4πR2＝68π.
思维升华　到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
跟踪训练1　(1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为3，则这个球的体积为________．
答案　
解析　设正六棱柱的底面边长为x，高为h，
则有
∴
∴正六棱柱的底面外接圆的半径r＝，球心到底面的距离d＝.
∴外接球的半径R＝＝1.
∴V球＝.
(2)(2022·哈尔滨模拟)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，其中AD＝1，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，则四棱锥P－ABCD的外接球表面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA＝PD，取AD的中点E，
则PE⊥AD，PE⊥平面ABCD，
则PE⊥AB，由AD⊥AB，AD∩PE＝E，AD，PE 平面PAD，可知AB⊥平面PAD，
由△PAD为等边三角形，E为AD的中点知，PE的三等分点F(距离E较近的三等分点)是三角形的中心，过F作平面PAD的垂线，过矩形ABCD的中心O作平面ABCD的垂线，两垂线交于点I，则I即外接球的球心．
OI＝EF＝PE＝×＝，
AO＝AC＝，
设外接球半径为R，
则R2＝AI2＝AO2＋OI2＝2＋2＝，
所以四棱锥P－ABCD的外接球表面积为S＝4πR2＝4π×＝.
题型二　补形法
例2　(1)在四面体ABCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　)
A．2π B．4π C．6π D．8π
答案　C
解析　由题意可采用补形法，考虑到四面体ABCD的对棱相等，所以将四面体放入一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，则有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R为外接球的半径)，得2R2＝3，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝6π.
(2)(2022·重庆实验外国语学校月考)如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．
答案　　6π
解析　如图添加的三棱锥为直三棱锥E－ADF，
可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF－BCE，
因为CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，
所以S△CBE＝CE×BC＝×1×1＝，
直三棱柱ADF－BCE的体积为
V＝S△EBC·DC＝×2＝1，
添加的三棱锥的体积为V＝；
如图，分别取AF，BE的中点M，N，连接MN，与AE交于点O，
因为四边形AFEB为矩形，所以O为AE，MN的中点，在直三棱柱ADF－BCE中，CE⊥平面ABCD，
FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O，连接DO，DO即为球的半径，
连接DM，因为DM＝AF＝，MO＝1，
所以DO2＝DM2＋MO2＝＋1＝，
所以外接球的表面积为4π·DO2＝6π.
思维升华　(1)补形法的解题策略
①侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②直三棱锥补成三棱柱求解．
(2)正方体与球的切、接常用结论
正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
(3)长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.
跟踪训练2　已知三棱锥P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积为(　　)
A.π B．14π C．56π D.π
答案　B
解析　以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PAB′B－CA′P′C′被平面ABC所截的三棱锥P－ABC符合要求，如图，
长方体PAB′B－CA′P′C′与三棱锥P－ABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP′，设外接球的半径为R，
则(2R)2＝PP′2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，
则所求表面积S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.
题型三　截面法
例3　(1)(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝.连接OO1，
则OO1⊥平面ABC，
OO1＝＝＝，
所以三棱锥O－ABC的体积V＝S△ABC×OO1＝××1×1×＝.
(2)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
答案　π
解析　圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示，则△PAB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△PAB中，PA＝PB＝3，D为AB的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝2，△PEO∽△PDB，
故＝，即＝，解得r＝，
故内切球的体积为π3＝π.
思维升华　(1)与球截面有关的解题策略
①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；
②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的．
(2)正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长)．
跟踪训练3　(1)(2022·成都模拟)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为(　　)
A．4π B．8π C．12π D．16π
答案　B
解析　如图所示，设球O的半径为R，由球的体积公式得πR3＝，解得R＝2.
设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r＝2cos α，
圆柱的高为4sin α，
∴圆柱的侧面积为4πcos α×4sin α＝8πsin 2α，
当且仅当α＝，sin 2α＝1时，圆柱的侧面积最大，
∴圆柱的侧面积的最大值为8π.
(2)(2022·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．
答案　
解析　易知AC＝10.
设△ABC的内切圆的半径为r，
则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，
所以r＝2.
因为2r＝4>3，
所以最大球的直径2R＝3，
即R＝，此时球的体积V＝πR3＝.
课时精练
1．正方体的外接球与内切球的表面积之比为(　　)
A. B．3
C．3 D.
答案　C
解析　设正方体的外接球的半径为R，内切球的半径为r，棱长为1，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2R＝，所以R＝，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r＝1，即r＝，所以＝，正方体的外接球与内切球的表面积之比为＝＝3.
2．(2022·开封模拟)已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的外接球的体积为(　　)
A．36π B．48π
C．36 D．24
答案　A
解析　设圆锥的底面半径为r，由侧面展开图是圆心角为的扇形，得2πr＝×2，
解得r＝2.
作出圆锥的轴截面如图所示．
设圆锥的高为h，则h＝＝4.
设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R，则有R＝，
即R＝，解得R＝3，
所以该圆锥的外接球的体积为＝＝36π.
3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为(　　)
A．16π B．20π
C．24π D．32π
答案　A
解析　如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，O1为底面对角线的交点，O为外接球的球心．
VP－ABCD＝×S正方形ABCD×3＝6，
所以S正方形ABCD＝6，即AB＝.
因为O1C＝＝.
设正四棱锥外接球的半径为R，则OC＝R，OO1＝3－R，
所以(3－R)2＋()2＝R2，解得R＝2.
所以外接球的表面积为4π×22＝16π.
4．已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为(　　)
A.π B.π C.π D.π
答案　A
解析　如图将棱长为1的正四面体B1－ACD1放入正方体ABCD－A1B1C1D1中，
且正方体的棱长为1×cos 45°＝，
所以正方体的体对角线
AC1＝＝，
所以正方体外接球的直径2R＝AC1＝，
所以正方体外接球的体积为
πR3＝π×3＝π，
因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，
所以正四面体的外接球的体积为π.
5．(2021·天津)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为(　　)
A．3π B．4π C．9π D．12π
答案　B
解析　如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1，
即AD＝3BD，
设球的半径为R，则＝，可得R＝2，
所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4，
所以BD＝1，AD＝3，
因为CD⊥AB，AB为球的直径，
所以△ACD∽△CBD，
所以＝，所以CD＝＝，
因此，这两个圆锥的体积之和为
π×CD2·(AD＋BD)＝π×3×4＝4π.
6．(2022·蚌埠模拟)粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为9 cm，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为(参考数据：≈2.45，π≈3.14)(　　)
A．20 cm3 B．22 cm3
C．26 cm3 D．30 cm3
答案　C
解析　如图，正四面体ABCD，其内切球O与底面ABC切于O1，设正四面体棱长为a，内切球半径为r，连接BO1并延长交AC于F，易知O1为△ABC的中心，点F为边AC的中点．
易得BF＝a，
则S△ABC＝a2，BO1＝BF＝a，
∴DO1＝＝a，
∴VD－ABC＝·S△ABC·DO1＝a3，
∵VD－ABC＝VO－ABC＋VO－BCD＋VO－ABD＋VO－ACD
＝4VO－ABC＝4××a2·r＝a2r，
∴a2r＝a3 r＝a，
∴球O的体积
V＝π·3＝π·3
＝π≈×2.45×3.14≈26(cm3)．
7．(多选)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB⊥AC，AB＝2，AC＝2，点D为AB的中点，过点D作球的截面，则截面的面积可以是(　　)
A. B．π C．9π D．13π
答案　BCD
解析　三棱锥P－ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，
∴2R＝＝2，∴R＝，
取BC的中点O1，
∴O1为△ABC的外接圆圆心，
∴OO1⊥平面ABC，如图．
当OD⊥截面时，截面的面积最小，
∵OD＝
＝＝2，
此时截面圆的半径为r＝＝1，
∴截面面积为πr2＝π，
当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR2＝13π，
故截面面积的取值范围是[π，13π]．
8．(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M，N，若线段MN的最小值为－1，则下列说法中正确的是(　　)
A．正方体的外接球的表面积为12π
B．正方体的内切球的体积为
C．正方体的棱长为2
D．线段MN的最大值为2
答案　ABC
解析　设正方体的棱长为a，
则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即a；内切球的半径为棱长的一半，即.
∵M，N分别为外接球和内切球上的动点，
∴MNmin＝a－＝a＝－1，解得a＝2，即正方体的棱长为2，
∴正方体外接球的表面积为4π×()2＝12π，内切球体积为，则A，B，C正确；
线段MN的最大值为＋1，则D错误．
9．已知三棱锥S－ABC的三条侧棱两两垂直，且SA＝1，SB＝SC＝2，则三棱锥S－ABC的外接球的半径是________．
答案　
解析　如图所示，将三棱锥补为长方体，则该棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设外接球半径为R，
则(2R)2＝12＋22＋22＝9，
∴4R2＝9，R＝.
即这个外接球的半径是.
10．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则正三棱锥的内切球的半径为________．
答案　－1
解析　如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE.
因为△ABC是正三角形，
所以AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．
因为AB＝BC＝2，
所以S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.
所以S三棱锥表＝3××2×＋3
＝3＋3.
因为PD＝1，
所以三棱锥的体积V＝×3×1＝.
设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小三棱锥，
由S三棱锥表·r＝，
得r＝＝－1.
11．等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝5，BC＝6，将它沿高AD翻折，使二面角B－AD－C成60°，此时四面体ABCD外接球的体积为________．
答案　π
解析　由题意，设△BCD所在的小圆为O1，半径为r，又因为二面角B－AD－C为60°，即∠BDC＝60°，所以△BCD为边长为3的等边三角形，由正弦定理可得，
2r＝＝2，即DE＝2，
设外接球的半径为R，且AD＝4，
在Rt△ADE中，
(2R)2＝AD2＋DE2 4R2＝42＋(2)2＝28，
所以R＝，
所以外接球的体积为
V＝πR3＝π×()3＝π.
12．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝2，∠BAC＝，则球O的体积为________．
答案　
解析　设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，连接O1O，如图，易得O1O⊥平面ABC，
∵AB＝AC＝1，AA1＝2，
∠BAC＝，
∴2r＝＝＝2，
即O1A＝1，O1O＝AA1＝，
∴OA＝＝＝2，即直三棱柱ABC－A1B1C1的外接球半径R＝2，
∴V球＝π×23＝.

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