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§3.7　利用导数研究函数零点
题型一　数形结合法研究函数零点
例1　(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
解　(1)当a＝1时，
f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，
令f′(x)<0，
解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)令f(x)＝0，得ex＝a(x＋2)，即＝，
所以函数y＝的图象与函数φ(x)＝的图象有两个交点，
φ′(x)＝，
当x∈(－∞，－1)时，φ′(x)>0；
当x∈(－1，＋∞)时，φ′(x)<0，
所以φ(x)在(－∞，－1)上单调递增，
在(－1，＋∞)上单调递减，
所以φ(x)max＝φ(－1)＝e，且x→－∞时，
φ(x)→－∞；x→＋∞时，φ(x)→0，
所以0<.
所以a的取值范围是.
教师备选
已知函数f(x)＝xex＋ex.
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数．
解　(1)函数f(x)的定义域为R，
且f′(x)＝(x＋2)ex，
令f′(x)＝0得x＝－2，则f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x (－∞，－2) －2 (－2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 单调递减 － 单调递增
∴f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)，单调递增区间是(－2，＋∞)．
当x＝－2时，f(x)有极小值为f(－2)＝－，无极大值．
(2)令f(x)＝0，得x＝－1，
当x<－1时，f(x)<0；
当x>－1时，f(x)>0，且f(x)的图象经过点，(－1,0)，(0,1)．
当x→－∞时，与一次函数相比，指数函数y＝e－x增长更快，从而f(x)＝→0；
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，f′(x)→＋∞，根据以上信息，画出f(x)大致图象如图所示．
函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数为y＝f(x)的图象与直线y＝a的交点个数．
当x＝－2时，f(x)有极小值f(－2)＝－.
∴关于函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点个数有如下结论：
当a<－时，零点的个数为0；
当a＝－或a≥0时，零点的个数为1；
当－思维升华　含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围．
跟踪训练1　设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．
解　(1)当m＝e时，f(x)＝ln x＋，
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝.
令f′(x)＝0，得x＝e.
当x∈(0，e)时，f′(x)<0；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增，
∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝2.
(2)由题意知
g(x)＝f′(x)－＝－－(x>0)，
令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x>0)．
设φ(x)＝－x3＋x(x>0)，
则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)．
当x∈(0,1)时，φ′(x)>0，φ(x)在(0,1)上单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)<0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．
∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，
∴x＝1也是φ(x)的最大值点，
∴φ(x)的最大值为φ(1)＝.
结合y＝φ(x)的图象(如图)可知，
①当m>时，函数g(x)无零点；
②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；
③当0④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．
综上所述，当m>时，函数g(x)无零点；
当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；
当0题型二　利用函数性质研究函数零点
例2　已知函数f(x)＝x－aln x(a>0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求函数g(x)＝x2－ax－f(x)的零点个数．
解　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝x－aln x可得
f′(x)＝1－＝，
由f′(x)>0可得x>a；
由f′(x)<0可得0所以f(x)的单调递减区间为(0，a)，
单调递增区间为(a，＋∞)．
(2)由g(x)＝x2－ax－x＋aln x
＝x2－(a＋1)x＋aln x，
可得g′(x)＝x－(a＋1)＋
＝＝，
令g′(x)＝0可得x＝1或x＝a，
因为g(1)＝－a－1＝－a－<0，
g(2a＋3)＝(2a＋3)2－(a＋1)(2a＋3)＋
aln(2a＋3)＝a＋aln(2a＋3)＋>0，
当a>1时，g(x)在(1，a)上单调递减，
所以g(1)>g(a)，
所以g(a)<0，所以g(x)有一个零点，
当a＝1时，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)有一个零点，
当0在(a,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
此时g(a)＝a2－(a＋1)a＋aln a
＝－a2－a＋aln a<0，
g(x)只有一个零点，
综上所述，g(x)在(0，＋∞)上只有一个零点．
教师备选
已知函数f(x)＝xsin x＋cos x，g(x)＝x2＋4.
(1)讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；
(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点．
(1)解　f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.
当x∈∪时，f′(x)>0；
当x∈∪时，f′(x)<0，
∴f(x)在，上单调递增，在，上单调递减．
(2)证明　h(x)＝x2＋4－4xsin x－4cos x，
∵h(－x)＝x2＋4－4xsin x－4cos x＝h(x)，
∴h(x)为偶函数．
又∵h(0)＝0，
∴x＝0为函数h(x)的零点．
下面讨论h(x)在(0，＋∞)上的零点个数：
h(x)＝x2＋4－4xsin x－4cos x
＝x(x－4sin x)＋4(1－cos x)．
当x∈[4，＋∞)时，
x－4sin x>0,4(1－cos x)≥0，
∴h(x)>0，
∴h(x)无零点；
当x∈(0,4)时，
h′(x)＝2x－4xcos x＝2x(1－2cos x)，
当x∈时，h′(x)<0；
当x∈时，h′(x)>0，
∴h(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴h(x)min＝h＝＋4－sin －4cos ＝＋2－<0，
又h(0)＝0，且h(4)＝20－16sin 4－4cos 4>0，
∴h(x)在上无零点，在上有唯一零点．
综上，h(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，
又h(0)＝0且h(x)为偶函数，
故h(x)在R上有且仅有三个零点．
思维升华　利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
跟踪训练2　已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．
(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；
(2)证明：f(x)只有一个零点．
(1)解　当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，
f′(x)＝x2－6x－3.
令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.
当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，
f′(x)>0；
当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，
单调递减区间为(3－2，3＋2)．
(2)证明　因为x2＋x＋1>0在R上恒成立，
所以f(x)＝0等价于－3a＝0.
设g(x)＝－3a，
则g′(x)＝≥0在R上恒成立，
当且仅当x＝0时，g′(x)＝0，
所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．
又f(3a－1)＝－6a2＋2a－
＝－62－<0，
f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．
综上所述，f(x)只有一个零点．
题型三　构造函数法研究函数的零点
例3　(2021·全国甲卷)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝(x>0)．
(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；
(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．
解　(1)当a＝2时，f(x)＝(x>0)，
f′(x)＝(x>0)，
令f′(x)>0，则0令f′(x)<0，
则x>，此时函数f(x)单调递减，
所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2)曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，
可转化为方程＝1(x>0)有两个不同的解，即方程＝有两个不同的解．
设g(x)＝(x>0)，
则g′(x)＝(x>0)，
令g′(x)＝＝0，得x＝e，
当00，函数g(x)单调递增，
当x>e时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，
故g(x)max＝g(e)＝，
且当x>e时，g(x)∈，
又g(1)＝0，
所以0<<，所以a>1且a≠e，
即a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞)．
教师备选
(2022·淄博质检)已知f(x)＝x3＋x2＋2x，f′(x)是f(x)的导函数．
(1)求f(x)的极值；
(2)令g(x)＝f′(x)＋kex－1，若y＝g(x)的函数图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围．
解　(1)因为f′(x)＝x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝－2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如表所示：
x (－∞，－2) －2 (－2，－1) －1 (－1，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?
由表可知，函数f(x)的极大值为f(－2)＝－，
极小值为f(－1)＝－.
(2)由(1)知g(x)＝x2＋3x＋2＋kex－1＝x2＋3x＋1＋kex，
由题知需x2＋3x＋1＋kex＝0有三个不同的解，即k＝－有三个不同的解．
设h(x)＝－，
则h′(x)＝＝，
当x∈(－∞，－2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
当x∈(－2,1)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
又当x→－∞时，h(x)→－∞，
当x→＋∞时，h(x)→0且h(x)<0，
且h(－2)＝e2，h(1)＝－.
作出函数h(x)的简图如图，
数形结合可知，－思维升华　涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围．
跟踪训练3　已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＋.
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)当a＝时，f(x)的图象与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围．
解　(1)当a＝1时，
f(x)＝(x－1)ex－x2＋b＋(x∈R)，
则f′(x)＝ex＋(x－1)ex－2x＝x(ex－2)．
令f′(x)>0，解得x<0或x>ln 2；
令f′(x)<0，解得0所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln 2)．
(2)因为a＝，
所以f(x)＝(x－1)ex－x2＋b＋.
由(x－1)ex－x2＋b＋＝bx，
得(x－1)ex－(x2－1)＝b(x－1)．
当x＝1时，方程成立．
当x≠1时，只需要方程ex－(x＋1)＝b有2个实根．令g(x)＝ex－(x＋1)，
则g′(x)＝ex－.
当xln 且x≠1时，g′(x)>0，所以g(x)在上单调递减，在和(1，＋∞)上单调递增，因为g＝－＝ln 2，
g(1)＝e－1≠0，
所以b∈∪(e－1，＋∞)．
课时精练
1．已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.
(1)求a，b的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围．
解　(1)f(x)＝ex(ax＋1)，
则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)，
由题意知解得
∴a＝1，b＝3e.
(2)g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，
函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图象与直线y＝m有两个交点，u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)，
当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，
∴u(x)在(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，
∴u(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e.
又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，
当x<2时，u(x)<0，
∴－e∴实数m的取值范围为(－e,0)．
2．已知函数f(x)＝ex－(k＋1)ln x＋2sin α.
(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数k的取值范围；
(2)当k＝0时，证明：函数f(x)无零点．
(1)解　f′(x)＝ex－，x>0，
∵函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴ex－≥0在(0，＋∞)上恒成立，
即k＋1≤xex在(0，＋∞)上恒成立，
设h(x)＝xex，
则h′(x)＝(x＋1)ex>0在(0，＋∞)上恒成立．
∴函数h(x)＝xex在(0，＋∞)上单调递增，
则h(x)>h(0)＝0，
∴k＋1≤0，即k≤－1，
故实数k的取值范围是(－∞，－1]．
(2)证明　当k＝0时，f′(x)＝ex－，x>0，
令g(x)＝ex－，x>0，
则g′(x)＝ex＋>0，
∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且f′＝－2<0，f′(1)＝e－1>0，
∴存在m∈，使得f′(m)＝0，得em＝，
故m＝－ln m，
当x∈(0，m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈(m，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)min＝f(m)＝em－ln m＋2sin α＝＋m＋2sin α>2＋2sin α≥0，
∴函数f(x)无零点．
3．(2022·安庆模拟)已知函数f(x)＝ln x－aex＋1(a∈R)．
(1)当a＝1时，讨论f(x)极值点的个数；
(2)讨论函数f(x)的零点个数．
解　(1)由f(x)＝ln x－aex＋1，
知x∈(0，＋∞)．
当a＝1时，f(x)＝ln x－ex＋1，
f′(x)＝－ex，
显然f′(x)在(0，＋∞)上单调递减．
又f′＝2－>0，f′(1)＝1－e<0，
所以f′(x)在上存在零点x0，且是唯一零点，当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；
当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)<0，
所以x0是f(x)＝ln x－ex＋1的极大值点，且是唯一极值点．
(2)令f(x)＝ln x－aex＋1＝0，则a＝.
令y＝a，g(x)＝，
g′(x)＝(x>0)．
令h(x)＝－ln x－1，
则h′(x)＝－－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，而h(1)＝0，
故当x∈(0,1)时，h(x)>0，即g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)单调递减．
故g(x)max＝g(1)＝.
又g＝0，当x>1且x→＋∞时，
g(x)>0且g(x)→0，
作出函数g(x)＝的图象如图所示．
结合图象知，当a>时，f(x)无零点，
当a≤0或a＝时，f(x)有1个零点，
当04．(2022·潍坊模拟)已知函数f(x)＝－2(a∈R)．
(1)若曲线y＝f(x)在点处的切线经过坐标原点，求实数a；
(2)当a>0时，判断函数f(x)在x∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．
解　(1)f′(x)＝，
f′＝π，
所以f(x)在点处的切线方程为y＝πx，所以f ＝，
即－a－2＝，a＝－－2.
(2)因为x∈(0，π)，所以sin x>0，
所以－2＝0可转化为x2－a－2sin x＝0，
设g(x)＝x2－a－2sin x，
则g′(x)＝2x－2cos x，
当x∈时，g′(x)>0，
所以g(x)在区间上单调递增．
当x∈时，
设h(x)＝g′(x)＝2x－2cos x，
此时h′(x)＝2＋2sin x>0，
所以g′(x)在x∈上单调递增，
又 g′(0)＝－2<0，g′＝π>0，
所以存在x0∈使得g′(x)＝0且x∈(0，x0)时g(x)单调递减，
x∈时g(x)单调递增．
综上，对于连续函数g(x)，当x∈(0，x0)时，g(x)单调递减，
当x∈(x0，π)时，g(x)单调递增．
又因为g(0)＝－a<0，
所以当g(π)＝π2－a>0，即a<π2时，
函数g(x)在区间(x0，π)上有唯一零点，
当g(π)＝π2－a≤0，即a≥π2时，函数g(x)在区间(0，π)上无零点，
综上可知，当0当a≥π2时，函数f(x)在(0，π)上没有零点．

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