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§10.2　排列与组合
考试要求　1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列组合解决简单的实际问题．
知识梳理
1．排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列
组合 作为一组
2.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C表示．
3．排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)． (2)C＝＝ ＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1.
性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C.
常用结论
解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　)
(2)选择两人去参加同一项活动时无先后顺序．(　√　)
(3)若组合数公式C＝C，则x＝m成立．(　×　)
(4)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．(　×　)
教材改编题
1．将《步步高》《创新设计》等六本不同的教辅资料按如图所示的方式竖放在一起，则《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有(　　)
A．120种 B．240种
C．200种 D．180种
答案　B
解析　《步步高》放在最前面或最后面的不同放法共有2A＝240(种)．
2．有3名男生和2名女生排成一排，女生不能相邻的不同排法有(　　)
A．36种 B．72种
C．108种 D．144种
答案　B
解析　不同排法种数为AA＝72(种)．
3．若C＝C＋C(n∈N*)，则n＝ .
答案　5
解析　由C＝C＋C，
所以C＝C，
又因为C＝C，
所以n－2＝3，即n＝5.
题型一　排列问题
例1　(1)(多选)17名同学站成两排，前排7人，后排10人，则不同站法的种数为(　　)
A．AA B．AA C．A＋A D．A
答案　BD
解析　17名同学中选7名全部排序站在前排有A种方法，剩下10名同学全排在后排有A种方法，根据乘法原理，共有AA种方法．将前后排视为一排，共有A种方法．
(2)(2022·福州模拟)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2,3,4,5,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，且a1A．15 B．30 C．45 D．60
答案　B
解析　由题意可知分两步：
①先排a1，a3，a5，
当a1＝2时，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6有2种，
当a1＝3时，a3＝4，a5＝6或a3＝5，a5＝6有2种，
当a1＝4时，a3＝5，a5＝6有1种，共5种；
②再排a2，a4，a6，共有A＝6(种)，
所以不同的排列方法种数为5×6＝30.
教师备选
现有8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为(　　)
A．A·A B．A－A·A
C．A·A D．A－A
答案　B
解析　在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不全相邻的方法数，即A－A·A.
思维升华　对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
跟踪训练1　(1)将1,2,3,4,5,6这6个数填入如图所示的3行2列表格中，要求表格每一行数字之和均相等，则可组成不同表格的个数为(　　)
A.8 B．24 C．48 D．64
答案　C
解析　由1＋6＝2＋5＝3＋4，则可组成不同表格的个数为AAAA＝48.
(2)(2022·苏州调研)甲、乙、丙、丁和戊5名学生进行数学创新能力比赛，决出第一到第五名的名次(无并列名次)．甲、乙两名同学去询问成绩，老师说：“你们都没有得到第一，你们也都不是最后一名，并且你们的名次相邻．”从上述回答分析，5人的名次不同的排列情况有(　　)
A．36种 B．24种
C．18种 D．12种
答案　B
解析　由题意甲乙两人名次为2,3或3,4，所以5人的名次不同的排列情况有2×AA＝24(种)．
题型二　组合问题
例2　(1)(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有(　　)
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
答案　C
解析　根据题设中的要求，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，可分两步进行安排：第一步，将5名志愿者分成4组，其中1组2人，其余每组1人，共有C种分法；第二步，将分好的4组安排到4个项目中，有A种安排方法．故满足题意的分配方案共有C·A＝240(种)．
(2)两个三口之家(父母＋小孩)共6人去旅游，有红旗和大众两辆新能源汽车，每辆车至少乘坐2人，但两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为(　　)
A．48 B．50
C．98 D．68
答案　A
解析　6人乘坐的所有情况有CCA＋C＝15×2＋20＝50(种)，两个小孩单独乘坐一辆车的情况有C＝2(种)，由题意知两个小孩不能单独乘坐一辆车，则不同的乘车方式的种数为50－2＝48.
教师备选
泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船只将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有 种(用数字作答)．
答案　840
解析　依题意相当于将8个相同的小球，放入5个盒子中，且每个盒子不空，则在8个小球中的7个空档插入4个板，分为5堆，则有C＝35(种)分法，即通过的桥孔组合有35种，再对4艘参赛船全排列有A＝24(种)排法，故共有CA＝35×24＝840(种)方法．
思维升华　组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
跟踪训练2　(1)将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至多可以放3个小球，且允许有空盒子，则不同的放法共有(　　)
A．10种 B．16种
C．22种 D．28种
答案　A
解析　如果没有空盒，则小盒的球数是1,2,3，或是2,2,2，共有A＋1＝7(种)放法；
若是有一个空盒，则小盒的球数是3,3，首先选盒，再放小球，共有C×1＝3(种)放法，
所以不同的放法共有7＋3＝10(种)．
(2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为 ．
答案　86
解析　由题意，可分三类考虑：
第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为CC＋CC＋C＝31；
第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为CC＋CC＋C＝34；
第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为C＋CC＋C＝21.
所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.
题型三　排列与组合的综合应用
命题点1　相邻、相间及特殊元素(位置)问题
例3　(2022·广州质检)某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为(　　)
A．AA B．AA
C．AA D．AA
答案　D
解析　先将4个小吃类店铺进行全排，再从这4个小吃类店铺的5个空位选2个进行排列，
故排出的摊位规划总个数为AA.
延伸探究　若要求饮料类店铺必须相邻，则可以排出的摊位规划总个数为 (用数字作答)．
答案　240
解析　先将2个饮料类店铺进行捆绑，再和其他4个小吃类店铺进行排列，
故排出的摊位规划总个数为AA＝240.
思维升华　相邻、相间问题的解题策略
(1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列．
(2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．
命题点2　定序问题
例4　某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后进行，那么安排这6项工程不同的排法种数是 ．
答案　120
解析　六个元素进行排序，保证甲、乙、丙三个元素顺序不变，再加入三个元素进行排序，共＝120(种)．
延伸探究　若在本题中，再增加条件“工程丁必须在丙完成后立即进行”，那么安排这6项工程不同的排法种数是 ．
答案　20
解析　工程丁必须在丙完成后立即进行，等价于丙丁看成一个元素，共五个元素进行排序，保证甲乙(丙丁)三个元素顺序不变，再加入两个元素进行排序，共＝20(种)．
思维升华　定序问题的处理策略
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n个，新插入的元素为m个，则排列数为.
命题点3　分组、分配问题
例5　数学活动小组由12名同学组成，现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出1名组长，则不同的分配方案有(　　)
A.A种 B．CCC34种
C.43种 D．CCC43种
答案　B
解析　方法一　首先将12名同学平均分成四组，有种分法，然后将这四组同学分配到四个不同的课题组，有A种分法，并在各组中选出1名组长，有34种选法，根据分步乘法计数原理，满足条件的不同分配方案有·A·34＝CCC34(种)．
方法二　根据题意可知，第一组分3名同学有C种分法，第二组分3名同学有C种分法，第三组分3名同学有C种分法，第四组分3名同学有C种分法．第一组选1名组长有3种选法，第二组选1名组长有3种选法，第三组选1名组长有3种选法，第四组选1名组长有3种选法．根据分步乘法计数原理可知，满足条件的不同分配方案有CCCC34种．
教师备选
1．某地遭遇极端强降雨天气，一方有难，八方支援，全国各地救援团队奔赴此地．现有某救援团队5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛救灾志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，则不同分配方案的总数为(　　)
A．120 B．150
C．240 D．300
答案　B
解析　有5名志愿者被分配到3个不同巡查点进行防汛抗洪志愿活动，要求每人只能去一个巡查点，每个巡查点至少有一人，
包括两种情况：
一是按照2,2,1分配，有CCA＝90(种)结果，
二是按照3,1,1分配，有CCA＝60(种)结果．
不同分配方案的总数为90＋60＝150.
2．(2022·南平模拟)福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划(简称中学生“英才计划”)，在数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选2021年福建省中学生“英才计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养，现有4名数学特长生可从3位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案有 种．(结果用数字作答)
答案　54
解析　分两类，A＋A＝54(种)．
思维升华　解决分组分配问题的策略
(1)对于整体均分，分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！.
跟踪训练3　(1)2021年7月1日，建党百年盛典，天安门广场上共青团员、少先队员齐诵青春誓言“请党放心，强国有我！”，新的百年，听党话、感党恩、跟党走！给人们留下深刻印象．表演前，为呈现最佳效果，节目编排人员将4名领诵人员排成一排，则两名女领诵相邻的方案有(　　)
A．10种 B．12种
C．20种 D．24种
答案　B
解析　将两名女领诵捆绑，再和另外两名男领诵进行全排列，共有AA＝12(种)．
(2)(多选)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(　　)
A．如果甲乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为72种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有30种
答案　ABC
解析　如果甲乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有A＝24(种)，故A正确；
最左端排甲时，有A＝24(种)不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有CA＝18(种)不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24＋18＝42(种)，故B正确；
因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，则有AA＝72(种)，故C正确；
甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有＝20(种)，故D不正确．
课时精练
1．山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A，B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为(　　)
A．12 B．24
C．36 D．48
答案　B
解析　因为A，B两型号的种子试种方法数为2×2＝4，所以一共有4A＝24(种)．
2．宋代学者聂崇义编撰的《三礼图集注》中描述的周王城，“匠人营国，方九里，旁三门，国中九经九纬…”，意思是周王城为正方形，边长为九里，每边都有左中右三个门，城内纵横各有九条路…，依据此种描述，画出周王城的平面图，则图中共有 个矩形(　　)
A．3 025 B．2 025
C．1 225 D．2 525
答案　A
解析　要想组成一个矩形，需要找出两条横边、两条纵边，根据分步乘法计数原理，依题意，所有矩形的个数为C·C＝3 025.
3．(2022·衡水模拟)同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎必须相邻，这样的排队方法有(　　)
A．24种 B．48种
C．72种 D．96种
答案　C
解析　根据题意分3步进行分析：
第一步，将除A，B，C之外的三人全排列，
有A＝6(种)情况，
第二步，由于AD必须相邻，则A必须安排在D相邻的两个空位中，有2种情况，
第三步，将B，C安排在剩下的3个空位中，
有A＝6(种)情况，
则共有6×2×6＝72(种)不同的安排方法．
4．中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为宫、商、角、徵、羽．如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不在角音阶的同侧，可排成的不同音序的种数为(　　)
A．120 B．90
C．60 D．40
答案　D
解析　根据题意，将5个音阶全排列，共有5个位置，如图，从左至右依次记为1,2,3,4,5，进而可以分以下三类求解．
1 2 3 4 5
当角音阶在2号位置，此时只需在宫、羽两音阶中选一个放置到1号位置，剩下的一个音阶和其余的两个任意安排到3,4,5号位置即可，故有AA＝12(种)；
当角音阶在3号位置，此时只需在宫、羽两音阶中选一个放置到1号或2号位置，剩下的一个音阶放到4号或5号位置，最后安排剩余的商、徵两个音阶，共有CAAA＝16(种)；
当角音阶在4号位置，此时与2号位置的安排方法相同，共有AA＝12(种)，
故宫、羽两音阶不在角音阶的同侧，可排成的不同音序的种数为12＋16＋12＝40.
5．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为(　　)
A．120 B．240
C．360 D．480
答案　C
解析　前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有CC种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A种方法；若相邻，有CA种，故共有CC(A＋CA)＝360(种)．
6．(2022·辽阳模拟)联考结束后，某班要安排6节课进行试卷讲评，要求课程表中要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物共六节课，如果第一节课只能排语文或数学，最后一节不能排语文，则不同的排法共有(　　)
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
答案　B
解析　分以下两种情况讨论：
①若第一节课安排语文，则后面五节课的安排无限制，此时共有A种；
②若第一节课安排数学，则语文可安排在中间四节课中的任何一节，此时共有4A种．
综上所述，不同的排法共有A＋4A＝216(种)．
7．(多选)现有4个编号为1,2,3,4不同的球和4个编号为1,2,3,4不同的盒子，把球全部放入盒内．则下列说法正确的是(　　)
A．恰有1个盒不放球，共有72种放法
B．每个盒子内只放一个球，且球的编号和盒子的编号不同的放法有9种
C．有2个盒内不放球，另外两个盒子内各放2个球的放法有36种
D．恰有2个盒不放球，共有84种放法
答案　BCD
解析　对于A，恰有1个盒不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，
则CCA＝144≠72，故A不正确；
对于B，编号为1的球有C种方法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒子或者其他两个盒子，共有1＋C＝3(种)，
即3×3＝9(种)，故B正确；
对于C，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有CC＝36(种)，故C正确；
对于D，恰有2个盒不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3,1或2,2两种情况，放入盒子，共有C(CC＋C)＝6×14＝84(种)，故D正确．
8．(多选)下列等式正确的有(　　)
A．A＋mA＝A
B．nC＝mC
C．C＋C＋C＋…＋C＝C
D．C＋C＋C＋…＋C＝22 022
答案　ACD
解析　对于A，A＋mA＝＋m·
＝＋
＝＝A，
选项A正确；
对于B，nC＝n·
＝·
＝·C≠mC，
选项B错误；
对于选项C，C＋C＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋…＋C
＝…＝C＋C
＝C＝C，
选项C正确；
对于D选项，二项式(a＋b)n(n∈N*)的展开式的二项式系数和等于2n，选项D正确．
9．某高铁站有10个候车位(成一排)，现有4名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有5个连续空座位的候车方式共有 种(用数字作答)．
答案　480
解析　把四位乘客当做4个元素作全排列有A种排法，将一个空座位和余下的5个空座位作为2个元素插空有A种排法，
∴共有AA＝480(种)．
10．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有 种．(用数字作答)
答案　11
解析　根据题意，因为“good”四个字母中的两个“O”是相同的，则其不同的排列有×A＝12(种)，
其中正确的有一种，所以错误的方法共有12－1＝11(种)．
11．为巩固防疫成果，现有7人排队接种加强针新冠疫苗，若要求甲在乙的前面，乙在丙的前面，且丙、丁相邻，则有 种不同的排队方法．(用数字作答)
答案　240
解析　丙、丁捆绑作为一个人，7个人7个位置变成6个位置，从中选3个安置甲、乙、丙(丁)，其他3个任意排列，方法数为CAA＝240.
12．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.2021年的强基计划报名时间集中在4月8日－4月30日，某校甲、乙、丙、丁、戊五名学生准备报名清华、北大和南大的强基计划，若每所学校至少有一名学生报名，每名学生只报名一所学校，且甲和乙商量好报名同一所学校，则共有 种不同的报名方式．(用数字作答)
答案　36
解析　根据题意，把甲乙2人视为一个人，则五个人看成四个人，从四个人中先取出两个人，然后与剩下两个人进行全排列，则有CA＝36(种)不同的方法．
13．福厦高速铁路，正线全长300.483千米.2017年开工建设，沿线设福州站→福州南站→福清西站→莆田站→泉港站→泉州东站→泉州南站→厦门北站→漳州站9座客站，设计速度每小时350千米，预计2022年9月开通．为了加快推动重点项目进展，即西溪特大桥、泉州湾跨海大桥、木兰溪特大桥3个控制性工程的建设．项目监管公司决定派出甲、乙等6名经理去3个项目现场考察监督，每个项目现场2名经理，每位经理只去一个项目现场，则甲、乙到不同项目现场的不同安排方案共有(　　)
A．6种 B．18种
C．36种 D．72种
答案　D
解析　根据题意把6人分成3组，共有＝15(种)不同的分法，其中甲乙在同一组中有＝3(种)分法，可得甲乙不在同一组中，共有15－3＝12(种)不同的分组，再分派到3个不同的项目现场，共有12×A＝72(种)不同的方案．
14．2021年是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2,0,2,1,7,1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成 个不同的六位数．
答案　150
解析　依题意可组成不同的六位数有－＝180－30＝150(个)．
15．(多选)众所周知，组合数C＝，这里m，n∈N*，并且m≤n.牛顿在研究广义二项式定理过程中把二项式系数C中的下标n推广到任意实数，规定广义组合数C＝是组合数的一种推广，其中(m∈N*，x∈R)，且定义C＝1，比如C＝＝0.下列关于广义组合数的性质说法正确的有(　　)
A．C＝－210
B．当m，n为正整数且m>n时，C＝0
C．当m为正奇数时，C＝－1
D．当n为正整数时，C＝(－1)mC
答案　BCD
解析　选项A，由题意，C＝＝210，
故A不正确．
选项B，由C＝，
当m，n为正整数且m>n时，则n－m≤－1，
所以n－m＋1≤0，
所以n，n－1，n－2，…，n－m＋1这m个数中，一定有某个数为0，
所以C＝＝0，
故B正确．
选项C，当m为正奇数时，
C＝
＝＝－1，
故C正确．
选项D，当n为正整数时，
C＝＝(－1)m.
C＝
＝.
所以C＝(－1)mC，故选项D正确．
16．某次灯谜大会共设置6个不同的谜题，分别藏在如图所示的6只灯笼里，每只灯笼里仅放一个谜题．并规定一名参与者每次只能取其中一串最下面的一只灯笼并解答里面的谜题，直到答完全部6个谜题，则一名参与者一共有 种不同的答题顺序．
答案　60
解析　将6只灯笼全排，即A，因为每次只能取其中一串最下面的一只灯笼内的谜题，每次取灯的顺序确定，取谜题的方法有＝60(种)．

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