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§10.3　二项式定理
考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
知识梳理
1．二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数 C(k＝0,1，…，n)
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
常用结论
1．两个常用公式
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．(　×　)
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　×　)
(4)(a＋b)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同．(　×　)
教材改编题
1．(x－1)10的展开式的第6项的系数是(　　)
A．C B．－C
C．C D．－C
答案　D
解析　T6＝Cx5(－1)5，
所以第6项的系数是－C.
2．(多选)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
答案　ABC
解析　∵(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数C最大，∴n＝7或n＝8或n＝9.
3．在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是________．
答案　1
解析　令x＝1可得各项系数的和为(1－2)10＝1.
题型一　通项公式的应用
命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1　(1)(2022·烟台模拟)(1－2)8展开式中x项的系数为(　　)
A．28 B．－28
C．112 D．－112
答案　C
解析　(1－2)8展开式的通项公式为
Tk＋1＝C(－2)k＝.
要求x项的系数，只需＝1，解得k＝2，
所以x项系数为(－2)2C＝4×＝112.
(2)(2022·德州模拟)若n∈Z，且3≤n≤6，则n的展开式中的常数项为______．
答案　4
解析　n的通项公式为
Tk＋1＝Cxn－kk＝Cxn－4k，
因为3≤n≤6，令n－4k＝0，
解得n＝4，k＝1，
所以n的展开式中的常数项为4.
命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
例2　(1)(2022·泰安模拟)(x3－2)6的展开式中x6的系数为(　　)
A．6 B．10 C．13 D．15
答案　C
解析　由于6的展开式的通项为
Tk＋1＝，
令6－＝3，求得k＝2；
令6－＝6，求得k＝0，
故(x3－2)6的展开式中x6的系数为C－2C＝15－2＝13.
(2)(2022·合肥模拟)二项式(1－2x)4的展开式中x3项的系数是－70，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－4 D．4
答案　D
解析　因为(1－2x)4
＝2×(1－2x)4－×(1－2x)4，
(1－2x)4的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kCxk，k＝0,1,2,3,4，
所以2×(1－2x)4展开式中x3项的系数是
2×(－2)3C＝－64，
×(1－2x)4展开式中x3项的系数是
×(－2)2C＝，
所以－64－＝－70，解得a＝4.
教师备选
1．(2022·菏泽模拟)已知正整数n≥7，若(1－x)n的展开式中不含x5的项，则n的值为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
答案　D
解析　(1－x)n的二项展开式中第k＋1项为
Tk＋1＝C(－1)kxk，
又因为(1－x)n＝x(1－x)n－(1－x)n的展开式不含x5的项，
所以xC(－1)4x4－C(－1)6x6＝0，
Cx5－Cx5＝0，即C＝C，
所以n＝10.
2．(2022·烟台模拟)在(x2＋2x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A．60 B．30
C．15 D．12
答案　A
解析　由(x2＋2x＋y)5＝[(x2＋2x)＋y]5，
由通项公式可得Tk＋1＝C(x2＋2x)5－kyk，
∵要求x5y2的系数，
故k＝2，此时(x2＋2x)3＝x3·(x＋2)3，
其对应x5的系数为C21＝6.
∴x5y2的系数为C×6＝60.
思维升华　(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
跟踪训练1　(1)(2021·北京)4的展开式中常数项为________．
答案　－4
解析　4的展开式的通项
Tk＋1＝C(x3)4－k·k＝(－1)kCx12－4k，令k＝3得常数项为T4＝(－1)3C＝－4.
(2)(2022·攀枝花模拟)(1＋2x)5的展开式中，含x3的项的系数是(　　)
A．－112 B．－48
C．48 D．112
答案　C
解析　由(1＋2x)5
＝(1＋2x)5－(1＋2x)5，
(1＋2x)5展开式的通项公式为
Tk＋1＝C(2x)k＝2kCxk，其中k＝0,1,2,3,4,5，
(1＋2x)5展开式中含x3项的系数为23C＝80，
(1＋2x)5展开式中含x3项的系数为25C＝32，所以(1＋2x)5的展开式中，含x3的项的系数为80－32＝48.
题型二　二项式系数与项的系数的问题
命题点1　二项式系数和与系数和
例3　(1)(多选)(2022·十堰调研)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　)
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为－135 D．常数项为135
答案　ABD
解析　在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x＝1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，
则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B正确；
6展开式的通项为
Tk＋1＝C·(3x)6－k·k
＝，
令6－k＝0，得k＝4，
因此展开式中的常数项为T5＝C·(－1)4·32＝135.故D正确．
(2)已知多项式(1－2x)＋(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＝______，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝______.
答案　1　23
解析　根据题意，令x＝1，
则(1－2)＋(1＋1＋1)3＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26，令x＝0，a0＝1＋1＝2，
由于(1－2x)＋(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，a1为展开式中x项的系数，
考虑一次项系数a1＝－2＋CC×12＝1，
所以a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26－1－2＝23.
命题点2　系数与二项式系数的最值问题
例4　6的展开式中二项式系数最大的项为第________项，系数最大的项为________．
答案　4　240x－8y2
解析　因为6的展开式中二项式系数的最大值为C，所以二项式系数最大的项为第4项．因为6的展开式的通项为
Tk＋1＝C·y6－kk＝C·(－2)kx－2ky6－k，
所以展开式中系数最大的项为奇数项．
展开式中第1,3,5,7项的系数分别为C·(－2)0，C·(－2)2，C·(－2)4，C·(－2)6，即1,60,240,64，所以展开式中系数最大的项为240x－8y2.
教师备选
1．(多选)已知(1－2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，下列命题中正确的是(　　)
A．展开式中所有项的二项式系数的和为22 022
B．展开式中所有奇次项系数的和为
C．展开式中所有偶次项系数的和为
D.＋＋＋…＋＝－1
答案　ACD
解析　选项A，由二项式知，C＋C＋…＋C＝(1＋1)2 022＝22 022，A正确；
当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝1，
当x＝－1时，
有a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＋a2 022＝32 022，
选项B，由上可得
a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝，
B错误；
选项C，由上可得
a0＋a2＋a4＋…＋a2 022＝，
C正确；
选项D，令x＝可得
a0＋＋＋＋…＋＝0，
又a0＝1，
所以＋＋＋…＋＝－1，D正确．
2．(多选)已知(x－3)8＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a8(x－2)8，则下列结论正确的有(　　)
A．a0＝1
B．a6＝－28
C.＋＋…＋＝－
D．a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128
答案　ACD
解析　对于A，取x＝2，得a0＝1，A正确；
对于B，(x－3)8＝[－1＋(x－2)]8展开式中第7项为C(－1)2(x－2)6＝28(x－2)6，
即a6＝28，B不正确；
对于C，取x＝，得
a0＋＋＋…＋＝8＝，
则＋＋…＋＝－a0＝－，
C正确；
对于D，取x＝3，得
a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7＋a8＝0，
取x＝1，得
a0－a1＋a2－a3＋…－a7＋a8＝(－2)8＝256，
两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝256，
即a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128，D正确．
思维升华　赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
跟踪训练2　(1)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于(　　)
A．1 B．243
C．121 D．122
答案　B
解析　令x＝1，
得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①
令x＝－1，
得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②
①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，
即a4＋a2＋a0＝－121.
①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，
即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
(2)(多选)(2022·济南模拟)在6的展开式中，下列说法正确的是(　　)
A．常数项为160
B．第4项的二项式系数最大
C．第3项的系数最大
D．所有项的系数和为64
答案　BC
解析　展开式的通项为Tk＋1＝C·6－k·(－x)k＝26－k(－1)k·Cx2k－6，由2k－6＝0，得k＝3，所以常数项为23(－1)3C＝－160，A错误；展开式共有7项，所以第4项二项式系数最大，B正确；第3项的系数最大，C正确；令x＝1，得6＝1，所有项的系数和为1，D错误．
题型三　二项式定理的综合应用
例5　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 021＋a能被13整除，则a等于(　　)
A．0 B．1 C．11 D．12
答案　B
解析　因为a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 021＋a＝(52－1)2 021＋a，
＝C522 021－C522 020＋C522 019－…＋C52－C＋a，
因为512 021＋a能被13整除，结合选项，
所以－C＋a＝－1＋a能被13整除，
所以a＝1.
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(　　)
A．1.23 B．1.24
C．1.33 D．1.34
答案　D
解析　1.056＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＋C×0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…＋0.056≈1.34.
教师备选
已知n为满足S＝n＋C＋C＋C＋…＋C(n≥3)能被9整除的正数n的最小值，则n的展开式中，系数最大的项为(　　)
A．第6项 B．第7项
C．第11项 D．第6项和第7项
答案　B
解析　S＝n＋C＋C＋C＋…＋C
＝n＋(1＋1)27－C
＝(9－1)9＋n－1
＝9(98－C97＋…＋C)＋n－2，
∵n≥3，
∴S能被9整除的正数 n的最小值是n－2＝9，
∴n＝11.
∴11的展开式中的通项公式为
Tk＋1＝Cx11－kk
＝(－1)kCx11－2k，
只考虑k为偶数的情况，
由T5＝Cx3，T7＝Cx－1，T9＝Cx－5，
可知系数最大的项为第7项．
思维升华　二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
跟踪训练3　(1)设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(　　)
A．－3 B．2
C．10 D．11
答案　C
解析　11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1＝C·11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11＋C－2＝(11＋1)n－2
＝12n－2＝(13－1)n－2
＝C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13＋(－1)n·C－2，
因为n为奇数，则上式＝
C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－3＝[C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－13]＋10，
所以11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是10.
(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(　　)
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
答案　B
解析　(0.99)6＝(1－0.01)6＝C×1－C×0.01＋C×0.012－C×0.013＋…＋C×0.016
＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016
≈0.941.
课时精练
1．(2022·济南模拟)6的展开式中，含x4项的系数为(　　)
A．4 B．6
C．10 D．15
答案　B
解析　6的展开式通项为
Tk＋1＝C·x6－k·k＝C·x6－2k，
令6－2k＝4，解得k＝1，
因此，展开式中含x4项的系数为C＝6.
2．(2022·武汉部分重点中学联考)在n的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是(　　)
A. B．－
C．－28 D．28
答案　B
解析　展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以n＝12，
展开式的通项为
Tk＋1＝C12－k·k
＝，
若为常数项，则12－k＝0，
所以k＝9 ，得常数项为
T10＝C(－1)912－9＝－＝－.
3．(2022·邯郸模拟)(x2－x)(1＋x)6的展开式中x3项的系数为(　　)
A．－9 B．9
C．－21 D．21
答案　A
解析　展开式中x3项的系数为C－C＝－9.
4．(2022·芜湖质检)已知(x－m)(x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，其中m为常数，若a4＝30，则a0等于(　　)
A．－32 B．32
C．64 D．－64
答案　A
解析　由多项式乘法知，第一个因式中x乘以(x＋2)5展开式中的x3项得一个x4项，第一个因式中的常数－m乘以(x＋2)5展开式中的x4项得另一个x4项，两项合并同类项得系数即为a4，所以a4＝C×22－m×C×2＝30，
解得m＝1，再令x＝0，得a0＝－25＝－32.
5．(2022·大连模拟)(ax－y)(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为－2，则实数a的值为(　　)
A．－ B．－1 C．1 D.
答案　D
解析　化简得(ax－y)(x＋y)4＝ax·(x＋y)4－y·(x＋y)4，
∵(x＋y)4的展开式的通项公式
Tk＋1＝Cx4－kyk，
当k＝2时，ax·(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为Ca＝6a，
当k＝1时，－y·(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为－C＝－4，
综上，(ax－y)(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为6a－4＝－2，∴a＝.
6．已知在(2x－1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为(　　)
A．28 B．28－1
C．27 D．27－1
答案　B
解析　设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则A＝a1＋a3＋a5＋…，
B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….
由已知得，B－A＝38，
令x＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，
即B－A＝(－3)n，
∴(－3)n＝38＝(－3)8，
∴n＝8，
由二项式系数性质可得C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1.
7．(多选)(2022·邯郸模拟)已知n的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是(　　)
A．2，n,10成等差数列
B．各项系数之和为64
C．展开式中二项式系数最大的项是第3项
D．展开式中第5项为常数项
答案　ABD
解析　由n的二项式系数之和为2n＝64，
得n＝6，得2,6,10成等差数列，A正确；
令x＝1，6＝26＝64，
则6的各项系数之和为64，B正确；
6的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；
6的展开式中的第5项为C(5x)24＝15×25×81为常数项，D正确．
8．(多选)(2022·烟台模拟)已知(2－x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列选项正确的是(　　)
A．a3＝－360
B．(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝1
C．a1＋a2＋…＋a6＝(2－)6
D．展开式中系数最大的为a2
答案　BD
解析　(2－x)6的展开式通项为
Tk＋1＝C·26－k·(－x)k＝C·(－)k·26－k·xk，
对于A，令k＝3，
则a3＝C×23×(－)3＝－480，
A错误；
对于B，令x＝1，
则a0＋a1＋…＋a6＝(2－)6；
令x＝－1，
则a0－a1＋a2－…＋a6＝(2＋)6，
∴(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a6)(a0－a1＋a2－…＋a6)
＝[(2－)×(2＋)]6＝1，B正确；
对于C，令x＝0，得a0＝26，
∴a1＋a2＋…＋a6＝(2－)6－26，C错误；
对于D，
∵a0，a2，a4，a6为正数，a1，a3，a5为负数，
又a0＝26＝64，a2＝C×24×3＝720，
a4＝C×22×32＝540，
a6＝33＝27，
∴展开式中系数最大的为a2，D正确．
9．(2021·天津)在6的展开式中，x6的系数是________．
答案　160
解析　6的展开式的通项为
Tk＋1＝C(2x3)6－k·k＝26－kC·x18－4k，
令18－4k＝6，解得k＝3，
所以x6的系数是23C＝160.
10．(2022·济宁模拟)已知n的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是________．
答案　84
解析　依题意，2n＝128，解得n＝7，
7的展开式的通项为
Tk＋1＝Cx7－k·k
＝(－2)kCx7－2k(k∈N，k≤7)，
由7－2k＝3得k＝2，所以所求展开式中x3项的系数是(－2)2C＝4×＝84.
11．(2022·温州模拟)若n的展开式中共有7项，则常数项为________(用数字作答)．
答案　240
解析　因为n的展开式中共有7项，
所以n＋1＝7，可得n＝6，
所以6展开式的通项为
Tk＋1＝＝
令6－k＝0，可得k＝4，
所以常数项为C24＝15×16＝240.
12．(2021·浙江)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________，a2＋a3＋a4＝________.
答案　5　10
解析　(x－1)3展开式的通项Tr＋1＝Cx3－r·(－1)r，(x＋1)4展开式的通项Tk＋1＝Cx4－k，则a1＝C＋C＝1＋4＝5；a2＝C(－1)1＋C＝3；a3＝C(－1)2＋C＝7；a4＝C(－1)3＋C＝0.所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
13．已知n为正整数，若1.1510∈[n，n＋1)，则n的值为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　C
解析　因为1.155＝5
＝C·0＋C·1＋C·2＋C·3＋C·4＋C·5
＝1＋＋＋＋3
＝2＋＋×3，
而2<2＋＋×3<2＋＋
<2＋＋＝2＋<2.1，
所以2<1.155<2.1，
因此4<1.1510<4.41，
又n为正整数，1.1510∈[n，n＋1)，所以n＝4.
14．(2022·浙江Z20名校联盟联考)设(x－1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝________，2a2＋3a3＋4a4＝________.
答案　－4　31
解析　因为x·C·23·x0－C·22·x1＝－4x，
所以a1＝－4，
对所给等式，两边对x求导，可得
(2＋x)3＋3(x－1)(2＋x)2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3，
令x＝1，得27＝a1＋2a2＋3a3＋4a4，
所以2a2＋3a3＋4a4＝31.
15．已知Sn是数列{an}的前n项和，若(1－2x)2 022＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b2 022x2 022，数列{an}的首项a1＝＋＋…＋，an＋1＝Sn·Sn＋1，则S2 022等于(　　)
A．－ B.
C．2 022 D．－2 022
答案　A
解析　令x＝，得
2 022＝b0＋＋＋…＋＝0.
又因为b0＝1，
所以a1＝＋＋…＋＝－1.
由an＋1＝SnSn＋1＝Sn＋1－Sn，
得＝－＝1，
所以－＝－1，
所以数列是首项为＝－1，公差为－1的等差数列，
所以＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，
所以Sn＝－，
所以S2 022＝－.
16．(多选)(2022·南京模拟)已知n∈N*，n≥2，p，q>0，p＋q＝1，设f(k)＝Cpkq2n－k，其中k∈N，k≤2n，则(　　)
A.(k)＝1 B.f(k)＝2npq
C．若np＝4，则f(k)≤f(8) D.(2k)<<(2k－1)
答案　AC
解析　(k)＝pkq2n－k＝(q＋p)2n＝1，
A正确；
kC＝
＝2n×
＝2nC，
所以f(k)＝Cpkq2n－k
＝nCpkq2n－k
＝2npqpk－1q2n－1－k
＝2nppkq2n－1－k
＝2np(q＋p)2n－1
＝2np≠2npq(除非p＝0)，B错；
设f(m)是f(k)中最大项，
即
注意到＝
＝，
＝，
又np＝4，
不等式组可解为8－q≤m≤8＋p，
所以m＝8，所以f(k)≤f(8)，C正确；
例如n＝2时，p＝，q＝，
(2k)＝4＋622＋4＝，
(2k－1)＝，D错误．

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