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§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式
考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用．
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan α
口诀 奇变偶不变，符号看象限
常用结论
同角三角函数的基本关系式的常见变形
sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；
cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　×　)
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　×　)
(4)若sin＝，则cos α＝－.(　√　)
教材改编题
1．已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α的值为 ．
答案　－
解析　∵sin α＝，α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－.
2．已知＝－5，那么tan α的值为 ．
答案　－
解析　由＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，
可得＝－5，解得tan α＝－.
3．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为 ．
答案　－sin2α
解析　原式＝·(－sin α)·cos α
＝－sin2α.
题型一　同角三角函数基本关系
例1　(1)已知cos α＝－，则13sin α＋5tan α＝ .
答案　0
解析　∵cos α＝－<0且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．
①若α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝＝－.
此时13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
②若α是第三象限角，
则sin α＝－＝－
＝－，
∴tan α＝＝＝，
此时，13sin α＋5tan α＝13×＋5×＝0.
综上，13sin α＋5tan α＝0.
(2)已知tan α＝，则＝ ；sin2α＋sin αcos α＋2＝ .
答案　－　
解析　已知tan α＝，
所以＝＝－.
sin2α＋sin αcos α＋2
＝＋2
＝＋2
＝＋2＝.
(3)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则tan θ＝ .
答案　－
解析　由sin θ＋cos θ＝，得sin θcos θ＝－，
因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝＝，
联立解得
所以tan θ＝－.
教师备选
1．(2022·锦州联考)已知＝5，则cos2α＋sin 2α等于(　　)
A. B．－
C．－3 D．3
答案　A
解析　由＝5，得＝5，
可得tan α＝2，
则cos2α＋sin 2α＝cos2α＋sin αcos α
＝＝
＝.
2．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝，则sin α－cos α的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　C
解析　由诱导公式得
sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝，
所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
则2sin αcos α＝－<0，
因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以cos α<0，所以sin α－cos α>0，
因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝，
所以sin α－cos α＝.
思维升华　(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
跟踪训练1　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　C
解析　方法一　因为tan θ＝－2，
所以角θ的终边在第二或第四象限，
所以或
所以＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)
＝sin2θ＋sin θcos θ
＝－＝.
方法二　(弦化切法)因为tan θ＝－2，
所以
＝
＝sin θ(sin θ＋cos θ)
＝
＝＝＝.
(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－，则sin α＋cos α的值为 ．
答案　－
解析　由tan α＝－，得sin α＝－cos α，
将其代入sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，
所以cos2α＝，易知cos α<0，
所以cos α＝－，sin α＝，
故sin α＋cos α＝－.
题型二　诱导公式
例2　(1)已知sin＝，则cos的值为(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　D
解析　cos＝cos
＝－sin＝－.
延伸探究　本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sin＝，则tan＝ .
答案　
解析　∵θ是第二象限角，且sin＝，
∴θ＋为第二象限角，
∴cos＝－，
∴tan＝
＝
＝
＝＝.
(2)的值为(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案　B
解析　原式＝
＝
＝－·＝－1.
教师备选
1．已知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P，且角α的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　B
解析　易知函数f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，
故tan α＝，则
＝
＝
＝－
＝－＝－.
2．若sin x＝3sin，则cos x·cos等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　A
解析　易知sin x＝3sin＝－3cos x，
所以tan x＝－3，
所以cos xcos
＝－sin xcos x＝
＝＝.
思维升华　(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
(2)诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数0～2π内的角的三角函数锐角三角函数．
跟踪训练2　(1)已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝ .
答案　0
解析　因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，
(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，
所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]
＝－cos(75°＋α)＝－，
sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]
＝cos(75°＋α)＝.
所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＋＝0.
(2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则＝ .
答案　3
解析　由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，
＝
＝
＝
＝＝3.
题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
例3　已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值；
(3)若cos＝，α∈，求f(α)的值．
解　(1)f(α)＝
＝
＝－cos α.
(2)若α＝－，
则f(α)＝－cos＝－cos ＝－.
(3)由cos＝，
可得sin α＝－，
因为α∈，
所以cos α＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
教师备选
设f(α)＝(1＋2sin α≠0)．
(1)化简f(α)；
(2)若α＝－，求f(α)的值．
解　(1)f(α)＝
＝
＝
＝＝.
(2)当α＝－时，
f(α)＝f ＝
＝
＝
＝＝.
思维升华　(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．
(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．
跟踪训练3　(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由已知得
消去sin β，得tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入sin2α＋cos2α＝1，
化简得sin2α＝，则sin α＝(α为锐角)．
(2)已知－π答案　－
解析　由已知，得sin x＋cos x＝，
两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝，
整理得2sin xcos x＝－.
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
由－π又sin xcos x＝－<0，
∴cos x>0，∴sin x－cos x<0，
故sin x－cos x＝－.
∴＝
＝
＝＝－.
课时精练
1．cos等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　C
解析　cos＝cos
＝cos＝cos ＝.
2．若cos 165°＝a，则tan 195°等于(　　)
A. B.
C．－ D．－
答案　C
解析　若cos 165°＝a，
则cos 15°＝cos(180°－165°)
＝－cos 165°＝－a，
sin 15°＝，
所以tan 195°＝tan(180°＋15°)
＝tan 15°＝
＝－.
3．若cos＝，则sin等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　D
解析　因为－α＋＝，
所以－α＝－，
所以sin＝cos＝.
4．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－，则tan α＋等于(　　)
A．2 B. C．－2 D．－
答案　A
解析　由已知得1＋2sin αcos α＝2，
∴sin αcos α＝，
∴tan α＋＝＋
＝＝＝2.
5．(多选)在△ABC中，下列结论正确的是(　　)
A．sin(A＋B)＝sin C
B．sin ＝cos
C．tan(A＋B)＝－tan C
D．cos(A＋B)＝cos C
答案　ABC
解析　在△ABC中，有A＋B＋C＝π，
则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确．
sin ＝sin＝cos ，B正确．
tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，
C正确．
cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误．
6．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝，则(　　)
A.<α<π
B．sin αcos α＝－
C．cos α－sin α＝
D．cos α－sin α＝－
答案　ABD
解析　∵sin α＋cos α＝，
等式两边平方得
(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
解得sin αcos α＝－，故B正确；
∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－<0，
∴α∈，故A正确；
cos α－sin α<0，
且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α
＝1－2×＝，
解得cos α－sin α＝－，故D正确．
7．cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°＝ .
答案　0
解析　因为cos(180°－α)＝－cos α，于是得
cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°＋cos 91°＋…＋cos 177°＋cos 178°＋cos 179°
＝cos 1°＋cos 2°＋cos 3°＋…＋cos 89°＋cos 90°－cos 89°－…－cos 3°－cos 2°－cos 1°
＝cos 90°＝0.
8．设f(θ)＝，则f ＝ .
答案　－
解析　∵f(θ)＝
＝，
又cos ＝cos
＝cos ＝，
∴f ＝＝－.
9．(1)已知cos α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，求的值；
(2)已知sin x＋cos x＝－(0解　(1)因为方程3x2－x－2＝0的根为x1＝1，x2＝－，
又α是第三象限角，所以cos α＝－，
所以sin α＝－，tan α＝.
所以原式＝＝tan2α＝.
(2)∵sin x＋cos x＝－(0∴cos x<0，sin x>0，即sin x－cos x>0，
把sin x＋cos x＝－，
两边平方得1＋2sin xcos x＝，
即2sin xcos x＝－，
∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝，
即sin x－cos x＝，
联立
解得sin x＝，cos x＝－，
∴cos x－2sin x＝－.
10．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)．
(1)求的值；
(2)若α是第二象限角，求sin2＋sin(π－α)cos α－cos的值．
解　(1)∵m≠0，∴cos α≠0，
即
＝
＝.
又∵角α的终边经过点P(3m，－6m)(m≠0)，
∴tan α＝＝－2，
故
＝
＝＝－.
(2)∵α是第二象限角，∴m<0，
则sin α＝
＝
＝，
cos α＝
＝
＝－，
∴sin2＋sin(π－α)cos α－cos
＝cos2α＋sin αcos α＋sin α
＝2＋×＋
＝.
11．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式＋(k∈Z)的取值可能为(　　)
A．－2 B．－1或1
C．2 D．－2或2或0
答案　AC
解析　当k为奇数时，原式＝＋＝(－1)＋(－1)＝－2；
当k为偶数时，原式＝＋＝1＋1＝2.
∴原表达式的取值可能为－2或2.
12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，则等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方程5x2－7x－6＝0的两根为
x1＝－，x2＝2，则sin α＝－.
原式＝＝－＝.
13．曲线y＝ex＋x2－x在x＝0处的切线的倾斜角为α，则sin＝ .
答案　
解析　由题意得y′＝f′(x)＝ex＋2x－，
所以f′(0)＝e0－＝，
所以tan α＝，
所以α∈，
所以cos α＝，
所以sin
＝cos 2α＝2cos2α－1＝2×－1＝.
14．函数y＝loga(x－3)＋2(a>0且a≠1)的图象过定点Q，且角α的终边也过点Q，则3sin2α＋2sin αcos α＝ .
答案　
解析　由题意可知点Q(4,2)，所以tan α＝，
所以3sin2α＋2sin αcos α
＝
＝
＝
＝.
15．(多选)已知f(α)＝，则下列说法正确的是(　　)
A．f(α)的最小值为－
B．f(α)的最小值为－1
C．f(α)的最大值为－1
D．f(α)的最大值为1－
答案　BD
解析　设t＝sin α＋cos α＝sin，
由0≤α≤，
得≤α＋≤，
则1≤t≤，
又由(sin α＋cos α)2＝t2，
得2sin αcos α＝t2－1，
所以f(α)＝g(t)＝＝t－1－，
又因为函数y＝t－1和y＝－在[1，]上单调递增，
所以g(t)＝t－1－在[1，]上单调递增，
g(t)min＝g(1)＝－1，
g(t)max＝g()＝1－.
16．已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：
(1)＋的值；
(2)m的值；
(3)方程的两根及此时θ的值．
解　(1)原式＝＋
＝＋
＝
＝sin θ＋cos θ.
由已知得sin θ＋cos θ＝，
所以＋＝.
(2)由已知得sin θcos θ＝，
因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，
所以1＋m＝2，
解得m＝.
(3)联立
解得
或
因为θ∈(0,2π)，所以θ＝或.

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