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§4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念
考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
知识梳理
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
3.任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，
则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　×　)
(2)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是.(　×　)
(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(　×　)
(4)若sin α>0，则α的终边落在第一或第二象限．(　×　)
教材改编题
1．若sin α<0，且tan α>0，则α是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　C
2．已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
答案　12π
解析　∵α＝30°＝，l＝αr，∴r＝＝12，
∴扇形面积S＝lr＝×2π×12＝12π.
3．若角α的终边过点(1，－3)，则sin α＝________，cos α＝________.
答案　－　
题型一　角及其表示
例1　(1)(多选)下列命题正确的是(　　)
A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}
B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}
C．第三象限角的集合为
D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315°
答案　AD
解析　B项，终边落在y轴上的角的集合为，角度与弧度不能混用，故错误；
C项，第三象限角的集合为，故错误；
D项，所有与45°角终边相同的角可表示为β＝45°＋k·360°，k∈Z，
令－720°≤45°＋k·360°≤0°(k∈Z)，
解得－≤k≤－(k∈Z)，
从而当k＝－2时，β＝－675°；
当k＝－1时，β＝－315°，故正确．
(2)已知α为第三象限角，则是第______象限角，2α是________的角．
答案　二、四　第一、二象限或y轴的非负半轴上
解析　∵α是第三象限角，
即2kπ＋π<α<2kπ＋π，k∈Z，
∴kπ＋<4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，k∈Z.
当k为偶数时，为第二象限角；当k为奇数时，为第四象限角，而2α的终边落在第一、二象限或y轴的非负半轴上．
教师备选
1．角－2 023°是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　B
解析　∵－2 023°＝－6×360°＋137°，
∴它是第二象限角．
2．若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
思维升华　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法
先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置．
跟踪训练1　(1)下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)
A．2kπ＋45°(k∈Z)
B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z)
D．kπ＋(k∈Z)
答案　C
解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，排除A，B，易知D错误，C正确．
(2)集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)
答案　C
解析　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C.
题型二　弧度制及其应用
例2　一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，求该扇形的面积．
解　由已知得α＝，R＝10 cm，
∴S扇形＝α·R2＝··102＝(cm2)．
延伸探究
1．若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．
解　l＝α·R＝×10＝(cm)，
S弓形＝S扇形－S三角形＝－·R2·sin
＝－×102×＝(cm2)．
2．若将本例已知条件改为：“扇形周长为20 cm”，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
解　由已知得，l＋2R＝20，
则l＝20－2R(0所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2
＝－(R－5)2＋25，
所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l＝10 cm，α＝2 rad.
教师备选
1．若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于(　　)
A.π cm B.π cm
C．4 cm D．8 cm
答案　B
解析　设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝，得r＝4 cm，
∴l＝|α|·r＝×4＝π(cm)．
2．已知扇形的面积是4 cm2，当扇形周长最小时，扇形的圆心角的弧度数为________．
答案　2
解析　设此扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，
则扇形的面积S＝lr＝4，
所以l＝，设扇形的周长为L，
则L＝2r＋l＝2r＋，r∈(0，＋∞)．
方法一　由基本不等式得2r＋≥2＝8，当且仅当2r＝，即r＝2时，等号成立，扇形的周长取得最小值8，此时l＝＝4，
故α＝＝＝2.
方法二　由L′＝2－＝＝0，得r＝2，
所以当r∈(0,2)时，L′<0，L＝2r＋单调递减；
当r∈(2，＋∞)时，L′>0，L＝2r＋单调递增，所以当r＝2时，扇形的周长取得最小值．此时l＝＝4，故扇形的圆心角α＝＝＝2.
思维升华　应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
跟踪训练2　(1)(2022·莆田模拟)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米．“弓”所在圆的半径约为1.25米．则掷铁饼者双手之间的距离约为(参考数据：≈1.414，≈1.73)(　　)
A．1.612米 B．1.768米
C．1.868米 D．2.045米
答案　B
解析　由题意得，“弓”所在的弧长为
l＝＋＋＝，R＝1.25＝，
∴其所对的圆心角α＝＝＝，
∴两手之间的距离d＝＝×1.25≈1.768.
(2)一个扇形的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，则圆心角为________弧度，弧长为________ cm.
答案　2　2
解析　设扇形的圆心角为α，半径为r.
则由题意得
解得
所以弧长l＝αr＝2，
所以扇形的圆心角为2弧度，弧长为2 cm.
题型三　三角函数的概念
例3　(1)若sin θ·cos θ<0，>0，则角θ是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　D
解析　由>0，得>0，
所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，
所以sin θ<0，所以θ为第四象限角．
(2)已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝________.
答案　±
解析　由题意可知，α终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α终边上任取一点(1,2)，
∴sin α＝＝，若在第三象限，可在α终边上任取一点(－1，－2)，
∴sin α＝＝－.
(3)已知α的终边过点(x,4)，且cos α＝－，则tan α＝________.
答案　－
解析　∵α的终边过点(x,4)，且cos α＝－，
∴x<0.
∵cos α＝＝－，
∴x＝－3，
∴tan α＝－.
(4)(2021·北京)若点P(cos θ，sin θ)与点Q关于y轴对称，写出一个符合题意的θ＝________.
答案　
解析　∵P(cos θ，sin θ)与
Q
关于y轴对称，
即θ，θ＋关于y轴对称，
θ＋＋θ＝π＋2kπ，k∈Z，
则θ＝kπ＋，k∈Z，
当k＝0时，可取θ的一个值为.
教师备选
已知角α的终边与单位圆的交点为P，则sin α·tan α等于(　　)
A．－ B．± C．－ D．±
答案　C
解析　设O为坐标原点，
由|OP|2＝＋y2＝1，得y2＝，y＝±.
方法一　当y＝时，sin α＝，tan α＝－，
此时，sin α·tan α＝－.
当y＝－时，sin α＝－，tan α＝，
此时，sin α·tan α＝－.
所以sin α·tan α＝－.
方法二　由三角函数定义知，
cos α＝－，sin α＝y，
所以sin α·tan α＝sin α·＝
＝＝＝－.
思维升华　(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置．
(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
跟踪训练3　(1)已知θ是第三象限角，满足＝－sin ，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案　D
解析　∵θ是第三象限角，
∴π＋2kπ<θ<＋2kπ，k∈Z，
则＋kπ<<＋kπ，k∈Z，
即为第二或第四象限角，
又＝－sin ，
∴为第四象限角．
(2)已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________.
答案　－　±
解析　由sin α＝＝，
解得m＝±，
∴r＝＝2，
当m＝时，cos α＝＝－，
tan α＝－；
当m＝－时，cos α＝＝－，
tan α＝.
课时精练
1．若α是第四象限角，则π＋α是第________象限角(　　)
A．一 B．二 C．三 D．四
答案　B
解析　＋2kπ<π＋α<π＋2kπ，
故π＋α是第二象限角．
2．(2022·上海横峰中学月考)终边为第一象限和第三象限的平分线的角的集合是(　　)
A．{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}
C．{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}
答案　B
解析　终边为第一象限的平分线的角的集合是
{α|α＝45°＋k·360°，k∈Z}，①
终边为第三象限的平分线的角的集合是
{α|α＝－135°＋k·360°，k∈Z}，②
由①②得{α|α＝－135°＋k·180°，k∈Z}．
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是(　　)
A．2 B.
C．2sin 1 D．sin 2
答案　B
解析　如图，取AB的中点C，连接OC，
则OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC＝1 rad，
在△AOC中，sin 1＝，
∴r＝，
∴所求弧长为αr＝.
4．(2022·扬州中学月考)若α＝－5，则(　　)
A．sin α>0，cos α>0
B．sin α>0，cos α<0
C．sin α<0，cos α>0
D．sin α<0，cos α<0
答案　A
解析　因为－2π<α＝－5<－π，
所以α＝－5为第一象限的角，
所以sin α>0，cos α>0.
5．(多选)下列说法正确的有(　　)
A．经过30分钟，钟表的分针转过π弧度
B．1°＝ rad
C．若sin θ>0，cos θ<0，则θ为第二象限角
D．若θ为第二象限角，则为第一或第三象限角
答案　CD
解析　对于A，经过30分钟，钟表的分针转过－π弧度，不是π弧度，故A错误；
对于B,1°化成弧度是 rad，故B错误；
对于C，由sin θ>0，可得θ为第一、第二象限及y轴正半轴上的角；
由cos θ<0，可得θ为第二、第三象限及x轴负半轴上的角．
取交集可得θ是第二象限角，故C正确；
对于D，若θ是第二象限角，
则2kπ＋<θ<2kπ＋π(k∈Z)，
则kπ＋<所以为第一或第三象限角，故D正确．
6．(多选)下面说法正确的有(　　)
A．角与角－π终边相同
B．终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}
C．若角α的终边在直线y＝－3x上，则cos α的取值为
D．67°30′化成弧度是
答案　AD
解析　角与角－π相差2π，终边相同，故A正确；
终边在直线y＝－x上的角α的取值集合可表示为{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}，故B错误；
若角α的终边在直线y＝－3x上，
则cos α的取值为±，故C错误；
67°30′化成弧度是，故D正确．
7．若角α的终边经过点P(3m，－4m)(m<0)，则sin α＋cos α＝________.
答案　
解析　由题意得
r＝|OP|＝＝5|m|＝－5m(O为坐标原点)，
则sin α＝＝＝，
cos α＝＝＝－，
故sin α＋cos α＝－＝.
8．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则扇形面积为________．
答案　3π
解析　∵120°＝，l＝αr，
∴r＝＝＝3，
∴S＝lr＝×2π×3＝3π.
9．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解　(1)由＝－，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，
解得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
10．已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求的终边所在的象限；
(3)试判断tan sin cos 的符号．
解　(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上，
由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，
其集合为.
(2)由(1)知2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，
故kπ＋<故的终边在第二、四象限．
(3)当在第二象限时，tan <0，
sin >0，cos <0，
所以tan sin cos >0，
当在第四象限时，tan <0，
sin <0，cos >0，
所以tan sin cos >0，
综上，tan sin cos 的符号为正．
11．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是(　　)
A．M∩N＝ B．M?N
C．N?M D．M＝N
答案　C
解析　M＝{α|α＝45°＋2k·45°，k∈Z}＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，
N＝{α|α＝2×45°＋k·45°，k∈Z}＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}，
∵2k＋1表示所有奇数，k＋2表示所有整数，
∴N?M.
12．已知角α(0≤α<2π)终边上一点的坐标为，则α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为sin ＝，cos ＝－，
所以角α(0≤α<2π)终边上一点的坐标为，
故角α的终边在第四象限，
且tan α＝－，又0≤α<2π，所以α＝.
13.(2022·佛山模拟)《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田(由圆弧和其所对弦所围成)面积的计算公式：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于圆弧的最高点到弦的距离．如图，弧田是由和其所对弦AB围成的图形，若弧田的长为，弧所在的圆的半径为4，则利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积与实际面积之差为__________．
答案　8＋2－
解析　设所对圆心角的弧度为α，
由题意可知α×4＝，
解得α＝.
故扇形AOB的面积为××4＝π，
△AOB的面积为×sin ×42＝4，故弧田实际的面积为－4.
作OD⊥AB分别交AB，于点D，C，
则AB＝4，OD＝2，CD＝2，
所以利用《九章算术》中的弧田面积公式计算出来的面积为×(4×2＋22)＝4＋2，
则所求差值为(4＋2)－
＝8＋2－.
14．已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右运动，Q沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，连接OP交圆O于点B(如图)，则阴影部分的面积S1，S2的大小关系是________．
答案　S1＝S2
解析　设点P，Q的运动速度为v，运动时间为t，圆O的半径为r，则＝AP＝tv，根据切线的性质知OA⊥AP，
∴S1＝tv·r－S扇形AOB，
S2＝tv·r－S扇形AOB，
∴S1＝S2.
15．若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin α·cos β<0，则cos α·sin β＝________.
答案　±
解析　由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝，又由sin α·cos β<0知，sin α<0，因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x<0，y<0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1，又由y＝x得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－，因为点在单位圆上，所以2＋m2＝1，
解得m＝±，所以sin β＝±，
所以cos α·sin β＝±.
16．在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中，用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？
解　因为△AOB是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形，
所以A＝B＝30°＝，AM＝BN＝1，AD＝2，
所以方案一中扇形的弧长＝2×＝；方案二中扇形的弧长＝1×＝；
方案一中扇形的面积＝×2×2×＝，方案二中扇形的面积＝×1×1×＝.
由此可见，两种方案中可利用废料的面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．

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