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§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考试要求　1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用．
知识梳理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β.
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)．
tan αtan β＝1－＝－1.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　√　)
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　×　)
(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　×　)
(4)sin α＋cos α＝sin.(　×　)
教材改编题
1．若cos α＝－，α是第三象限角，则sin等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　C
解析　∵α是第三象限角，
∴sin α＝－＝－，
∴sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝－×＋×＝－.
2．计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝ .
答案　
解析　原式＝sin(180°－72°)cos 42°－cos 72°sin 42°
＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°
＝sin(72°－42°)
＝sin 30°＝.
3．若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝ .
答案　
解析　tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝
＝＝.
题型一　两角和与差的三角函数公式
例1　(1)(2022·包头模拟)已知cos α＋cos＝1，则cos等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　∵cos α＋cos＝1，
∴cos α＋cos α＋sin α＝cos α＋sin α
＝
＝cos＝1，
∴cos＝.
(2)化简：①sin x＋cos x＝ .
答案　2sin
解析　sin x＋cos x＝2
＝2sin.
②sin＋cos＝ .
答案　sin
解析　原式＝
＝sin
＝sin.
教师备选
1．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为sin θ＋sin
＝sin＋sin
＝sincos －cossin ＋sincos ＋cossin
＝2sincos ＝sin＝1.
所以sin＝.
2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A．－ B. C. D．－
答案　A
解析　∵α∈，
∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan(π－β)＝，
∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝＝＝－.
思维升华　两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1　(1)函数y＝sin＋sin的最小值为(　　)
A. B．－2
C．－ D.
答案　C
解析　y＝sin＋sin
＝sin 2xcos ＋cos 2xsin ＋sin 2xcos －cos 2xsin ＝sin 2x.
∴y的最小值为－.
(2)已知cos＝cos α，tan β＝，则tan(α＋β)＝ .
答案　－
解析　因为cos＝cos α－sin α＝cos α，所以－sin α＝cos α，故tan α＝－，
所以tan(α＋β)＝＝
＝＝－.
题型二　两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
例2　(1)(多选)已知α，β，γ∈，sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则下列说法正确的是(　　)
A．cos(β－α)＝
B．cos(β－α)＝
C．β－α＝－
D．β－α＝
答案　AD
解析　由题意知，sin γ＝sin β－sin α，
cos γ＝cos α－cos β，
将两式分别平方后相加，
得1＝(sin β－sin α)2＋(cos α－cos β)2
＝2－2(sin βsin α＋cos βcos α)，
∴cos(β－α)＝，即选项A正确，B错误；
∵γ∈，
∴sin γ＝sin β－sin α>0，
∴β>α，而α，β∈，
∴0<β－α<，
∴β－α＝，
即选项D正确，C错误．
(2)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵C＝120°，∴tan C＝－.
∵A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝－tan C.
∴tan(A＋B)＝，
tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)，
又∵tan A＋tan B＝，
∴tan Atan B＝.
延伸探究　若将本例(2)的条件改为tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则C等于(　　)
A．45° B．135°
C．150° D．30°
答案　A
解析　在△ABC中，
因为tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
所以tan(A＋B)＝＝－1＝－tan C，
所以tan C＝1，所以C＝45°.
教师备选
1．若α＋β＝－，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝ .
答案　2
解析　tan＝tan(α＋β)＝＝1，所以1－tan αtan β＝tan α＋tan β，
所以1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，
即(1＋tan α)·(1＋tan β)＝2.
2．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝ .
答案　－
解析　∵sin α＋cos β＝1，①
cos α＋sin β＝0，②
∴①2＋②2得
1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，
∴sin αcos β＋cos αsin β＝－，
∴sin(α＋β)＝－.
思维升华　运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
跟踪训练2　(1)设a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b＝(sin 56°－cos 56°)，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
答案　D
解析　由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得
a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°
＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°
＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)
＝cos 77°＝sin 13°，
b＝(sin 56°－cos 56°)
＝sin 56°－cos 56°
＝sin(56°－45°)
＝sin 11°，
c＝
＝
＝cos239°－sin239°
＝cos 78°＝sin 12°.
因为函数y＝sin x在x∈上单调递增，
所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，
所以a>c>b.
(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .
答案　4
解析　(1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.
题型三　角的变换问题
例3　(1)已知α，β∈，若sin＝，cos＝，则sin(α－β)的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由题意可得α＋∈，
β－∈，
所以cos＝－，
sin＝－，
所以sin(α－β)＝－sin
＝－×＋×
＝.
(2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .
答案　－1　
解析　∵tan(α＋2β)＝2，
tan β＝－3，
∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)
＝
＝
＝－1.
tan α＝tan(α＋β－β)
＝＝.
教师备选
(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解　(1)因为tan α＝，
tan α＝，
所以sin α＝cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝，
所以tan 2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝
＝－.
思维升华　常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．
跟踪训练3　(1)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝ .
答案　
解析　因为α，β均为锐角，
所以－<α－β<.
又sin(α－β)＝－，
所以cos(α－β)＝.
又sin α＝，
所以cos α＝，
所以sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
所以β＝.
(2)已知0<α<<β<π，tan α＝，cos(β－α)＝，则sin α＝ ，cos β＝ .
答案　　－
解析　因为0<α<，且tan α＝，
所以sin α＝，cos α＝，
由0<α<<β<π，
则0<β－α<π，
又因为cos(β－α)＝，
则sin(β－α)＝，
所以cos β＝cos[(β－α)＋α]
＝cos(β－α)cos α－sin(β－α)sin α
＝×－×＝－.
课时精练
1．(2022·北京模拟)tan 105°等于(　　)
A．2－ B．－2－
C.－2 D．－
答案　B
解析　tan 105°＝tan(60°＋45°)
＝
＝
＝
＝＝－2－.
2．已知点P(x，2)是角α终边上一点，且cos α＝－，则cos等于(　　)
A．－ B.
C. D.
答案　A
解析　因为点P(x，2)是角α终边上一点，
则有cos α＝＝，
而cos α＝－，
于是得＝－，解得x＝－1，
则sin α＝＝，
因此，cos＝cos cos α－sin sin α
＝×－×
＝－，
所以cos＝－.
3.等于(　　)
A．1 B.
C. D.
答案　B
解析　
＝
＝
＝
＝.
4．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于(　　)
A. B.或
C. D．2kπ＋(k∈Z)
答案　C
解析　由sin α＝，cos β＝，
且α，β为锐角，
可知cos α＝，sin β＝，
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×
＝，
又0<α＋β<π，故α＋β＝.
5．(多选)下列四个选项中，化简正确的是(　　)
A．cos(－15°)＝
B．cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°＝cos(15°－105°)＝0
C．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos 60°＝
D．sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°＝
答案　BCD
解析　对于A，方法一　原式＝cos(30°－45°)＝cos 30°·cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝.
方法二　原式＝cos 15°＝cos(45°－30°)
＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°
＝×＋×＝，A错误．
对于B，原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos 90°＝0，B正确．
对于C，原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]
＝cos(－60°)＝cos 60°＝，C正确．
对于D，原式＝cos 76°cos 16°＋sin 76°sin 16°＝cos(76°－16°)＝cos 60°＝，D正确．
6．(多选)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　)
A．sin 2α＝ B．cos(α－β)＝
C．cos αcos β＝ D．tan αtan β＝
答案　AC
解析　因为cos(α＋β)＝－，
cos 2α＝－，其中α，β为锐角，
所以sin 2α＝＝，故A正确；
因为sin(α＋β)＝，
所以cos(α－β)＝cos [2α－(α＋β)]
＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)
＝×＋×＝，
故B错误；
cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]
＝＝，
故C正确；
sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]
＝＝，
所以tan αtan β＝，故D错误．
7．化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝ .
答案　sin(α＋γ)
解析　sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)
＝sin(α＋β)cos(β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)
＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ)．
8．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝ .
答案　－
解析　因为α，β∈，
所以<α＋β<2π，
<β－<，
因为sin(α＋β)＝－，
sin＝，
所以cos(α＋β)＝，
cos＝－，
所以cos
＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×
＝－.
9．已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值．
解　∵0＜β＜＜α＜π，
∴－＜－β＜，
＜α－＜π，
∴cos＝＝，
sin＝＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×
＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
10．已知α，β均为锐角，且sin α＝，tan(α－β)＝－.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)求cos β的值．
解　(1)∵α，β∈，∴－＜α－β＜.
又∵tan(α－β)＝－＜0，
∴－＜α－β＜0.
∴sin(α－β)＝－.
(2)由(1)可得，cos(α－β)＝.
∵α为锐角，且sin α＝，∴cos α＝.
∴cos β＝cos [α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
11．已知cos＝2cos(π－α)，则tan等于(　　)
A．－3 B.
C．－ D．3
答案　C
解析　由cos＝2cos(π－α)得
sin α＝－2cos α，即tan α＝－2，
∴tan＝
＝＝－.
12．(多选)下列结论正确的是(　　)
A．sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝－cos(α－γ)
B．3sin x＋3cos x＝3sin
C．f(x)＝sin ＋cos 的最大值为2
D．tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°＝1
答案　AD
解析　对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)·sin(β－γ)]
＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，
故A正确；
对于B，
3sin x＋3cos x＝6
＝6sin，故B错误；
对于C，f(x)＝sin ＋cos ＝sin，
所以f(x)的最大值为，故C错误；
对于D，tan 12°＋tan 33°＋tan 12°tan 33°
＝tan(12°＋33°)·(1－tan 12°tan 33°)＋tan 12°tan 33°＝1，故D正确．
13．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈，则α＋β＝ .
答案　－
解析　依题意有
所以tan(α＋β)＝
＝＝1.
又
所以tan α<0且tan β<0，
所以－<α<0且－<β<0，
即－π<α＋β<0，结合tan(α＋β)＝1，
得α＋β＝－.
14．(2022·阜阳模拟)设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．
答案　[－1，1]
解析　由sin αcos β－cos αsin β＝1，
得sin(α－β)＝1，
又α，β∈[0，π]，
∴－π≤α－β≤π，
∴α－β＝，
∴
即≤α≤π，
∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)
＝sin＋sin(α－2α＋π)
＝cos α＋sin α
＝sin.
∵≤α≤π，
∴≤α＋≤，
∴－1≤sin≤1，即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1，1]．
15．(2022·河北五校联考)已知x，y∈，sin(x＋y)＝2sin(x－y)，则x－y的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由sin(x＋y)＝2sin(x－y)得
sin xcos y＋cos xsin y
＝2sin xcos y－2cos xsin y，
则tan x＝3tan y，
所以tan(x－y)＝
＝＝≤，
当且仅当tan y＝时等号成立，
由于f(x)＝tan x在x∈上单调递增，
又x，y∈，
则x－y的最大值为.
16.如图，在平面直角坐标系Oxy中，顶点在坐标原点，以x轴非负半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆O分别交于A，B两点，x轴的非负半轴与单位圆O交于点M，已知S△OAM＝，点B的纵坐标是.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)求2α－β的值．
解　(1)由题意知，|OA|＝|OM|＝1，
因为S△OAM＝|OA|·|OM|sin α＝，
所以sin α＝，
又α为锐角，所以cos α＝.
因为点B是钝角β的终边与单位圆O的交点，且点B的纵坐标是，
所以sin β＝，cos β＝－，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝－.
(2)因为sin α＝，cos α＝，
cos(α－β)＝－，
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝×－×＝－，
所以sin(2α－β)＝sin[α＋(α－β)]＝sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)＝－，
因为α为锐角，
sin α＝>，
所以α∈，所以2α∈，
又β∈，
所以2α－β∈，
所以2α－β＝－.

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