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§4.4　简单的三角恒等变换
考试要求　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．
知识梳理
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2，1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)tan ＝＝.(　√　)
(2)设<θ<3π，且|cos θ|＝，那么sin 的值为.(　×　)
(3)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的．(　√　)
(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(　√　)
教材改编题
1．sin 15°cos 15°等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
答案　B
解析　sin 15°cos 15°＝sin 30°＝.
2．化简的结果是(　　)
A．sin 2 B．－cos 2
C.cos 2 D．－cos 2
答案　D
解析　因为＝，
又cos 2<0，所以可得选项D正确．
3．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tan α等于(　　)
A．－ B．2
C．－ D．－
答案　D
解析　由tan(π＋2α)＝－，
得tan 2α＝－，
又tan 2α＝＝－，
解得tan α＝－或tan α＝2，
又α是第二象限角，所以tan α＝－.
题型一　三角函数式的化简
例1　(1)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　方法一　因为tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
方法二　因为tan 2α＝＝＝＝，且tan 2α＝，所以＝，
解得sin α＝.因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
(2)化简：＝ .
答案　cos 2x
解析　原式＝
＝
＝
＝cos 2x.
教师备选
1．(2020·全国Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α等于(　　)
A.　 B. C. D.
答案　A
解析　由3cos 2α－8cos α＝5，
得3(2cos2α－1)－8cos α＝5，
即3cos2α－4cos α－4＝0，
解得cos α＝－或cos α＝2(舍去)．
又因为α∈(0，π)，所以sin α>0，
所以sin α＝＝＝.
2．已知0<θ<π，则＝ .
答案　－cos θ
解析　原式＝
＝cos ·
＝.
因为0<θ<π，
所以0<<，所以cos >0，
所以原式＝－cos θ.
思维升华　(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
跟踪训练1　(1)2＋等于(　　)
A．2cos 2 B．2sin 2
C．4sin 2＋2cos 2 D．2sin 2＋4cos 2
答案　B
解析　2＋
＝2＋
＝2＋
＝2|sin 2＋cos 2|＋2|cos 2|.
∵<2<π，
∴cos 2<0，
∵sin 2＋cos 2＝sin，0<2＋<π，
∴sin 2＋cos 2>0，
∴原式＝2(sin 2＋cos 2)－2cos 2＝2sin 2.
(2)化简等于(　　)
A. B.
C. D．2
答案　B
解析　原式＝
＝
＝＝＝.
题型二　三角函数式的求值
命题点1　给角求值
例2　(1)sin 40°(tan 10°－)等于(　　)
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案　D
解析　sin 40°·(tan 10°－)
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝sin 40°·
＝
＝＝－1.
(2)cos 20°·cos 40°·cos 100°＝ .
答案　－
解析　cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－
＝－
＝－＝－.
命题点2　给值求值
例3　(1)若cos＝，则cos等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　C
解析　∵cos＝.
∴cos＝sin
＝sin＝，
∴cos＝1－2sin2
＝1－＝.
(2)(2022·长春质检)已知sin＋cos α＝，则sin等于(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　D
解析　∵sin＋cos α＝，
∴sin αcos －cos αsin ＋cos α＝，
∴sin α－cos α＋cos α＝，
∴sin α＋cos α＝，
∴cos＝，
∴sin＝sin
＝cos 2
＝2cos2－1
＝2×2－1
＝－.
命题点3　给值求角
例4　已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝ ，2α－β＝ .
答案　　
解析　因为cos α＝，
所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又因为α，β均为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<，
又β为锐角，所以－<2α－β<，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
教师备选
1.的值为(　　)
A．1 B. C. D．2
答案　C
解析　原式＝
＝
＝＝.
2．已知A，B均为钝角，且sin2＋cos＝，sin B＝，则A＋B等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为sin2＋cos＝，
所以＋cos A－sin A＝，
即－sin A＝，
解得sin A＝，
因为A为钝角，
所以cos A＝－＝－
＝－.
由sin B＝，且B为钝角，
得cos B＝－＝－
＝－.
所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B
＝×－×＝.
又A，B都为钝角，即A，B∈，
所以A＋B∈(π，2π)，
所以A＋B＝.
3．已知cos＝，θ∈，则sin＝ .
答案　
解析　由题意可得
cos2＝＝，
cos＝－sin 2θ＝－，
即sin 2θ＝.
因为cos＝>0，θ∈，
所以0<θ<，2θ∈，
根据同角三角函数基本关系式，
可得cos 2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得
sin＝sin 2θcos －cos 2θsin
＝×－×＝.
思维升华　(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值(角)求值问题的一般步骤
①化简条件式子或待求式子；
②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；
③将已知条件代入所求式子，化简求值．
跟踪训练2　(1)(2019·全国Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.
因为α∈，所以cos α＝，
所以2sin α＝1－sin2α，
解得sin α＝.
(2)(2021·全国乙卷)cos2－cos2等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为cos ＝sin＝sin ，
所以cos2－cos2＝cos2－sin2
＝cos＝cos ＝.
(3)已知sin2＝，则sin 2x＝ .
答案　－
解析　∵sin2＝
＝＝，
∴sin 2x＝－.
题型三　三角恒等变换的综合应用
例5　(2022·河南中原名校联考)已知函数f(x)＝4cos xcos－.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α∈，且f(α)＝，求cos 2α.
解　(1)f(x)＝4cos xcos－
＝4cos x－
＝2cos2x－2sin xcos x－
＝(1＋cos 2x)－sin 2x－
＝cos 2x－sin 2x
＝2cos，
令2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由于α∈，
且f(α)＝，
而f(α)＝2cos＝，
所以cos＝，
因为0≤α≤，
所以≤2α＋≤，
则≤2α＋≤，
所以sin＝，
则cos 2α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝×＋×
＝.
教师备选
已知函数f(x)＝sin＋cos.
(1)求函数f(x)在区间上的最值；
(2)若cos θ＝，θ∈，求f 的值．
解　(1)由题意得
f(x)＝sin＋cos
＝×
＝－sin.
因为x∈，
所以x－∈，
所以sin∈，
所以－sin∈，
即函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
(2)因为cos θ＝，θ∈，
所以sin θ＝－，
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，
cos 2θ＝cos2θ－sin2θ
＝－＝，
所以f ＝－sin
＝－sin
＝－(sin 2θ－cos 2θ)
＝(cos 2θ－sin 2θ)
＝×
＝.
思维升华　(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
(2)形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．
跟踪训练3　(2022·云南曲靖一中质检)已知向量a＝，b＝，函数f(x)＝a·b.
(1)求函数f(x)的最大值，并指出f(x)取得最大值时x的取值集合；
(2)若α，β为锐角，cos(α＋β)＝，f(β)＝，求f 的值．
解　(1)f(x)＝cos2－sin2＋2sin cos
＝cos x＋sin x
＝2sin，
令x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
得x＝＋2kπ，k∈Z，
∴f(x)的最大值为2，此时x的取值集合为.
(2)由α，β为锐角，cos(α＋β)＝，
得sin(α＋β)＝，
∵0<β<，∴<β＋<，
又f(β)＝2sin＝，
∴sin＝∈，
∴<β＋<，∴cos＝，
∴cos＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝，
∴f ＝2sin
＝2sin
＝2cos＝.
课时精练
1．已知tan α＝3，则cos等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　C
解析　cos＝－sin 2α＝－2sin αcos α
＝
＝＝＝－.
2．(2022·安庆模拟)已知θ∈，tan θ＝，则cos 2θ等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　C
解析　cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－.
3．(2022·威海模拟)tan 67.5°－的值为(　　)
A．1 B. C．2 D．4
答案　C
解析　tan 67.5°－＝－＝－
＝＝＝2.
4．(2022·黑龙江大庆中学模拟)若cos(30°－α)－sin α＝，则sin(30°－2α)等于(　　)
A. B．－
C. D．－
答案　D
解析　由cos(30°－α)－sin α＝，
得cos α－sin α＝，
即cos(30°＋α)＝，
所以sin(30°－2α)＝cos(60°＋2α)
＝2cos2(30°＋α)－1＝2×－1
＝－.
5．(多选)已知f(x)＝(1＋cos 2x)sin2x(x∈R)，则下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期T＝
B．f(x)是偶函数
C．f(x)的最大值为
D．f(x)的最小正周期T＝π
答案　ABC
解析　∵f(x)＝(1＋cos 2x)(1－cos 2x)
＝(1－cos22x)
＝sin22x
＝(1－cos 4x)，
∴f(－x)＝[1－cos 4(－x)]
＝(1－cos 4x)＝f(x)，
T＝＝，
f(x)的最大值为×2＝，
故A，B，C正确，D错误．
6．(多选)下列各式中，值为的是(　　)
A．cos2－sin2
B.
C．2sin 195°cos 195°
D.
答案　BC
解析　cos2－sin2＝cos
＝cos ＝，
故A错误；
＝·
＝tan 45°＝，故B正确；
2sin 195°cos 195°＝2sin(180°＋15°)cos(180°＋15°)＝2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，
故C正确；
＝＝≠，
故D错误．
7．求值：＝ .
答案　8
解析　原式＝
＝
＝＝＝8.
8．若cos＝，则sin 2α＝ .
答案　－
解析　方法一　∵cos＝，
∴sin 2α＝cos
＝cos 2
＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
方法二　∵cos＝(sin α＋cos α)＝，
∴(1＋sin 2α)＝，
∴sin 2α＝2×－1＝－.
9．(2022·杭州模拟)已知函数f(x)＝2cos2x＋2sin x·cos x.
(1)求f 的值；
(2)若f ＝，α∈，求cos α的值．
解　(1)因为f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x
＝1＋cos 2x＋sin 2x
＝1＋2sin，
所以f ＝1＋2sin
＝1＋2sin ＝1＋1＝2.
(2)由f ＝，α∈，
得sin＝，
cos＝，
所以cos α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝.
10．如图，点P在以AB为直径的半圆上移动，且AB＝1，过点P作圆的切线PC，使PC＝1.连接BC，当点P在什么位置时，四边形ABCP的面积等于？
解　设∠PAB＝α，连接PB.
∵AB是圆的直径，∴∠APB＝90°.
又AB＝1，∴PA＝cos α，
PB＝sin α.
∵PC是圆的切线，∴∠BPC＝α.
又PC＝1，
∴S四边形ABCP＝S△APB＋S△BPC
＝PA·PB＋PB·PC·sin α
＝cos αsin α＋sin2α
＝sin 2α＋(1－cos 2α)
＝(sin 2α－cos 2α)＋
＝sin＋，
由已知，得sin＋＝，
∴sin＝，
又α∈，
∴2α－∈，
∴2α－＝，
∴α＝，故当点P位于AB的垂直平分线与半圆的交点时，四边形ABCP的面积等于.
11．(2022·昆明一中模拟)已知m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
答案　B
解析　因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，
所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°，
因此
＝
＝
＝
＝－.
12．(2022·杭州模拟)“－≤θ≤”是“cos2θ－sin 2θ≥”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由cos2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋≥，
得cos≥，
所以－＋kπ≤θ≤＋kπ(k∈Z)，
因此“－≤θ≤”是“cos2θ－sin 2θ≥”的充分不必要条件．
13．在平面直角坐标系Oxy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝，则cos的值是 ．
答案　－
解析　由任意角的三角函数的定义得，sin α＝b，
cos α＝a.
又a＋b＝，∴sin α＋cos α＝，
两边平方可得sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，
即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝.
∴cos＝－sin 2α＝－.
14．已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为 ．
答案　－
解析　∵tan α＝tan [(α－β)＋β]
＝
＝＝>0，
且α∈(0，π)，∴0<α<.
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<.
∵tan β＝－<0，β∈(0，π)，
∴<β<π，
∴－π<2α－β<0.
∵tan(2α－β)＝＝＝1，
∴2α－β＝－.
15．函数f(x)＝4cos2cos－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为 ．
答案　2
解析　因为f(x)＝2(1＋cos x)sin x－2sin x－|ln(x＋1)|
＝sin 2x－|ln(x＋1)|，x>－1，
所以函数f(x)的零点个数为函数y＝sin 2x(x>－1)与
y＝|ln(x＋1)|(x>－1)图象的交点的个数，作出两函数的图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
16.如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？
解　如图，连接OB，设∠AOB＝θ，
则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.
因为A，D关于原点O对称，
所以AD＝2OA＝40cos θ.
设矩形ABCD的面积为S，
则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ.
因为θ∈，
所以当sin 2θ＝1，
即θ＝时，Smax＝400 m2.
此时AO＝DO＝10 m.
故当点A，D到圆心O的距离为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.

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