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§4.5　三角函数的图象与性质
考试要求　1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在上的性质．
知识梳理
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
常用结论
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．
2．奇偶性
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)．
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　×　)
(2)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　×　)
(3)y＝sin|x|是偶函数．(　√　)
(4)若非零实数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期．(　√　)
教材改编题
1．若函数y＝2sin 2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则(　　)
A．T＝π，A＝1 B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2 D．T＝2π，A＝2
答案　A
2．函数f(x)＝－2tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　由2x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z.
3．函数y＝3cos的单调递减区间是________．
答案　，k∈Z
解析　因为y＝3cos，
令2kπ≤2x－≤2kπ＋π，k∈Z，
求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
可得函数的单调递减区间为，k∈Z.
题型一　三角函数的定义域和值域
例1　(1)函数y＝的定义域为________．
答案　
解析　要使函数有意义，
则
即
故函数的定义域为.
(2)函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为________．
答案　
解析　设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin x·cos x，sin xcos x＝，
且－≤t≤.
∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，
t∈[－，]．
当t＝1时，ymax＝1；
当t＝－时，ymin＝－.
∴函数的值域为.
教师备选
1．函数y＝的定义域为________．
答案　(k∈Z)
解析　要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，
如图所示．
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.
2．函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
答案　1
解析　由题意可得
f(x)＝－cos2x＋cos x＋
＝－2＋1.
∵x∈，
∴cos x∈[0,1]．
∴当cos x＝，即x＝时，f(x)取最大值为1.
思维升华　(1)三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解．
(2)三角函数值域的不同求法
①把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域．
②把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域．
③利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
跟踪训练1　(1)(2021·北京)函数f(x)＝cos x－cos 2x，试判断函数的奇偶性及最大值(　　)
A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2
C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为
答案　D
解析　由题意，
f(－x)＝cos (－x)－cos (－2x)
＝cos x－cos 2x＝f(x)，
所以该函数为偶函数，
又f(x)＝cos x－cos 2x＝－2cos2x＋cos x＋1＝－22＋，
所以当cos x＝时，f(x)取最大值.
(2)函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．
答案　∪
解析　∵函数y＝lg(sin 2x)＋，
∴应满足
解得其中k∈Z，
∴－3≤x<－或0∴函数的定义域为∪.
题型二　三角函数的周期性、奇偶性、对称性
例2　(1)(2019·全国Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是(　　)
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
答案　A
解析　A中，函数f(x)＝|cos 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin 2x|的周期为，当x∈时，2x∈，函数f(x)单调递减，故B不正确；C中，函数f(x)＝cos|x|＝cos x的周期为2π，故C不正确；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函数图象知，在x≥0和x<0时，f(x)均以2π为周期，但在整个定义域上f(x)不是周期函数，故D不正确．
(2)函数f(x)＝3sin＋1，φ∈(0，π)，且f(x)为偶函数，则φ＝________，f(x)图象的对称中心为________．
答案　　，k∈Z
解析　若f(x)＝3sin＋1为偶函数，则－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
即φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，
∴φ＝.
∴f(x)＝3sin＋1＝3cos 2x＋1，
由2x＝＋kπ，k∈Z得x＝＋，k∈Z，
∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
教师备选
1．下列函数中，是周期函数的为(　　)
A．y＝sin|x| B．y＝cos|x|
C．y＝tan|x| D．y＝(x－1)0
答案　B
解析　∵cos|x|＝cos x，∴y＝cos|x|是周期函数．其余函数均不是周期函数．
2．函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)，若f(x)为奇函数，则φ＝________.
答案　
解析　若f(x)＝3sin为奇函数，
则－＋φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，
∴φ＝.
思维升华　(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
跟踪训练2　(1)(2021·全国乙卷)函数f(x)＝sin ＋cos 最小正周期和最大值分别是(　　)
A．3π和 B．3π和2
C．6π和 D．6π和2
答案　C
解析　因为函数f(x)＝sin ＋cos
＝
＝
＝sin，
所以函数f(x)的最小正周期T＝＝6π，最大值为.
(2)已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)是定义域为R的奇函数，且当x＝3时，f(x)取得最小值－3，当ω取得最小正数时，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)的值为(　　)
A. B．－6－3
C．1 D．－1
答案　B
解析　∵f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是定义域为R的奇函数，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，则φ＝，
则f(x)＝－Asin ωx.
当x＝3时，f(x)取得最小值－3，
故A＝3，sin 3ω＝1，
∴3ω＝＋2kπ，k∈Z.
∴ω的最小正数为，
∴f(x)＝－3sin x，
∴f(x)的周期为12，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)
＝168×0＋f(1)＋f(2)＋…＋f(6)
＝－6－3.
(3)(2022·杭州模拟)设函数f(x)＝2sin＋，则下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的图象关于直线x＝对称
C．f(x)在上的最小值为－
D．f(x)的图象关于点对称
答案　C
解析　对于A，f(x)的最小正周期为＝π，
故A错误；
对于B，∵sin＝－≠±1，
故B错误；
对于C，当x∈时，2x－∈，
∴sin∈，
∴2sin＋∈，
∴f(x)在上的最小值为－，故C正确；
对于D，∵f ＝2sin＋＝，
∴f(x)的图象关于点对称，故D错误．
题型三　三角函数的单调性
命题点1　求三角函数的单调区间
例3　函数f(x)＝sin的单调递减区间为________．
答案　(k∈Z)
解析　f(x)＝sin
＝sin
＝－sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所求函数的单调递减区间为(k∈Z)．
延伸探究　f(x)＝sin在[0，π]上的单调递减区间为________．
答案　和
解析　令A＝，k∈Z，
B＝[0，π]，
∴A∩B＝∪，
∴f(x)在[0，π]上的单调递减区间为和.
命题点2　根据单调性求参数
例4　(1)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω＝________.
答案　
解析　∵f(x)＝sin ωx(ω＞0)过原点，
∴当0≤ωx≤，
即0≤x≤时，y＝sin ωx单调递增；
当≤ωx≤，
即≤x≤时，y＝sin ωx单调递减．
由f(x)＝sin ωx(ω＞0)在上单调递增，
在上单调递减，知＝，
∴ω＝.
(2)已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．
答案　
解析　由0，
得＋<ωx＋<ωπ＋，
因为y＝sin x的单调递减区间为，k∈Z，
所以k∈Z，
解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.
又由4k＋－≤0，k∈Z，
且2k＋>0，k∈Z，
解得k＝0，
所以ω∈.
教师备选
(2022·长沙模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)
A．11 B．9 C．7 D．1
答案　B
解析　因为x＝－为f(x)的零点，
x＝为y＝f(x)图象的对称轴，
所以·T＝(n∈N)，
即·＝(n∈N)，
所以ω＝2n＋1(n∈N)，即ω为正奇数．
因为f(x)在上单调，
则－＝≤，
即T＝≥，
解得ω≤12.
当ω＝11时，－＋φ＝kπ，k∈Z，
因为|φ|≤，
所以φ＝－，此时f(x)＝sin.
当x∈时，
11x－∈，
所以f(x)在上不单调，不满足题意；
当ω＝9时，－＋φ＝kπ，k∈Z，
因为|φ|≤，
所以φ＝，
此时f(x)＝sin.
当x∈时，
9x＋∈，
此时f(x)在上单调递减，符合题意．
故ω的最大值为9.
思维升华　(1)已知三角函数解析式求单调区间
求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
跟踪训练3　(1)(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f(x)＝7sin的单调递增区间是
(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.取k＝0，则－≤x≤.因为?，所以区间是函数f(x)的单调递增区间．
(2)(2022·济南模拟)已知函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　当－－＋<ωx＋<＋，
当x＝0时，ωx＋＝.
因为函数y＝sin(ω>0)在区间上单调递增，
所以
解得ω≤，
因为ω>0，所以ω的取值范围是.
课时精练
1．y＝|cos x|的一个单调递增区间是(　　)
A. B．[0，π]
C. D.
答案　D
解析　将y＝cos x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cos x|的图象(如图)．
故选D.
2．函数f(x)＝的定义域为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　B
解析　由题意，得2sin x－1≥0，
x∈(k∈Z)，
则x∈(k∈Z)．
3．函数f(x)＝sincos是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的非奇非偶函数
D．最小正周期为π的非奇非偶函数
答案　D
解析　由题意可得
f(x)＝sincos
＝sincos
＝sin2，
∴f(x)＝－cos，
故f(x)的最小正周期T＝＝π，由函数奇偶性的定义易知，f(x)为非奇非偶函数．
4．函数f(x)＝在[－π，π]的图象大致为(　　)
答案　D
解析　由f(－x)＝
＝＝－f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A；
又f ＝＝>1，
f(π)＝>0，排除B，C.
5．(多选)关于函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，下列命题中为真命题的是(　　)
A．函数y＝f(x)的周期为π
B．直线x＝是y＝f(x)图象的一条对称轴
C．点是y＝f(x)图象的一个对称中心
D．y＝f(x)的最大值为
答案　ACD
解析　因为f(x)＝sin 2x－cos 2x
＝sin，
所以f(x)最大值为，故D为真命题．
因为ω＝2，故T＝＝π，故A为真命题；
当x＝时，2x－＝，终边不在y轴上，故直线x＝不是y＝f(x)图象的一条对称轴，
故B为假命题；
当x＝时，2x－＝0，终边落在x轴上，
故点是y＝f(x)图象的一个对称中心，故C为真命题．
6．(多选)(2022·广州市培正中学月考)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列叙述正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间上单调递增
C．f(x)的最大值为2
D．f(x)在[－π，π]上有4个零点
答案　AC
解析　f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|
＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，
f(x)是偶函数，A正确；
当x∈时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x，
单调递减，B错误；
f(x)＝sin|x|＋|sin x|≤1＋1＝2，
且f ＝2，C正确；
在[－π，π]上，当－πf(x)＝sin(－x)＋(－sin x)＝－2sin x>0，
当00，
f(x)的零点只有π，0，－π共三个，D错．
7．写出一个周期为π的偶函数f(x)＝________.(答案不唯一)
答案　cos 2x
8．(2022·鞍山模拟)若在内有两个不同的实数值满足等式cos 2x＋sin 2x＝k＋1，则实数k的取值范围是________．
答案　0≤k<1
解析　函数f(x)＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，
当x∈时，
f(x)＝2sin单调递增；
当x∈时，
f(x)＝2sin单调递减，
f(0)＝2sin ＝1，
f＝2sin ＝2，
f＝2sin ＝－1，
所以在内有两个不同的实数值满足等式cos 2x＋sin 2x＝k＋1，
则1≤k＋1<2，
所以0≤k<1.
9．已知函数f(x)＝4sin ωxsin－1(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω及f(x)的单调递增区间；
(2)求f(x)图象的对称中心．
解　(1)f(x)＝4sin ωx－1
＝2sin2ωx＋2sin ωxcos ωx－1
＝1－cos 2ωx＋sin 2ωx－1
＝sin 2ωx－cos 2ωx
＝2sin.
∵最小正周期为π，
∴＝π，
∴ω＝1，∴f(x)＝2sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)令2x－＝kπ，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，
∴f(x)图象的对称中心为，k∈Z.
10．(2021·浙江)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)．
(1)求函数y＝2的最小正周期；
(2)求函数y＝f(x)f 在上的最大值．
解　(1)因为f(x)＝sin x＋cos x，
所以f ＝sin＋cos
＝cos x－sin x，
所以y＝2＝(cos x－sin x)2＝1－sin 2x.
所以函数y＝2的最小正周期T＝＝π.
(2)f ＝sin＋cos
＝sin x，
所以y＝f(x)f
＝sin x(sin x＋cos x)
＝(sin xcos x＋sin2x)
＝
＝sin＋.
当x∈时，2x－∈，
所以当2x－＝，即x＝时，
函数y＝f(x)f 在上取得最大值，且ymax＝1＋.
11．(多选)(2022·苏州模拟)已知函数f(x)＝sin，则(　　)
A．函数f 是偶函数
B．x＝－是函数f(x)的一个零点
C．函数f(x)在区间上单调递增
D．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
答案　BCD
解析　对于A选项，
令g(x)＝f ＝sin
＝sin，
则g＝0，
g＝sin≠0，
故函数f 不是偶函数，A错；
对于B选项，因为f ＝sin 0＝0，
故x＝－是函数f(x)的一个零点，B对；
对于C选项，当－≤x≤时，
－≤2x＋≤，
所以函数f(x)在区间上单调递增，C对；
对于D选项，因为对称轴满足2x＋＝＋kπ，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，k＝0时，x＝，D对．
12．(多选)(2022·厦门模拟)已知函数f(x)＝cos2－cos 2x，则(　　)
A．f(x)的最大值为
B．f(x)的图象关于点对称
C．f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)
D．f(x)在[0,2π]上有4个零点
答案　ACD
解析　f(x)＝－cos 2x
＝＋－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
则f(x)的最大值为，A正确；
易知f(x)图象的对称中心的纵坐标为，
B错误；
令2x－＝＋kπ(k∈Z)，
得x＝＋(k∈Z)，
此即f(x)图象的对称轴方程，C正确；
由f(x)＝sin＋＝0，
得sin＝－，
当x∈[0,2π]时，2x－∈，
作出函数y＝sin x的图象，如图所示．
所以方程sin＝－在[0,2π]上有4个不同的实根，
即f(x)在[0,2π]上有4个零点，D正确．
13．(2022·唐山模拟)已知sin x＋cos y＝，则sin x－sin2y的最大值为______．
答案　
解析　∵sin x＋cos y＝，sin x∈[－1,1]，
∴sin x＝－cos y∈[－1,1]，
∴cos y∈，
即cos y∈，
∵sin x－sin2y＝－cos y－(1－cos2y)
＝cos2y－cos y－
＝2－1，
又cos y∈，
利用二次函数的性质知，当cos y＝－时，
(sin x－sin2y)max＝2－1＝.
14．(2022·苏州八校联盟检测)已知f(x)＝sin x＋cos x，若y＝f(x＋θ)是偶函数，则cos θ＝________.
答案　±
解析　因为f(x)＝sin，
所以f(x＋θ)＝sin，
又因为y＝f(x＋θ)是偶函数，
所以θ＋＝＋kπ，k∈Z，
即θ＝＋kπ，k∈Z，
所以cos θ＝cos＝±.
15．(多选)(2022·邯郸模拟)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]内有且仅有2个零点，则下列结论成立的有(　　)
A．函数y＝f(x)＋1在(0,2π)内没有零点
B．y＝f(x)－1在(0,2π)内有且仅有1个零点
C．f(x)在上单调递增
D．ω的取值范围是
答案　BCD
解析　如图，由函数f(x)的草图可知，A选项不正确，B选项正确；
若函数f(x)在[0,2π]内有且仅有2个零点，
则≤2π<，
得≤ω<，
当x∈时，
t＝ωx－∈ ，此时函数单调递增，故CD正确．
16．已知f(x)＝sin2＋sin·cos－.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若函数y＝|f(x)|－m在区间上恰有两个零点x1，x2.
①求m的取值范围；
②求sin(x1＋x2)的值．
解　(1)f(x)＝sin2＋sin·cos－
＝＋sin－
＝－cos 2x＋sin 2x＋cos 2x－
＝sin 2x＋cos 2x
＝sin，
结合正弦函数的图象与性质，
可得当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，
即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)时，函数单调递增，
∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)①令t＝2x＋，当x∈时，
t∈，sin t∈，
∴y＝∈(如图)．
∴要使y＝|f(x)|－m在区间上恰有两个零点，m的取值范围为②设t1，t2是函数y＝－m的两个零点，
由正弦函数图象性质可知t1＋t2＝π，
即2x1＋＋2x2＋＝π.
∴x1＋x2＝，∴sin(x1＋x2)＝.

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