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§4.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)
考试要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．
知识梳理
1．简谐运动的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)，x≥0 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个特征点
ωx＋φ 0 π 2π
x
y＝Asin (ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径
常用结论
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　×　)
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　√　)
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　×　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为.(　√　)
教材改编题
1．为了得到函数y＝sin的图象，只要把y＝sin 3x的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案　C
2．为了得到y＝3cos的图象，只需把y＝3cos图象上的所有点的(　　)
A．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变
B．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变
C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
答案　D
3．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，A>0,0<φ<π，则这段曲线的函数解析式为__________________________．
答案　y＝10sin＋20，x∈[6,14]
解析　从题图中可以看出，从6～14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝×(30－10)＝10，
b＝×(30＋10)＝20，
又×＝14－6，
所以ω＝.
又×10＋φ＝2kπ，k∈Z，0<φ<π，
所以φ＝，
所以y＝10sin＋20，x∈[6,14].
题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
例1　(1)(2021·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)等于(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
答案　B
解析　依题意，将y＝sin的图象向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f(x)的图象，
所以y＝siny＝sin的图象f(x)＝sin的图象．
(2)(2022·天津二中模拟)将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后，得到函数y＝cos的图象，则φ等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　y＝sin 2x＝cos.
将函数y＝sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后，
得到函数y＝cos
＝cos
＝cos，
由题意知2φ－＝＋2kπ(k∈Z)，
则φ＝＋kπ(k∈Z)，
又0≤φ<，所以φ＝.
教师备选
1．要得到函数y＝cos的图象，可以把函数y＝sin的图象(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
答案　D
解析　函数y＝cos
＝sin
＝sin
＝sin，
所以只需将y＝sin的图象向左平移个单位长度就可以得到y＝cos的图象．
2．(2020·江苏)将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是________．
答案　x＝－
解析　将函数y＝3sin的图象向右平移个单位长度，
所得图象的函数解析式为
y＝3sin＝3sin.
令2x－＝kπ＋，k∈Z，
得对称轴的方程为x＝＋，k∈Z，
分析知当k＝－1时，对称轴为直线x＝－，与y轴最近．
思维升华　(1)由y＝sin ωx的图象到y＝sin(ωx＋φ)的图象的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值．
跟踪训练1　(1)(多选)(2020·天津改编)已知函数f(x)＝sin.下列结论正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f 是f(x)的最大值
C．把函数y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数y＝f(x)的图象
D．把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，得到g(x)＝sin的图象
答案　AC
解析　T＝＝2π，故A正确．
当x＋＝＋2kπ(k∈Z)，
即x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，故B错误．
y＝sin x的图象y＝sin的图象，故C正确．
f(x)＝sin图象上所有点的g(x)＝sin的图象，故D错误．
(2)(2022·开封模拟)设ω>0，将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，则ω的最小值为(　　)
A．3 B．6 C．9 D．12
答案　D
解析　将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原图象重合，
故为函数y＝sin的周期，
即＝(k∈N*)，
则ω＝12k(k∈N*)，
故当k＝1时，ω取得最小值12.
题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例2　(1)(2022·安徽芜湖一中模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋b
的大致图象如图所示，将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　C
解析　依题意，
解得
故f(x)＝2cos(ωx＋φ)－1，
而f ＝1，f ＝－1，
∴＝－＝，
故T＝π＝，则ω＝2；
∴2cos－1＝1，
故＋φ＝2kπ(k∈Z)，
又|φ|<，故φ＝－，
∴f(x)＝2cos－1；
将函数f(x)的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，
得到y＝2cos－1，
再向左平移个单位长度，
得到g(x)＝2cos－1
＝2cos－1，
令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ(k∈Z)，故－＋3kπ≤x≤－＋3kπ(k∈Z)，故函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝______.
答案　－
解析　由题意可得，T＝－＝，
∴T＝π，ω＝＝2，
当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝2kπ－π(k∈Z)．
令k＝1可得φ＝－，
据此有f(x)＝2cos，
f ＝2cos＝2cos ＝－.
教师备选
1．(2022·天津中学月考)把函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，已知函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)等于(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
答案　D
解析　先根据函数图象求函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式，
由振幅可得A＝1，
显然＝－＝，
所以T＝π，所以＝π，所以ω＝2，
所以g(x)＝sin(2x＋φ)，
再由g＝sin＝0，
由|φ|<可得φ＝－，
所以g(x)＝sin，
反向移动先向左平移个单位长度可得
sin＝sin，
再将横坐标伸长到原来的2倍可得
f(x)＝sin.
2.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝________.
答案　－
解析　由题意得，A＝，T＝4＝，ω＝.
又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，由0<φ<π，取k＝0，
则φ＝，
所以f(x)＝cos，
所以f(1)＝－.
思维升华　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
跟踪训练2　(1)(2020·全国Ⅰ改编)设函数f(x)＝cos在[－π，π]上的图象大致如图，则f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝cos
B．f(x)＝cos
C．f(x)＝cos
D．f(x)＝cos
答案　B
解析　由图象知π所以1<|ω|<2.
因为图象过点，
所以cos＝0，
所以－ω＋＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝－k－，k∈Z.
因为1<|ω|<2，
故k＝－1，得ω＝，
所以f(x)＝cos.
(2)(2022·张家口市第一中学模拟)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω＝________，为了得到偶函数y＝g(x)的图象，至少要将函数y＝f(x)的图象向右平移________个单位长度．
答案　　6
解析　由图象可知，函数f(x)的最小正周期为T＝2×[6－(－2)]＝16，
∴ω＝＝，
则f(x)＝2sin，
由于函数f(x)的图象过点(－2,0)且在x＝－2附近单调递增，
∴－2×＋φ＝2kπ(k∈Z)，
可得φ＝2kπ＋(k∈Z)，
∵－<φ<，
∴φ＝，
∴f(x)＝2sin，
假设将函数f(x)的图象向右平移t个单位长度可得到偶函数g(x)的图象，
且g(x)＝f(x－t)＝2sin
＝2sin，
∴－＋＝＋kπ(k∈Z)，
解得t＝－2－8k(k∈Z)，
∵t>0，当k＝－1时，t取最小值6.
题型三　三角函数图象、性质的综合应用
命题点1　图象与性质的综合应用
例3　(2022·衡阳模拟)若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数g(x)为偶函数，则f(x)的图象(　　)
A．关于直线x＝对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝－对称
D．关于点对称
答案　D
解析　依题意可得ω＝＝2，
所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，
所以f(x)的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的函数为g(x)＝2sin，
又函数g(x)为偶函数，
所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，
解得φ＝＋kπ，k∈Z，
又|φ|<，
所以φ＝，
所以f(x)＝2sin，
由2x＋＝＋kπ，k∈Z，
得x＝＋，k∈Z，
所以f(x)图象的对称轴为x＝＋，k∈Z，
排除A，C，
由2x＋＝kπ，k∈Z，
得x＝－＋，k∈Z，
则f(x)图象的对称中心为，k∈Z，排除B，
当k＝1时，－＋＝，故D正确．
命题点2　函数零点(方程根)问题
例4　已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________．
答案　(－2，－1)
解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为
m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x
＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．
∴y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，的取值范围是，
故m的取值范围是(－2，－1)．
延伸探究　本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是_____．
答案　[－2,1)
解析　同例题知，的取值范围是，
∴－2≤m<1，∴m的取值范围是[－2,1)．
命题点3　三角函数模型
例5　(多选)(2022·佛山一中月考)摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟，当t＝15时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为(　　)
A．摩天轮离地面最近的距离为4米
B．若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，则h＝－60cos t＋68
C．若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1＋t2的最小值为30
D． t1，t2∈[0,20]，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米
答案　BC
解析　由题意知，摩天轮离地面最近的距离为128－120＝8(米)，故A不正确；
t分钟后，转过的角度为t，
则h＝60－60cos t＋8＝－60cos t＋68，故B正确；
h＝－60cos t＋68，周期为＝30，由余弦型函数的性质可知，若t1＋t2取最小值，
则t1，t2∈[0,30]，又高度相等，
则t1，t2关于t＝15对称，
则＝15，则t1＋t2＝30，故C正确；
令0≤t≤π，解得0≤t≤15，
令π≤t≤2π，解得15≤t≤30，
则h在t∈[0,15]上单调递增，在t∈[15,20]上单调递减，
当t＝15时，hmax＝128，
当t＝20时，h＝－60cos ×20＋68＝98>90，
所以h＝90在t∈[0,20]只有一个解，
故D不正确．
教师备选
(多选)(2022·福州模拟)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则(　　)
A．点P第一次到达最高点需要20秒
B．当水轮转动155秒时，点P距离水面2米
C．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米
D．点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4cos＋2
答案　ABC
解析　设点P距离水面的高度h(米)和时间t(秒)的函数解析式为
h＝Asin(ωt＋φ)＋B，
由题意得
解得
故h＝4sin＋2.故D错误；
对于A，令h＝6，即h＝4sin＋2＝6，
解得t＝20，故A正确；
对于B，令t＝155，代入h＝4sin＋2，
解得h＝2，故B正确；
对于C，令t＝50，代入h＝4sin＋2，
解得h＝－2，故C正确．
思维升华　(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
跟踪训练3　(1)(多选)(2022·青岛模拟)已知函数f(x)＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ的图象的一个对称中心为，则下列说法正确的是(　　)
A．直线x＝π是函数f(x)的图象的一条对称轴
B．函数f(x)在上单调递减
C．函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得到y＝cos 2x的图象
D．函数f(x)在上的最小值为－1
答案　ABD
解析　∵f(x)＝cos 2xcos φ－sin 2xsin φ
＝cos(2x＋φ)的图象的一个对称中心为，
∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z.
∵0<φ<，∴φ＝.
则f(x)＝cos.
∵f ＝cos
＝cos π＝－1，
∴直线x＝π是函数f(x)的图象的一条对称轴，故A正确；
当x∈时，2x＋∈，
∴函数f(x)在上单调递减，故B正确；
函数f(x)的图象向右平移个单位长度，
得到y＝cos
＝cos的图象，故C错误；
当x∈时，2x＋∈，
∴函数f(x)在上的最小值为cos π＝－1，
故D正确．
(2)(多选)(2022·西南大学附中模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1 000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点A(3，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为(x，y)，其纵坐标满足y＝f(t)＝Rsin(ωt＋φ)，则下列叙述正确的是(　　)
A．水斗作周期运动的初相为－
B．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其高度不断增加
C．在水斗开始旋转的60秒(含)中，其最高点离平衡位置的纵向距离是3
D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
答案　AD
解析　对于A，由A(3，－3)，
知R＝＝6，T＝120，
所以ω＝＝；
当t＝0时，点P在点A位置，有－3＝6sin φ，
解得sin φ＝－，又|φ|<，
所以φ＝－，故A正确；
对于B，可知f(t)＝6sin，
当t∈(0,60]，t－∈，
所以函数f(t)先增后减，故B错误；
对于C，当t∈(0,60]，
t－∈，
sin∈，
所以点P到x轴的距离的最大值为6，故C错误；
对于D，当t＝100时，t－＝，
P的纵坐标为y＝－3，横坐标为x＝－3，
所以|PA|＝|－3－3|＝6，故D正确．
课时精练
1．函数f(x)＝－2cos的振幅、初相分别是(　　)
A．－2， B．－2，－
C．2， D．2，－
答案　C
解析　振幅为2，当x＝0时，φ＝，即初相为.
2．将函数f(x)＝sin的图象，向右平移个单位长度后得到函数g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝sin 2x
B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin
D．g(x)＝sin
答案　C
解析　向右平移个单位长度后得，
g(x)＝sin＝sin.
3．(2022·苏州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，将其图象向左平移个单位长度后对应的函数为偶函数，则f 等于(　　)
A．－ B.
C．1 D.
答案　D
解析　因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，
所以ω＝＝2，
所以f(x)＝sin(2x＋φ)，
图象向左平移个单位长度后所得函数为
y＝sin＝sin，
因为y＝sin是偶函数，
所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，
所以φ＝－＋kπ(k∈Z)，
因为|φ|<，
所以k＝0，φ＝－，
所以f(x)＝sin，
所以f ＝sin＝sin ＝.
4．(2022·天津五十七中月考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的一个单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　根据函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，
可得A＝1，
·＝－，
∴ω＝2.
结合“五点法”作图可得2×＋φ＝，
∴φ＝，f(x)＝sin.
将f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍(纵坐标不变)，
可得y＝sin的图象．
再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，
得到函数g(x)＝sin
＝sin的图象．
令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得4kπ－≤x≤4kπ＋，k∈Z，
可得函数g(x)的单调递增区间为，k∈Z，
令k＝0，可得一个单调递增区间为.
5．(多选)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数，给出下列函数中是“互为生成”函数的是(　　)
A．f(x)＝sin x＋cos x
B．f(x)＝(sin x＋cos x)
C．f(x)＝sin x
D．f(x)＝sin x＋
答案　AD
解析　f(x)＝sin x＋cos x＝sin与f(x)＝sin x＋经过平移后能够重合．
6．(多选)(2022·深圳模拟)设函数f(x)＝sin的图象为曲线E，则下列结论中正确的是(　　)
A.是曲线E的一个对称中心
B．若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，则|x1－x2|的最小值为
C．将曲线y＝sin 2x向右平移个单位长度，与曲线E重合
D．将曲线y＝sin上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线E重合
答案　BD
解析　函数f(x)＝sin的图象为曲线E，
令x＝－，求得f(x)＝－1，为最小值，
故f(x)的图象关于直线x＝－对称，故A错误；
若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)＝0，
则|x1－x2|的最小值为＝×＝，故B正确；
将曲线y＝sin 2x向右平移个单位长度，
可得y＝sin的图象，故C错误；
将曲线y＝sin上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得y＝sin的图象，与曲线E重合，故D正确．
7．(2022·北京丰台区模拟)将函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象．若函数g(x)的图象关于原点对称，则φ的一个取值为________．(答案不唯一)
答案　
解析　将函数f(x)＝cos 2x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，
可得g(x)＝cos(2x＋2φ)，由函数g(x)的图象关于原点对称，
可得g(0)＝cos 2φ＝0，
所以2φ＝＋kπ，k∈Z，
φ＝＋，k∈Z，
当k＝0时，φ＝.
8．(2022·济南模拟)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则为了得到曲线C1，首先要把C2上各点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右至少平移______个单位长度．(本题所填数字要求为正数)
答案　2　
解析　∵曲线C1：y＝cos x＝sin
＝sin，
∴先将曲线C2上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，
再把得到的曲线y＝sin向右至少平移个单位长度．
9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；
(3)函数y＝f(x)的图象可由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解　(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，
所以ω＝2.
又因为当x＝时，
f(x)取得最大值2，所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，
因为－<φ<，
所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)因为x∈[0，π]，
所以2x＋∈.
列表如下，
2x＋ π 2π
x 0 π
f(x) 1 2 0 －2 0 1
描点、连线得图象．
(3)将y＝sin x的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，
再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，
得到函数y＝sin的图象，
再将y＝sin上所有点的纵坐标伸长2倍(横坐标不变)，
得到f(x)＝2sin的图象．
10．已知向量m＝，n＝(cos x，cos 2x)，函数f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的最大值及最小正周期；
(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的值域．
解　(1) f(x)＝m·n
＝sin xcos x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝sin.
所以函数的最大值为1，最小正周期为
T＝＝＝π.
(2)由(1)得f(x)＝sin.
将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后得到
y＝sin＝sin的图象．
因此g(x)＝sin，
又x∈，
所以2x＋∈，sin∈.
故g(x)在上的值域为.
11．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图，则f(x)的解析式和S＝f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)的值分别为(　　)
A．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023
B．f(x)＝sin 2πx＋1，S＝2 023
C．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024
D．f(x)＝sin x＋1，S＝2 024
答案　D
解析　由图象知
又T＝4，
∴ω＝，b＝1，A＝，
∴f(x)＝sin＋1.
由f(x)的图象过点得
sin＋1＝，
∴cos φ＝1.
∴φ＝2kπ，k∈Z，取k＝0得φ＝0.
∴f(x)＝sin x＋1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝＋＋＋＝4.
又2 024＝4×506，
∴S＝4×506＝2 024.
12．(多选)关于函数f(x)＝2cos2x－cos－1的描述正确的是(　　)
A．其图象可由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到
B．f(x)在上单调递增
C．f(x)在[0，π]上有3个零点
D．f(x)在上的最小值为－
答案　AD
解析　f(x)＝2cos2x－cos－1
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
对于A，由y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，
得到y＝sin＝sin，
故选项A正确；
对于B，令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，故选项B不正确；
对于C，令f(x)＝0，得2x＋＝kπ，k∈Z，
解得x＝－，k∈Z，
因为x∈，
所以k＝1，x＝π；
k＝2，x＝π，所以f(x)在[0，π]上有2个零点，故选项C不正确；
对于D，因为x∈，
所以2x＋∈，
所以sin∈，
所以f(x)∈，
所以f(x)在上的最小值为－，
故选项D正确．
13．(2022·上海市吴淞中学月考)定义运算＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(ω>0)的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则ω的最小值是________．
答案　
解析　f(x)＝cos ωx－sin ωx
＝－2sin，
图象向左平移个单位长度得，
g(x)＝－2sin，
g(x)为奇函数，
则－＝kπ，k∈Z，
解得ω＝＋k，k∈Z，
所以ω的最小值为.
14．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元．
答案　6 000
解析　作出函数简图如图．
三角函数模型为y＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知A＝×(9 000－5 000)＝2 000，
B＝×(9 000＋5 000)＝7 000，
T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝＝.
将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，
则有×3＋φ＝，∴φ＝0，
故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．
∴f(7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000(元)．
故7月份的出厂价格为6 000元．
15．(多选)将函数f(x)＝cos(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，且g(0)＝－1，则下列说法正确的是(　　)
A．g(x)为奇函数
B．g＝0
C．当ω＝5时，g(x)在(0，π)上有4个极值点
D．若g(x)在上单调递增，则ω的最大值为5
答案　BCD
解析　由题意得g(x)＝cos
＝sin.
因为g(0)＝－1，所以sin＝－1，
所以＝2kπ＋，ω＝4k＋1，k∈N，
从而g(x)＝sin＝－cos ωx，
显然为偶函数，故A错误；
g＝－cos ＝0，故B正确；
当ω＝5时，g(x)＝－cos 5x，
令g(x)＝－cos 5x＝±1得
5x＝kπ，x＝，k∈Z.
因为016．(2022·深圳模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A>0，ω>0,0<φ<π，函数f(x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x＝处取到最小值－2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间；
(3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，求实数m的取值范围．
解　(1)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，
其中A>0，ω>0,0<φ<π，
由题知函数f(x)的最小正周期为＝，
解得ω＝4，
又函数f(x)在x＝处取到最小值－2，
则A＝2，且f ＝－2，
即＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0可得φ＝，
∴f(x)＝2sin.
(2)函数f(x)＝2sin图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，
得y＝2sin，
再向左平移个单位长度可得
g(x)＝2sin＝2cos 2x，
令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，
∴g(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)∵方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，
作出函数g(x)＝2cos 2x，x∈的图象，
由图可知－2解得－4∴m的取值范围为－4

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