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§5.3　平面向量的数量积
考试要求　1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．
知识梳理
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
2．平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3．平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e与b是方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cos θ e.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) x1y2－x2y1＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| (当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤
常用结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
2．有关向量夹角的两个结论
已知向量a，b.
(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.
(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个向量的夹角的范围是.(　×　)
(2)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角．(　×　)
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　√　)
(4)(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　)
教材改编题
1．(多选)(2022·海南省临高二中模拟)设a，b，c是任意的非零向量，则下列结论正确的是(　　)
A．0·a＝0
B．a·b＝b·c，则a＝c
C．a·b＝0 a⊥b
D．(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2
答案　CD
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
答案　2
3．已知向量a，b满足3|a|＝2|b|＝6，且(a－2b)⊥(2a＋b)，则a，b夹角的余弦值为________．
答案　－
解析　设a，b的夹角为θ，
依题意，(a－2b)·(2a＋b)＝0，
则2a2－3a·b－2b2＝0，
故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0，
则cos θ＝－.
题型一　平面向量数量积的基本运算
例1　(1)(2021·北京)a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，则(a＋b)·c＝_________；a·b＝________.
答案　0　3
解析　∵a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，
∴a＋b＝(4,0)，
∴(a＋b)·c＝4×0＋0×1＝0，
a·b＝2×2＋1×(－1)＝3.
(2)(2022·广州模拟)在平面四边形ABCD中，已知＝，P为CD上一点，＝3，||
＝4，||＝3，与的夹角为θ，且cos θ＝，则·＝________.
答案　－2
解析　如图所示，
∵＝，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵＝3，
∴＝＋＝＋，
＝－＝－，
又∵||＝4，||＝3，
cos θ＝，
则·＝4×3×＝8，
∴·＝·
＝·－2＋2
＝×8－9＋×42＝－2.
教师备选
1．(2019·全国Ⅱ)已知＝(2,3)，＝(3，t)，||＝1，则·等于(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
答案　C
解析　因为＝－＝(1，t－3)，
所以||＝＝1，
解得t＝3，
所以＝(1,0)，
所以·＝2×1＋3×0＝2.
2．在边长为2的正三角形ABC中，M是BC的中点，D是线段AM的中点．①若＝x＋y，则x＋y＝________；②·＝________.
答案　　1
解析　①∵M是BC的中点，
∴＝，
∵D是AM的中点，
∴＝＋＝＋，
∴x＝，y＝，∴x＋y＝.
②∵△ABC是边长为2的正三角形，M是BC的中点，
∴AM⊥BC，且BM＝1，
∴·＝||||cos∠DBM＝||2＝1.
思维升华　计算平面向量数量积的主要方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．
跟踪训练1　(1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a＋b＋c＝0，|a|＝1，|b|＝|c|＝2，a·b＋b·c＋c·a＝________.
答案　－
解析　由已知可得(a＋b＋c)2
＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)
＝9＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
因此a·b＋b·c＋c·a＝－.
(2)(2020·北京)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝________；·＝________.
答案　　－1
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，
∵＝(＋)，
∴P为BC的中点．
∴点P的坐标为(2,1)，点D的坐标为(0,2)，点B的坐标为(2,0)，
∴||＝，＝(0，－1)，＝(－2,1)，
∴·＝－1.
题型二　平面向量数量积的应用
命题点1　向量的模
例2　已知向量a，b满足|a|＝6，|b|＝4，且a与b的夹角为60°，则|a＋b|＝____________，|a－3b|＝________.
答案　2　6
解析　因为|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，
所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝6×4×＝12，
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，
(a－3b)2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144
＝108，
所以|a＋b|＝2，|a－3b|＝6.
命题点2　向量的夹角
例3　(2020·全国Ⅲ)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
＝25－12＋36＝49，
∴|a＋b|＝7，
∴cos〈a，a＋b〉＝＝
＝＝.
命题点3　向量的垂直
例4　(2021·全国乙卷)已知向量a＝(1,3)，b＝(3,4)，若(a－λb)⊥b，则λ＝________.
答案　
解析　方法一　a－λb＝(1－3λ，3－4λ)，
∵(a－λb)⊥b，∴(a－λb)·b＝0，
即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0，
∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝.
方法二　由(a－λb)⊥b可知，(a－λb)·b＝0，即a·b－λb2＝0，
从而λ＝＝＝＝.
教师备选
1．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设a与b的夹角为α，
∵(a－b)⊥b，
∴(a－b)·b＝0，
∴a·b＝b2，
∴|a|·|b|cos α＝|b|2，又|a|＝2|b|，
∴cos α＝，∵α∈[0，π]，
∴α＝.
2．已知e1，e2是两个单位向量，且|e1＋e2|＝，则|e1－e2|＝________.
答案　1
解析　由|e1＋e2|＝，两边平方，
得e＋2e1·e2＋e＝3.又e1，e2是单位向量，
所以2e1·e2＝1，
所以|e1－e2|2＝e－2e1·e2＋e＝1，
所以|e1－e2|＝1.
思维升华　(1)求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的运算转化为数量积运算；
②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解．
(2)求平面向量的夹角的方法
①定义法：cos θ＝，求解时应求出a·b，|a|，|b|的值或找出这三个量之间的关系；
②坐标法．
(3)两个向量垂直的充要条件
a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
跟踪训练2　(1)已知单位向量a，b满足a·b＝0，若向量c＝a＋b，则sin〈a，c〉等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　方法一　设a＝(1,0)，b＝(0,1)，
则c＝(，)，
∴cos〈a，c〉＝＝，
∴sin〈a，c〉＝.
方法二　a·c＝a·(a＋b)
＝a2＋a·b＝，
|c|＝＝＝＝3，
∴cos〈a，c〉＝＝＝，
∴sin〈a，c〉＝.
(2)(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知O为坐标原点，点P1(cos α，sin α)，P2(cos β，－sin β)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A(1,0)，则(　　)
A．||＝||
B．||＝||
C.·＝·
D.·＝·
答案　AC
解析　由题意可知，
||＝＝1，
||＝＝1，
所以||＝||，故A正确；
取α＝，则P1，
取β＝，
则P2，
则||≠||，故B错误；
因为·＝cos(α＋β)，
·＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，
所以·＝·，故C正确；
因为·＝cos α，
·＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β)
＝cos(α＋2β)，
取α＝，β＝，
则·＝，·＝cos ＝－，
所以·≠·，故D错误．
题型三　平面向量的实际应用
例5　(多选)(2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是(　　)
A．|F1|的最小值为|G|
B．θ的范围为[0，π]
C．当θ＝时，|F1|＝|G|
D．当θ＝时，|F1|＝|G|
答案　ACD
解析　由题意知，F1＋F2＋G＝0，
可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得
|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cos θ
＝2|F1|2＋2|F1|2cos θ，
所以|F1|2＝.
当θ＝0时，|F1|min＝|G|；
当θ＝时，|F1|＝|G|；
当θ＝时，|F1|＝|G|，故A，C，D正确；
当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误．
教师备选
若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F1|＝1 N，|F2|＝ N，F1与F2的夹角为45°，求：
(1)F3的大小；
(2)F3与F1夹角的大小．
解　(1)∵三个力平衡，
∴F1＋F2＋F3＝0，
∴|F3|＝|F1＋F2|＝
＝
＝＝1＋.
(2)方法一　设F3与F1的夹角为θ，
则|F2|＝，
即＝，
解得cos θ＝－，
∵θ∈[0，π]，
∴θ＝.
方法二　设F3与F1的夹角为θ，
由余弦定理得
cos(π－θ)＝＝，
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
思维升华　用向量方法解决实际问题的步骤
跟踪训练3　(2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A′在码头A的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应(　　)
A．在A′东侧 B．在A′西侧
C．恰好与A′重合 D．无法确定
答案　A
解析　建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得ν1＝(－5，5)，ν2＝(6,0)，
所以ν1＋ν2＝(1,5)，
说明游船有x轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A′东侧．
极化恒等式：设a，b为两个平面向量，则有恒等式a·b＝.
如图所示．
(1)在平行四边形ABDC中，＝a，＝b，则a·b＝(||2－||2)．
(2)在△ABC中，＝a，＝b，AM为中线，则a·b＝||2－||2.
例1　在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则·＝________.
答案　－16
解析　如图所示，由极化恒等式，易得·＝2－2＝32－52＝－16.
例2　已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则·的最小值是________．
答案　1
解析　如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直于直线x－y＋2＝0时，·有最小值，即
·＝2－2＝()2－12＝1.
例3　已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是(　　)
A．1 B．2 C. D.
答案　C
解析　如图所示，
设⊥，
记＝a，＝b，＝c，
M为AB的中点，
由极化恒等式有
(a－c)·(b－c)＝·
＝||2－＝0，
∴||2＝＝，
可知是有固定起点，固定模长的动向量．
点C的轨迹是以AB为直径的圆，且点O也在此圆上，
所以|c|的最大值为圆的直径长，即为.
课时精练
1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是(　　)
A．a＋2b B．2a＋b C．a－2b D．2a－b
答案　D
解析　由题意得|a|＝|b|＝1，
设a，b的夹角为θ＝60°，
故a·b＝|a||b|cos θ＝.
对A项，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2
＝＋2＝≠0；
对B项，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2
＝2×＋1＝2≠0；
对C项，(a－2b)·b＝a·b－2b2
＝－2＝－≠0；
对D项，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0.
2．(2022·石家庄模拟)已知向量a＝(2，－2)，b＝(2,1)，b∥c，a·c＝4，则|c|等于(　　)
A．2 B．4
C．5 D．4
答案　A
解析　因为b∥c，
所以c＝λb＝(2λ，λ)(λ∈R)，
又a·c＝4λ－2λ＝2λ＝4，
所以λ＝2，c＝(4,2)，|c|＝＝2.
3．(2022·沈阳模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则a－b与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，等号左右同时平方，
得|a＋b|2＝|a－b|2＝4|a|2，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2－2a·b＝4|a|2，
所以a·b＝0且|b|2＝3|a|2，
所以|a－b|＝
＝＝|b|，
所以cos〈a－b，b〉＝
＝＝－，
因为〈a－b，b〉∈[0，π]，所以〈a－b，b〉＝.
4．已知a＝(－2,1)，b＝(k，－3)，c＝(1,2)，若(a－2b)⊥c，则与b共线的单位向量为(　　)
A.或
B.或
C.
D.
答案　A
解析　由题意得a－2b＝(－2－2k,7)，
∵(a－2b)⊥c，
∴(a－2b)·c＝0，
即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k＋14＝0，
解得k＝6，
∴b＝(6，－3)，
∴e＝±＝±.
5．(多选)(2022·盐城模拟)下列关于向量a，b，c的运算，一定成立的有(　　)
A．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
B．(a·b)·c＝a·(b·c)
C．a·b≤|a|·|b|
D．|a－b|≤|a|＋|b|
答案　ACD
解析　根据数量积的分配律可知A正确；
选项B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；
根据数量积的定义，可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C正确；
|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|·cos〈a，b〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，
故|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确．
6．(多选)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是(　　)
A．a与b的夹角为钝角
B．向量a在b上的投影向量为b
C．2m＋n＝4
D．mn的最大值为2
答案　CD
解析　对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，
则a·b＝2－1＝1>0，
又a，b不共线，
所以a，b的夹角为锐角，故A错误；
对于B，向量a在b上的投影向量为
·＝b，B错误；
对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，
则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，C正确；
对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，
得mn＝(2m·n)≤2＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，D正确．
7．(2021·全国甲卷)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,0)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________.
答案　－
解析　c＝(3,1)＋(k,0)＝(3＋k,1)，a·c＝3(3＋k)＋1×1＝10＋3k＝0，得k＝－.
8．(2020·全国Ⅰ)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.
答案　
解析　将|a＋b|＝1两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.
∵a2＝b2＝1，
∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.
∴|a－b|＝＝
＝＝.
9．(2022·长沙模拟)在△ABC中，BC的中点为D，设向量＝a，＝b.
(1)用a，b表示向量；
(2)若向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，〈a，b〉＝60°，求·的值．
解　(1)＝(＋)
＝a＋b，
所以＝a＋b.
(2)·＝a·
＝a2＋a·b
＝×32＋×3×2×cos 60°＝6，
所以·＝6.
10．(2022·湛江模拟)已知向量m＝(sin x，cos x－1)，n＝(cos x，cos x＋1)，若f(x)＝m·n.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)在Rt△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠A＝90°，f(C)＝0，c＝，CD为∠BCA的角平分线，E为CD的中点，求BE的长．
解　(1)f(x)＝m·n
＝sin x·cos x＋cos2x－1
＝sin 2x＋cos 2x－
＝sin－.
令2x＋∈(k∈Z)，
则x∈(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)f(C)＝sin－＝0，
sin＝，又C∈，
所以C＝.
在△ACD中，CD＝，
在△BCE中，
BE＝＝.
11．(2022·黄冈质检)圆内接四边形ABCD中，AD＝2，CD＝4，BD是圆的直径，则·等于(　　)
A．12 B．－12
C．20 D．－20
答案　B
解析　如图所示，由题知∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝2，CD＝4，
∴·＝(＋)·
＝·＋·
＝||||cos∠BDA－||||cos∠BDC
＝||2－||2＝4－16＝－12.
12．在△ABC中，已知·＝0，且·＝，则△ABC为(　　)
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
答案　A
解析　，分别为与，方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量＋所在的直线为∠BAC的平分线．
因为·＝0，
所以∠BAC的平分线垂直于BC，
所以AB＝AC.
又·＝·cos∠BAC
＝，
所以cos∠BAC＝，∠BAC＝60°.
所以△ABC为等边三角形．
13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F1，F2，且F1，F2与水平夹角均为45°，|F1|＝|F2|＝10 N，则物体的重力大小为________ N.
答案　20
解析　如图所示，∵|F1|＝|F2|＝10 N，
∴|F1＋F2|＝10×＝20 N，
∴物体的重力大小为20 N.
14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2＋|的值为________；(＋)·的最小值为________．
答案　1　
解析　设BE＝x，x∈，
∵△ABC为边长为1的等边三角形，DE⊥AB，
∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，
DC＝1－2x，
∵DF∥AB，∴△DFC为边长为1－2x的等边三角形，DE⊥DF，
∴(2＋)2＝42＋4·＋2＝4x2＋4x(1－2x)×cos 0°＋(1－2x)2＝1，
∴|2＋|＝1，
∵(＋)·＝(＋)·(＋)＝2＋·＝(x)2＋(1－2x)×(1－x)＝5x2－3x＋1＝52＋，
∴当x＝时，(＋)·的最小值为.
15．(多选)定义一种向量运算“ ”：a b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，正确的是(　　)
A．a b＝b a
B．λ(a b)＝(λa) b(λ∈R)
C．(a＋b) c＝a c＋b c
D．若e是单位向量，则|a e|≤|a|＋1
答案　AD
解析　当a，b共线时，a b＝|a－b|＝|b－a|＝b a，当a，b不共线时，a b＝a·b＝b·a＝b a，故A正确；
当λ＝0，b≠0时，λ(a b)＝0，(λa) b＝|0－b|≠0，故B错误；
当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b) c＝|a＋b－c|，a c＋b c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C错误；
当e与a不共线时，|a e|＝|a·e|<|a|·|e|<|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故D正确．
16．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(sin A，sin B)，n＝
(cos B，cos A)，m·n＝sin 2C.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A，sin C，sin B成等差数列，且·(－)＝18，求c.
解　(1)m·n＝sin Acos B＋sin Bcos A
＝sin(A＋B)，
在△ABC中，A＋B＝π－C,0所以sin(A＋B)＝sin C，
所以m·n＝sin C，
又m·n＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，cos C＝，
又因为C∈(0，π)，故C＝.
(2)由sin A，sin C，sin B成等差数列，
可得2sin C＝sin A＋sin B，
由正弦定理得2c＝a＋b.
因为·(－)＝18，
所以·＝18，
即abcos C＝18，ab＝36.
由余弦定理得
c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，c2＝36，
所以c＝6.

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