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§5.4　平面向量中的综合问题
题型一　平面向量在几何中的应用
例1　(1)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，D点满足＝2，AD＝，则BC的长为(　　)
A．3 B．3
C．3 D．6
答案　A
解析　因为＝2，
所以＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋，
设AB＝x，则＝2，
得37＝x2＋×x×9cos 60°＋×92，
即2x2＋9x－126＝0，
因为x>0，故解得x＝6，即AB＝6，
所以BC＝
＝＝3.
(2)已知平行四边形ABCD，证明：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
证明　取{，}为基底，设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b，
∴2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，
2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，
上面两式相加，得2＋2＝2(a2＋b2)，
∴AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)．
思维升华　用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
跟踪训练1　(1)(2020·全国Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若·＝1，则点C的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆
C．抛物线 D．直线
答案　A
解析　建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，
设点A，B的坐标分别为(－a,0)，(a,0)，点C为(x，y)，
则＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)，
所以·＝(x－a)(x＋a)＋y·y
＝x2＋y2－a2＝1，
整理得x2＋y2＝a2＋1.
因此点C的轨迹为圆．
(2)(多选)在四边形ABCD中，＝＝(6,8)，且＋＝，则下列结论成立的是(　　)
A．四边形ABCD为菱形
B．∠BAD＝120°
C．||＝10
D．||＝10
答案　ABD
解析　＝＝(6,8)，
则四边形ABCD为平行四边形，
设m，n，p都是单位向量，m＋n＝p，
则(m＋n)2＝p2，m2＋2m·n＋n2＝p2，
1＋2m·n＋1＝1，
则m·n＝－＝cos〈m，n〉，所以〈m，n〉＝120°，
因此由＋＝知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分线，因此四边形ABCD是菱形，而||＝10，所以||＝||＝10，||＝10.
题型二　和向量有关的最值(范围)问题
命题点1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2　(2022·广州模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若＝x＋y(x>0，y>0)，则的最大值为(　　)
A. B.
C．1 D．2
答案　A
解析　设BD，AE交于O，因为DE∥AB，
所以△AOB∽△EOD，所以＝＝2，
所以AO＝2OE，则＝，
所以＝x＋y＝x＋y，
因为O，F，B三点共线，
所以x＋y＝1，即2－3x＝2y，
所以＝＝，
因为x>0，y>0，
所以4y＋≥2＝4，
当且仅当4y＝，即y＝时等号成立，
此时x＝，
所以＝≤＝.
命题点2　与数量积有关的最值(范围)问题
例3　(2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则· 的取值范围是(　　)
A．(－2,6) B．(－6,2)
C．(－2,4) D．(－4,6)
答案　A
解析　如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(3，)，
F(－1，)．
设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(2,0)，
且－1所以·＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．
命题点3　与模有关的最值(范围)问题
例4　已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，则|2a－b|的最大值为________．
答案　4
解析　方法一　由题意得|a|＝1，|b|＝2，
a·b＝sin θ－cos θ
＝2sin，
所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b
＝4×12＋22－8sin
＝8－8sin.
所以|2a－b|2的最大值为8－8×(－1)＝16，
故|2a－b|的最大值为
4.
方法二　因为a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，
所以2a－b＝(2cos θ＋，2sin θ－1)，
所以|2a－b|＝
＝
＝.
故|2a－b|的最大值为＝4.
方法三　由题意得|2a－b|≤2|a|＋|b|＝2×1＋2＝4，当且仅当向量a，b方向相反时不等式取等号，故|2a－b|的最大值为4.
思维升华　向量求最值(范围)的常用方法
(1)利用三角函数求最值(范围)．
(2)利用基本不等式求最值(范围)．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．
(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．
跟踪训练2　(1)(2022·苏州模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平面内的点P满足|－－|＝1，则||的最小值为(　　)
A.－1 B．2－1 C．2－1 D.－1
答案　C
解析　因为|＋|2
＝2＋2＋2·
＝||2＋||2＋2||·||cos ＝12，
所以|＋|＝2，
由平面向量模的三角不等式可得
||＝|(－－)＋(＋)|≥
||－－|－|＋||＝2－1.
当且仅当－－与＋方向相反时，等号成立．
因此||的最小值为2－1.
(2)(2022·广东实验中学模拟)如图，在△ABC中，＝，点E在线段AD上移动(不含端点)，若＝λ＋μ，则＝________，λ2－2μ的最小值是________．
答案　2　－
解析　因为在△ABC中，＝，
所以＝2.
由向量定比分点公式得
＝＋，
即＝＋.
因为点E在线段AD上移动(不含端点)，
所以设＝x(0所以＝＋，
对比＝λ＋μ，
可得λ＝，μ＝.
得＝＝2；
代入λ＝，μ＝可得λ2－2μ＝2－2×
＝－(0根据二次函数性质知当x＝－＝时，
(λ2－2μ)min＝×2－×＝－.
课时精练
1．(2022·杭州模拟)边长为2的正△ABC内一点M(包括边界)满足：＝＋λ(λ∈R)，则·的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．[－2,2]
答案　B
解析　因为点M在△ABC内部(包括边界)，
所以0≤λ≤，
由·＝·(＋)
＝·
＝－2＋＋2λ＝－＋2λ∈.
2．设O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹经过△ABC的(　　)
A．内心 B．外心
C．垂心 D．重心
答案　C
解析　·＝·＋λ
＝·＋λ(－||＋||)
＝·.
则·－·＝0，
即·＝0，故AP⊥BC，
即点P的轨迹经过△ABC的垂心．
3．(2022·新余模拟)已知△ABC是顶角A为120°，腰长为2的等腰三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－1
答案　A
解析　如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA为y轴，D为坐标原点建立平面直角坐标系，
则A(0,1)，B(－，0)，C(，0)，设P(x，y)，
所以＝(－x,1－y)，＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)，
所以＋＝(－2x，－2y)，
·(＋)＝2x2－2y(1－y)
＝2x2＋22－≥－，
当P时，所求的最小值为－.
4.(2022·长沙长郡中学月考)如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A(前轮)，圆D(后轮)的半径均为，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为4的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，·的最大值为(　　)
A．18 B．24 C．36 D．48
答案　C
解析　骑行过程中，A，B，C，D，E相对不动，只有P点绕D点作圆周运动．
如图，以AD所在直线为x轴，E为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意得A(－4,0)，
B(－2,2)，C(2,2)，圆D方程为(x－4)2＋y2＝3，设P(4＋cos α，sin α)，
则＝(6,2)，＝(6＋cos α，sin α－2)，
·＝6(6＋cos α)＋2(sin α－2)＝6cos α＋6sin α＋24
＝12＋24
＝12sin＋24，
易知当sin＝1时，
·取得最大值36.
5．(2022·合肥模拟)P为双曲线x2－y2＝1左支上任意一点，EF为圆C：(x－2)2＋y2＝4的任意一条直径，则·的最小值为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．9
答案　C
解析　如图，圆C的圆心C为(2,0)，半径r＝2，
·＝(＋)·(＋)
＝(＋)·(－)
＝||2－||2＝||2－4，
则当点P位于双曲线左支的顶点时，||2－4最小，
即·最小．
此时·的最小值为(1＋2)2－4＝5.
6．(2022·上海模拟)已知在边长为1的正方形ABCD中，点P是对角线AC上的动点，点Q在以D为圆心、以1为半径的圆上运动，则·的取值范围为(　　)
A．[0,2] B．[1－，2]
C．[0，＋1] D．[1－，1＋]
答案　D
解析　如图分别以AB，AD所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，
设P(t，t)，Q(cos θ，1＋sin θ)，
∴＝(t，t)，
＝(cos θ，1＋sin θ)，t∈[0,1]，θ∈[0,2π)，
∴·＝tcos θ＋t＋tsin θ
＝t ，
∴·∈[1－，1＋]，
∴·的取值范围为[1－，1＋]．
7．(多选)(2022·武汉调研)如图，点A，B在圆C上，则·的值(　　)
A．与圆C的半径有关
B．与圆C的半径无关
C．与弦AB的长度有关
D．与点A，B的位置有关
答案　BC
解析　如图，连接AB，过C作CD⊥AB交AB于D，则D是AB的中点，
故·＝||·||·cos∠CAD
＝||·||·
＝||2，
故·的值与圆C的半径无关，只与弦AB的长度有关．
8．(多选)(2022·武汉模拟)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设△ABC中，点O，H，G分别是外心、垂心、重心．下列四个选项中结论正确的是(　　)
A.＝2
B.＋＋＝0
C．设BC边的中点为D，则有＝3
D.＝＝
答案　AB
解析　如图，
对于A项，由题意得＝2，AH⊥BC，
所以＝2，所以A选项正确；
对于B项，设D为BC的中点，＋＝2＝－，
所以＋＋＝0，所以B选项正确；
对于C项，因为D为BC的中点，G为△ABC的重心，
所以＝2，＝2，∠AGH＝∠DGO，
所以△AGH∽△DGO，
所以＝2，故C选项错误；
对于D项，向量，，的模相等，方向不同，故D选项错误．
9．(2022·潍坊模拟)已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.
答案　2
解析　由题意可得，||是正方形的对角线长，
故||＝，
又＋＝，
所以|a＋b＋c|＝2||＝2.
10．已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为________．
答案　6
解析　方法一　根据题意作出图象，如图所示，A(－2,0)，P(x，y)．
＝(2,0)，
＝(x＋2，y)，
所以·＝2(x＋2)＝2x＋4.
点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．
所以·的最大值为2＋4＝6.
方法二　如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，
所以可设P(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，
所以＝(2,0)，＝(cos α＋2，sin α)，
·＝2cos α＋4≤2＋4＝6，
当且仅当cos α＝1，即α＝0，P(1,0)时等号成立．
11．(2022·沈阳模拟)已知在面积为的△ABC中，sin2C＝sin2A＋sin2B－sin Asin B，＝3，P为AD上一点，且满足＝＋m，则||的最小值为________．
答案　1
解析　在△ABC中，设角A，B，C所对的边的长为a，b，c，
因为sin2C＝sin2A＋sin2B－sin Asin B，
所以由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，
则cos C＝＝，
所以C＝60°，因为A，P，D三点共线，
所以＝λ＋(1－λ)，
即＝λ＋(1－λ)·，
所以λ＝，即＝＋，
而S△ABC＝absin C＝ ab＝4，
所以||＝
＝
＝
≥
＝＝1，
当且仅当a＝3b时等号成立．
12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是矩形ABCD内的动点，且点P到点A的距离为1，则·的最小值为________．
答案　2－2
解析　如图，以A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则D(0,1)，C(2,1)，
设P(cos θ，sin θ)，
＝(2－cos θ，1－sin θ)，
＝(－cos θ，1－sin θ)，
∴·＝－2cos θ＋cos2θ＋1－2sin θ＋sin2θ
＝2－2(sin θ＋cos θ)
＝2－2sin，
∴当sin＝1，
即θ＝时，·取最小值，最小值为2－2.

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