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§1.1　集　合
考试要求　1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3.会求两个集合的并集、交集与补集.4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．
知识梳理
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 非负整数集(或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A B(或B A)．
(2)真子集：如果集合A B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A)．
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
　 表示 运算 集合语言 图形语言 记法
并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
补集 {x|x∈U，且x A} UA
常用结论
1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集．
2．A∩B＝A A B，A∪B＝A B A.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)集合{x∈N|x3＝x}，用列举法表示为{－1,0,1}．(　×　)
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　×　)
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或x＝1.(　×　)
(4)对任意集合A，B，都有(A∩B) (A∪B)．(　√　)
教材改编题
1．(多选)若集合A＝{x∈N|2x＋10>3x}，则下列结论正确的是(　　)
A．2 A B．8 A
C．{4}∈A D．{0} A
答案　AD
2．已知集合M＝{＋1，－2}，N＝{b,2}，若M＝N，则a＋b＝________.
答案　－1
解析　∵M＝N，∴
解得∴a＋b＝－1.
3．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}，则A∩B＝____________，A∪( UB)＝____________.
答案　{x|2≤x≤3}　{x|－2解析　∵全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x2≥4}＝{x|x≤－2或x≥2}，
∴ UB＝{x|－2∴A∩B＝{x|2≤x≤3}，A∪( UB)＝{x|－2题型一　集合的含义与表示
例1　(1)(2020·全国Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
答案　C
解析　A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，y≥x}＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，共4个元素．
(2)若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，则实数a＝________.
答案　0或1
解析　①当a－3＝－3时，a＝0，
此时A＝{－3，－1，－4}，
②当2a－1＝－3时，a＝－1，
此时A＝{－4，－3，－3}舍去，
③当a2－4＝－3时，a＝±1，由②可知a＝－1舍去，则当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，
综上，a＝0或1.
教师备选
若集合A＝{x|kx2＋x＋1＝0}中有且仅有一个元素，则实数k的取值集合是________．
答案　
解析　依题意知，方程kx2＋x＋1＝0有且仅有一个实数根，∴k＝0或
∴k＝0或k＝，
∴k的取值集合为.
思维升华　解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
跟踪训练1　(1)已知集合A＝，则集合A中的元素个数为(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
答案　C
解析　∵∈Z，
∴x－2的取值有－4，－2，－1,1,2,4，
∴x的值分别为－2,0,1,3,4,6，
又x∈N，故x的值为0,1,3,4,6.
故集合A中有5个元素．
(2)已知a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 023＋b2 023＝________.
答案　0
解析　∵{1，a＋b，a}＝且a≠0，
∴a＋b＝0，∴a＝－b，
∴{1,0，－b}＝{0，－1，b}，
∴b＝1，a＝－1，
∴a2 023＋b2 023＝0.
题型二　集合间的基本关系
例2　(1)设集合P＝{y|y＝x2＋1}，M＝{x|y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是(　　)
A．M＝P B．P∈M
C．M?P D．P?M
答案　D
解析　因为P＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}，M＝{x|y＝x2＋1}＝R，因此P?M.
(2)已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，且B A，则实数m的取值范围是________．
答案　[－1，＋∞)
解析　∵B A，
①当B＝ 时，2m－1>m＋1，解得m>2；
②当B≠ 时，
解得－1≤m≤2.
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．
延伸探究　在本例(2)中，若把B A改为B?A，则实数m的取值范围是________．
答案　[－1，＋∞)
解析　①当B＝ 时，2m－1>m＋1，∴m>2；
②当B≠ 时，
或
解得－1≤m≤2.
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞)．
教师备选
已知M，N均为R的子集，若N∪( RM)＝N，则(　　)
A．M N B．N M
C．M RN D． RN M
答案　D
解析　由题意知， RM N，其Venn图如图所示，
∴只有 RN M正确．
思维升华　(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
跟踪训练2　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x<0}，则满足A?C B的集合C的个数为(　　)
A．4 B．6
C．7 D．8
答案　C
解析　∵A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，
且A?C B，
∴集合C的所有可能为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}，共7个．
(2)已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值为________．
答案　0，±1
解析　∵M＝{－1,1}，且M∩N＝N，
∴N M.
若N＝ ，则a＝0；
若N≠ ，则N＝，
∴＝1或＝－1，
∴a＝±1
综上有a＝±1或a＝0.
题型三　集合的基本运算
命题点1　集合的运算
例3　(1)(2021·全国乙卷)已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T等于(　　)
A． B．S C．T D．Z
答案　C
解析　方法一　在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T S，
所以T∩S＝T.
方法二　S＝{…，－3，－1,1,3,5，…}，T＝{…，－3,1,5，…}，观察可知，T S，所以T∩S＝T.
(2)(2022·济南模拟)集合A＝{x|x2－3x－4≥0}，B＝{x|1＜x＜5}，则集合( RA)∪B等于(　　)
A．[－1,5) B．(－1,5)
C．(1,4] D．(1,4)
答案　B
解析　因为集合A＝{x|x2－3x－4≥0}＝{x|x≤－1或x≥4}，
又B＝{x|1＜x＜5}，
所以 RA＝(－1,4)，
则集合( RA)∪B＝(－1,5)．
命题点2　利用集合的运算求参数的值(范围)
例4　(1)(2022·厦门模拟)已知集合A＝{1，a}，B＝{x|log2x<1}，且A∩B有2个子集，则实数a的取值范围为(　　)
A．(－∞，0]
B．(0,1)∪(1,2]
C．[2，＋∞)
D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
答案　D
解析　由题意得，
B＝{x|log2x<1}＝{x|0∵A∩B有2个子集，
∴A∩B中的元素个数为1；
∵1∈(A∩B)，
∴a (A∩B)，即a B，∴a≤0或a≥2，
即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[2，＋∞)．
(2)已知集合A＝{x|3x2－2x－1≤0}，B＝{x|2aA．a<－或a>
B．a≤－或a≥
C．a<－或a>2
D．a≤－或a≥2
答案　B
解析　A＝{x|3x2－2x－1≤0}
＝，
①B＝ ，2a≥a＋3 a≥3，符合题意；
②B≠ ，或
解得a≤－或≤a<3.
∴a的取值范围是a≤－或a≥.
教师备选
(2022·铜陵模拟)已知A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，若A∩( RB)≠ ，则实数a的取值范围是(　　)
A．1≤a≤2 B．1C．a≤1或a≥2 D．a<1或a>2
答案　D
解析　A＝{x|x≤0或x≥3}，B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}，
所以 RB＝{x|a－1又A∩( RB)≠ ，
所以a－1<0或a＋1>3，
解得a<1或a>2，
所以实数a的取值范围是a<1或a>2.
思维升华　对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
跟踪训练3　(1)(2021·全国甲卷)设集合M＝{x|0A. B.
C．{x|4≤x<5} D．{x|0答案　B
解析　因为M＝{x|0N＝，
所以M∩N＝.
(2)(2022·南通模拟)设集合A＝{1，a＋6，a2}，B＝{2a＋1，a＋b}，若A∩B＝{4}，则a＝________，b＝________.
答案　2　2
解析　由题意知，4∈A，所以a＋6＝4或a2＝4，
当a＋6＝4时，则a＝－2，得A＝{1,4,4}，故应舍去；
当a2＝4时，则a＝2或a＝－2(舍去)，
当a＝2时，A＝{1,4,8}，B＝{5,2＋b}，
又4∈B，所以2＋b＝4，得b＝2.
所以a＝2，b＝2.
题型四　集合的新定义问题
例5　(1)已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为(　　)
A．15 B．16 C．20 D．21
答案　D
解析　由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.
(2)非空数集A如果满足：①0 A；②若 x∈A，有∈A，则称A是“互倒集”．给出以下数集：①{x∈R|x2＋ax＋1＝0}；②{x|x2－6x＋1≤0}；③，其中是“互倒集”的序号是________．
答案　②③
解析　①中，{x∈R|x2＋ax＋1＝0}，二次方程判别式Δ＝a2－4，故－2②中，{x|x2－6x＋1≤0}，
即{x|3－2≤x≤3＋2}，
显然0 A，
又≤≤，
即3－2≤≤3＋2，
故也在集合中，符合题意；
③中，，
易得，0 A，
又≤≤2，故也在集合A中，符合题意．
教师备选
对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝____________.
答案　{x|－3≤x＜0或x>3}
解析　∵A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，
∴A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x＜0}．
∴A*B＝{x|－3≤x＜0或x>3}．
思维升华　解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
跟踪训练4　若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________．
答案　27
解析　不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，
当A1＝ 时，A2＝{1,2,3}，
当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，
同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种，
当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，
同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种，
当A1＝{1,2,3}时，A2可为A1的子集，共8种，
故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27(种)不同的分拆．
课时精练
1．(2021·全国乙卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{1,2}，集合N＝{3,4}，则 U(M∪N)等于(　　)
A．{5} B．{1,2}
C．{3,4} D．{1,2,3,4}
答案　A
解析　方法一　(先求并再求补)因为集合M＝{1,2}，N＝{3,4}，所以M∪N＝{1,2,3,4}．
又全集U＝{1,2,3,4,5}，
所以 U(M∪N)＝{5}．
方法二　(先转化再求解)因为 U(M∪N)＝( UM)∩( UN)， UM＝{3,4,5}， UN＝{1,2,5}，所以 U(M∪N)＝{3,4,5}∩{1,2,5}＝{5}．
2．已知集合U＝R，集合A＝{x|>2}，B＝{y|y＝x2＋2}，则A∩( U B)等于(　　)
A．R B．(1,2]
C．(1,2) D．[2，＋∞)
答案　C
解析　A＝{x|>2}＝(1，＋∞)，
B＝{y|y＝x2＋2}＝[2，＋∞)，
∴ UB＝(－∞，2)，
∴A∩( UB)＝(1,2)．
3．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{(x，y)|x∈M，y∈M，x＋y∈M}，则集合N中的元素个数为(　　)
A．2 B．3 C．8 D．9
答案　B
解析　由题意知，集合N＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，所以集合N的元素个数为3.
4．(2022·青岛模拟)已知集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集的元素之和等于9，则a1＋a2＋a3等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．6
答案　C
解析　集合A＝{a1，a2，a3}的所有非空真子集为{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}，
则所有非空真子集的元素之和为
a1＋a2＋a3＋a1＋a2＋a1＋a3＋a2＋a3＝3(a1＋a2＋a3)＝9，
所以a1＋a2＋a3＝3.
5．(2022·浙江名校联考)已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<－2 B．a≤－2
C．a>－4 D．a≤－4
答案　D
解析　集合A＝{x|－2≤x≤2}，
B＝，由A∪B＝B可得A B，作出数轴如图．
可知－≥2，即a≤－4.
6．(多选)已知集合P＝{(x，y)|x＋y＝1}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，则下列说法正确的是(　　)
A．P∪Q＝R
B．P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}
C．P∩Q＝{(x，y)|x＝0或1，y＝0或1}
D．P∩Q的真子集有3个
答案　BD
解析　联立
解得或
∴P∩Q＝{(1,0)，(0,1)}，
故B正确，C错误；
又P，Q为点集，∴A错误；
又P∩Q有两个元素，∴P∩Q有3个真子集，
∴D正确．
7．(多选)(2022·重庆北碚区模拟)已知全集U＝{x∈N|log2x<3}，A＝{1,2,3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，则集合B可能为(　　)
A．{2,3,4} B．{3,4,5}
C．{4,5,6} D．{3,5,6}
答案　BD
解析　由log2x<3得0于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，
因为 U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，
则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确；
对于A选项，若B＝{2,3,4}，
则A∩B＝{2,3}， U(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，
矛盾，A不正确；
对于B选项，若B＝{3,4,5}，
则A∩B＝{3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，
B正确；
对于D选项，若B＝{3,5,6}，
则A∩B＝{3}， U(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，
D正确．
8．(多选)已知全集U的两个非空真子集A，B满足( UA)∪B＝B，则下列关系一定正确的是(　　)
A．A∩B＝ B．A∩B＝B
C．A∪B＝U D．( UB)∪A＝A
答案　CD
解析　令U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，
满足( UA)∪B＝B，
但A∩B≠ ，A∩B≠B，故A，B均不正确；
由( UA)∪B＝B，知 UA B，
∴U＝A∪( UA) (A∪B)，∴A∪B＝U，
由 UA B，知 UB A，
∴( UB)∪A＝A，故C，D均正确．
9．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若 UA＝{1,2}，则实数m＝________.
答案　－3
解析　由题意可知，
A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0,3}，
即0,3为方程x2＋mx＝0的两个根，
所以m＝－3.
10．(2022·石家庄模拟)已知全集U＝R，集合M＝{x∈Z||x－1|<3}，N＝{－4，－2,0,1,5}，则下列Venn图中阴影部分的集合为________．
答案　{－1,2,3}
解析　集合M＝{x∈Z||x－1|<3}＝{x∈Z|－3Venn图中阴影部分表示的集合是M∩( RN)＝{－1,2,3}．
11．已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，则A∪B＝________.
答案　{－5，－2,4}
解析　∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，
若m＝－2，则A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，
∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2,4}；
若m－3＝－2，则m＝1，
∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，
∴A∩B＝{1，－2}(舍去)，
综上，有A∪B＝{－5，－2,4}．
12．已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1答案　[2，＋∞)
解析　由已知可得A＝(－∞，a)，
RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，
∵( RB)∪A＝R，∴a≥2.
13．若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为(　　)
A．15 B．16
C．32 D．256
答案　A
解析　由题意知，满足“伙伴关系”的集合由以下元素构成：－1,1，，2，，3，其中和2，和3必须同时出现，所有满足条件的集合个数为24－1＝15.
14．已知集合A＝{x|8答案　
解析　当B＝ 时，2a－1≤a，
解得a≤1，此时 UB＝U，
( UB)∩A＝U∩A＝{x|8当B≠ 时，2a－1>a，解得a>1，
因为集合U＝{x|0B＝{x|a所以 UB＝{x|0因为( UB)∩A＝{x|8所以2a－1≤8，解得a≤，
所以B≠ 时，1综上所述，实数a的取值范围是.
15．(多选)设集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈N*}，若x1∈A，x2∈A，x1?x2∈A，则运算?可能是(　　)
A．加法 B．减法
C．乘法 D．除法
答案　AC
解析　由题意可设x1＝m1＋n1，
x2＝m2＋n2，
其中m1，m2，n1，n2∈N*，
则x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)，
x1＋x2∈A，
所以加法满足条件，A正确；
x1－x2＝(m1－m2)＋(n1－n2)，
当n1＝n2时，x1－x2 A，
所以减法不满足条件，B错误；
x1x2＝m1m2＋3n1n2＋(m1n2＋m2n1)，
x1x2∈A，
所以乘法满足条件，C正确；
＝，当＝＝λ(λ>0)时， A，
所以除法不满足条件，D错误．
16．对班级40名学生调查对A，B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A，B都赞成的学生有___________人．
答案　18
解析　赞成A的人数为40×＝24，
赞成B的人数为24＋3＝27，
设对A，B都赞成的学生有x人，
则x＋1＋27－x＋x＋24－x＝40，
解得x＝18.

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