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§1.3　等式性质与不等式性质
考试要求　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用．
知识梳理
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b b性质2　传递性：a>b，b>c a>c；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5　同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．若ab>0，且a>b <.
2．若a>b>0，m>0 <；
若b>a>0，m>0 >.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，则b>a.(　×　)
(3)若x>y，则x2>y2.(　×　)
(4)若>，则b教材改编题
1．(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　)
A． B.>
C.> D．ac3答案　ABC
解析　因为y＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以，A正确；
因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以>，B正确；
因为－＝>0，所以>，C正确；
当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不正确．
2．已知M＝x2－3x，N＝－3x2＋x－3，则M，N的大小关系是________．
答案　M>N
解析　M－N＝(x2－3x)－(－3x2＋x－3)
＝4x2－4x＋3＝(2x－1)2＋2>0，
∴M>N.
3．已知－1答案　(－7,12)
解析　∵－3又－1∴－7题型一　比较两个数(式)的大小
例1　(1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)
A．pq D．p≥q
答案　B
解析　p－q＝＋－a－b
＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p综上，p≤q.
(2)(2022·菏泽模拟)已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是(　　)
A．a>b>c B．c>a>b
C．c>b>a D．a>c>b
答案　C
解析　a5＝5a，即＝，
b4＝4b，即＝，
c3＝3c，即＝，
设f(x)＝，
则f(a)＝f(5)，f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，
f′(x)＝(x>0)，
当x>e时，f′(x)<0，f(x)＝单调递减，
当0f′(x)>0，f(x)＝单调递增，
因为a，b，c∈(0,3)，f(a)＝f(5)，
f(b)＝f(4)，f(c)＝f(3)，
所以a，b，c∈(0，e)，因为f(5)所以f(a)教师备选
已知M＝，N＝，则M，N的大小关系为________．
答案　M>N
解析　方法一　M－N＝－
＝
＝
＝>0.
∴M>N.
方法二　令f(x)＝
＝＝＋，
显然f(x)是R上的减函数，
∴f(2 021)>f(2 022)，即M>N.
思维升华　比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
跟踪训练1　(1)已知0A．M>N B．MC．M＝N D．不能确定
答案　A
解析　∵0∴1＋a>0,1＋b>0,1－ab>0.
∴M－N＝＋＝>0，
∴M>N.
(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为________．
答案　eπ·πe解析　＝＝π－e，
又0<<1,0<π－e<1，
∴π－e<1，即<1，即eπ·πe题型二　不等式的性质
例2　(1)(2022·滨州模拟)下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b，则ac2>bc2
B．若aC．若c>a>b>0，则<
D．若a>b>c>0，则>
答案　D
解析　对于A选项，当c＝0时，显然不成立，故A选项为假命题；
对于B选项，当a＝－3，b＝－2时，满足a对于C选项，当c＝3，a＝2，b＝1时，＝>＝，故C选项为假命题；
对于D选项，由于a>b>c>0，所以－＝＝＝>0，即>，故D选项为真命题．
(2)(多选)若<<0，则下列不等式正确的是(　　)
A.< B．|a|＋b>0
C．a－>b－ D．ln a2>ln b2
答案　AC
解析　由<<0，可知bA中，因为a＋b<0，ab>0，所以<0，>0.故有<，即A正确；
B中，因为b－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；
C中，因为b－>0，所以a－>b－，故C正确；
D中，因为ba2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误．
教师备选
若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式恒成立的是(　　)
A.< B．a2>b2
C．a|c|>b|c| D.>
答案　D
解析　对于A，若a>0>b，则>，
故A错误；
对于B，取a＝1，b＝－2，则a2对于C，若c＝0，a|c|＝b|c|，故C错误；
对于D，因为c2＋1≥1，所以>0，又a>b，
所以>，故D正确．
思维升华　判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
跟踪训练2　(1)(2022·珠海模拟)已知a，b∈R，满足ab<0，a＋b>0，a>b，则(　　)
A.< B.＋>0
C．a2>b2 D．a<|b|
答案　C
解析　因为ab<0，a>b，则a>0，b<0，>0，<0，A不正确；
<0，<0，则＋<0，B不正确；
又a＋b>0，即a>－b>0，则a2>(－b)2，a2>b2，
C正确；
由a>－b>0得a>|b|，D不正确．
(2)(多选)设a>b>1>c>0，下列四个结论正确的是(　　)
A.>
B．bac>abc
C．(1－c)a<(1－c)b
D．logb(a＋c)>loga(b＋c)
答案　CD
解析　由题意知，a>b>1>c>0，
所以对于A，ac>bc>0，
故<，所以A错误；
对于B，取a＝3，b＝2，c＝，
则bac＝2，abc＝3，
所以bac对于C，因为0<1－c<1，且a>b，
所以(1－c)a<(1－c)b，故C正确；
对于D，a＋c>b＋c>1，
所以logb(a＋c)>logb(b＋c)>loga(b＋c)，
故D正确．
题型三　不等式性质的综合应用
例3　(1)已知－1答案　(－4,2)　(1,18)
解析　∵－1∴－3<－y<－2，
∴－4由－1得－3<3x<12,4<2y<6，
∴1<3x＋2y<18.
延伸探究　若将本例(1)中条件改为－1解　设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则∴
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，
又∵－1∴－<(x＋y)<10,1<(x－y)<，
∴－<(x＋y)＋(x－y)<，
即－<3x＋2y<，
∴3x＋2y的取值范围为.
(2)已知3答案　
解析　∵4∴<<，
又3∴×3<<×8，
即<<2.
教师备选
已知0<β<α<，则α－β的取值范围是________．
答案　
解析　∵0<β<，∴－<－β<0，
又0<α<，∴－<α－β<，
又β<α，∴α－β>0，
即0<α－β<.
思维升华　求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．
跟踪训练3　(1)已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则的取值范围是(　　)
A．－3<<－1 B．－1<<－
C．－2<<－1 D．－1<<－
答案　A
解析　因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0，b＝－2a－c，
因为a>b>c，
所以－2a－c－c，解得>－3，
将b＝－2a－c代入b>c中，得－2a－c>c，
即a<－c，得<－1，所以－3<<－1.
(2)已知1答案　(－2,0)　
解析　∵1又1∴－2∴a－b<0，
∴－2又<<，
∴<<1，又>，∴<<1.
综上所述，a－b的取值范围为(－2,0)；的取值范围为.
课时精练
1．(2022·长春模拟)已知a>0，b>0，M＝，N＝＋，则M与N的大小关系为(　　)
A．M>N B．MC．M≤N D．M，N大小关系不确定
答案　B
解析　M2－N2＝(a＋b)－(a＋b＋2)
＝－2<0，
∴M2．已知非零实数a，b满足aA．a2C.< D.<
答案　C
解析　若ab2，故A不成立；
若
则a2b若a＝1，b＝2，则＝2，＝，>，故D不成立，由不等式的性质知，C正确．
3．已知－3A．(1,3) B.
C. D.
答案　A
解析　因为－3而34．若a>1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是(　　)
A．n>m>p B．m>p>n
C．m>n>p D．p>m>n
答案　B
解析　由a>1知，a2＋1－2a＝(a－1)2>0，
即a2＋1>2a，而2a－(a＋1)＝a－1>0，即2a>a＋1，
∴a2＋1>2a>a＋1，而y＝logax在定义域上单调递增，
∴m>p>n.
5．(2022·杭州模拟)若aA．ln(a－b)>0
B．2b－a>1
C．－>－
D．logca>logcb(c>0且c≠1)
答案　C
解析　指数函数y＝x在(－∞，＋∞)上单调递减，
由ab>0.
所以<，
则－>－，故C正确；
a－b>0，但不一定有a－b>1，
则不一定有ln(a－b)>0，故A错误；
函数y＝2x在(－∞，＋∞)上单调递增，b－a<0.
则2b－a<20＝1，故B错误；
当0则logca6．(多选)(2022·济宁模拟)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是(　　)
A．xy>yz B．xy>xz
C．xz>yz D．x|y|>|y|z
答案　ACD
解析　因为x>y>z，x＋y＋z＝0，
所以x>0，z<0，y的符号无法确定，
对于A，因为x>0>z，若y<0，则xy<0故A错误；
对于B，因为y>z，x>0，所以xy>xz，故B正确；
对于C，因为x>y，z<0，所以xz对于D，因为x>z，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，
故D错误．
7．(多选)设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的有(　　)
A．c2＜cd B．a－c＜b－d
C．ac＜bd D.－＞0
答案　AD
解析　因为a＞b＞0＞c＞d，
所以a>b>0,0>c>d，
对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，
则a－c＝3，b－d＝3，
所以a－c＝b－d，故选项B错误；
对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，
则ac＝－2，bd＝－2，
所以ac＝bd，故选项C错误；
对于D，因为a>b>0，d所以>，
故－＞0，故选项D正确．
8．(多选)若0c>1，则(　　)
A.a>1 B.>
C．ca－1答案　AD
解析　对于A，∵b>c>1，∴>1.
∵00＝1，
故选项A正确；
对于B，若>，
则bc－ab>bc－ac，即a(c－b)>0，这与0c>1矛盾，故选项B错误；
对于C，∵0∵b>c>1，∴ca－1>ba－1，故选项C错误；
对于D，∵0c>1，
∴logca9．已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N．(填“>”“<”或“＝”)
答案　>
解析　M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π
＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3>0，
故M>N.
10．(2022·烟台模拟)若<<0，已知下列不等式：①a＋b|b|；③a2.其中正确的不等式的序号为________．
答案　①④
解析　因为<<0，
所以b所以a＋b<0所以|a|<|b|，故②错误；
所以>0，>0且均不为1，＋≥2＝2，当且仅当＝＝1时，等号成立，
所以＋>2，故④正确．
11．若0答案　a<2ab<解析　方法一　令a＝，b＝，
则2ab＝，a2＋b2＝＋＝，
故a<2ab<方法二　∵0∴a<1且2a<1，
∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a
＝－22＋<，
即a<2ab<.
又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab>1－＝，
即a2＋b2>.∵∴(a2＋b2)－b＝[(1－b)2＋b2]－b＝2b2－3b＋1＝(2b－1)(b－1)<0，
即a2＋b2综上可知a<2ab<12．(2022·上海模拟)设实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是________．
答案　27
解析　＝·＝2·≤81×＝27，
当且仅当＝9，xy2＝3，即x＝3，y＝1时等号成立．
13．(多选)(2022·长沙模拟)设实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则下列不等式成立的是(　　)
A．cC．b≤a D．a答案　BD
解析　∵
两式相减得2b＝2a2＋2，
即b＝a2＋1，∴b≥1.
又b－a＝a2＋1－a＝2＋>0，
∴b>a.
而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，
∴c≥b，从而c≥b>a.
14．实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d>c；②a＋b＝c＋d；③a＋d那么a，b，c，d的大小关系是________．
答案　b>d>c>a
解析　由题意知d>c①，②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得ad⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a.
15．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则的取值范围是________．
答案　
解析　因为f(1)＝0，所以a＋b＋c＝0，
所以b＝－(a＋c)．又a>b>c，
所以a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0，
所以1>－>，即1>－1－>.
所以解得－2<<－.
即的取值范围为.
16．某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：
(1)男学生人数多于女学生人数；
(2)女学生人数多于教师人数；
(3)教师人数的两倍多于男学生人数．
①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．
②该小组人数的最小值为________．
答案　①6　②12
解析　设男学生人数为x，女学生人数为y，教师人数为z，由已知得且x，y，z均为正整数．
①当z＝4时，8>x>y>4，∴x的最大值为7，y的最大值为6，故女学生人数的最大值为6.
②x>y>z>，当x＝3时，条件不成立，当x＝4时，条件不成立，当x＝5时，5>y>z>，此时z＝3，y＝4.
∴该小组人数的最小值为12.