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§1.4　基本不等式
考试要求　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用．
知识梳理
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)不等式ab≤2与≤等号成立的条件是相同的．(　×　)
(2)y＝x＋的最小值是2.(　×　)
(3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　√　)
(4)函数y＝sin x＋，x∈的最小值为4.(　×　)
教材改编题
1．已知x>2，则x＋的最小值是(　　)
A．1 B．2 C．2 D．4
答案　D
解析　 ∵x>2，
∴x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝4，
当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．
2．(多选)若a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　)
A.＋≥2
B．ab≤
C.≥2
D.≤
答案　BC
解析　当<0时，A不成立；
当ab<0时，D不成立．
3．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
答案　25
解析　设矩形的一边为x m，面积为y m2，
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
其中0∴y＝x(10－x)≤2＝25，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，
∴ymax＝25，
即矩形场地的最大面积是25 m2.
题型一　利用基本不等式求最值
命题点1　配凑法
例1　(1)(2022·长沙模拟)设0A. B．4
C. D．9
答案　C
解析　y＝4x(3－2x)＝2·2x·(3－2x)≤2·2＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号，
∴当x＝时，ymax＝.
(2)若x<，则f(x)＝3x＋1＋有(　　)
A．最大值0 B．最小值9
C．最大值－3 D．最小值－3
答案　C
解析　∵x<，∴3x－2<0，
f(x)＝3x－2＋＋3
＝－＋3
≤－2＋3＝－3.
当且仅当2－3x＝，即x＝－时取“＝”．
(3)(2022·天津模拟)函数y＝(x>－1)的最小值为________．
答案　9
解析　因为x>－1，则x＋1>0，
所以y＝
＝
＝(x＋1)＋＋5
≥2＋5＝9，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立，
所以函数的最小值为9.
命题点2　常数代换法
例2　(2022·重庆模拟)已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则＋的最小值是(　　)
A．1 B．2
C. D.
答案　C
解析　因为a>0，b>0，且a＋b＝2，
所以＝1，
所以＋＝(a＋b)
＝
≥×
＝，
当且仅当a＝，b＝时，等号成立．
命题点3　消元法
例3　(2022·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为_____．
答案　6
解析　方法一　(换元消元法)
由已知得9－(x＋3y)＝·x·3y≤·2，当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号．
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
方法二　(代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
所以x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6
＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即y＝1，x＝3时取等号，
所以x＋3y的最小值为6.
延伸探究　本例条件不变，求xy的最大值．
解　方法一　9－xy＝x＋3y≥2，
∴9－xy≥2，
令＝t，
∴t>0，
∴9－t2≥2t，
即t2＋2t－9≤0，
解得0∴≤，∴xy≤3，
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，∴xy的最大值为3.
方法二　∵x＝，
∴x·y＝·y＝
＝
＝－3(y＋1)－＋15≤－2＋15＝3.
当且仅当3(y＋1)＝，即y＝1，x＝3时取等号．
∴xy的最大值为3.
教师备选
1．(2022·哈尔滨模拟)已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，则当x＋y取得最小值时，y等于(　　)
A．16 B．6 C．18 D．12
答案　B
解析　因为x>0，y>0,2x＋8y＝xy，
所以＋＝1，
所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋
≥10＋2＝10＋2×4＝18，
当且仅当即时取等号，
所以当x＋y取得最小值时，y＝6.
2．已知函数f(x)＝(x<－1)，则(　　)
A．f(x)有最小值4
B．f(x)有最小值－4
C．f(x)有最大值4
D．f(x)有最大值－4
答案　A
解析　f(x)＝＝
＝－＝－
＝－(x＋1)＋＋2.
因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
所以f(x)≥2＋2＝4，
当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立．
故f(x)有最小值4.
思维升华　(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．
(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝＋x(2x>1)，则f(x)的最小值为________．
答案　
解析　∵2x>1，∴x－>0，
f(x)＝＋x＝＋x－＋
≥2＋
＝2＋＝，
当且仅当＝x－，即x＝时取“＝”．
∴f(x)的最小值为.
(2)(2022·襄阳模拟)若实数x>1，y>且x＋2y＝3，则＋的最小值为________．
答案　4
解析　令x－1＝m,2y－1＝n，
则m>0，n>0且m＋n＝x－1＋2y－1＝1，
∴＋＝＋
＝(m＋n)
＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当＝，即m＝n＝时取“＝”．
∴＋的最小值为4.
题型二　基本不等式的常见变形应用
例4　(1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0)
B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
答案　D
解析　由图形可知，OF＝AB＝(a＋b)，
OC＝(a＋b)－b＝(a－b)，
在Rt△OCF中，由勾股定理可得，
CF＝＝，
∵CF≥OF，
∴≥(a＋b)(a>0，b>0)．
(2)(2022·广州模拟)已知01，则下列不等式中成立的是(　　)
A．a＋b<
B.<
C.<2
D．a＋b<
答案　D
解析　对于选项A，因为01，
所以(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2>4ab，故选项A错误；
对于选项B，>＝，故选项B错误；
对于选项C，>＝2，
故选项C错误；
对于选项D,2a2＋2b2>a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
所以a＋b<，故选项D正确．
教师备选
若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)
A．a2＋b2>2ab
B．a＋b≥2
C.＋>
D.＋≥2
答案　D
解析　a2＋b2≥2ab，所以A错误；
ab>0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，
所以当a<0，b<0时，B错误；同时C错误；
或都是正数，根据基本不等式求最值，
＋≥2＝2，故D正确．
思维升华　基本不等式的常见变形
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0)．
跟踪训练2　(1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p：a>b>0，命题q：>2，则p是q成立的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　∵a>b>0，则a2＋b2>2ab，
∴2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab，
∴2(a2＋b2)>(a＋b)2，
∴>2，
∴由p可推出q，
当a<0，b<0时，命题q成立，
如a＝－1，b＝－3时，＝5>2＝4，
∴由q推不出p，
∴p是q成立的充分不必要条件．
(2)(2022·漳州质检)已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是(　　)
A. B.＋
C. D.
答案　B
解析　∵a，b为互不相等的正实数，
∴＋>，
<＝<，
<＝<，
∴最大的是＋.
题型三　基本不等式的实际应用
例5　小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
解　(1)设大货车运输到第x年年底，
该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50＝－x2＋20x－50(0由－x2＋20x－50>0，可得10－5因为2<10－5<3，
所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出．
(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，
所以二手车出售后，
小王的年平均利润为＝19－≤19－2＝9，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立，
所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．
教师备选
某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________ cm2.
答案　72 600
解析　设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，
由题意可得3ab＝60 000，
所以ab＝20 000，即b＝，
所以该海报的高为(a＋20)cm，
宽为(3b＋10×2＋5×2)cm，即(3b＋30)cm，
所以整个矩形海报面积
S＝(a＋20)(3b＋30)＝3ab＋30a＋60b＋600
＝30(a＋2b)＋60 600＝30＋60 600≥30×2＋60 600
＝30×400＋60 600＝72 600，
当且仅当a＝，即a＝200时等号成立，
所以当广告栏目的高为200 cm，宽为100 cm时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72 600 cm2.
思维升华　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
跟踪训练3　网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．
答案　37.5
解析　由题意知t＝－1(1当且仅当x＝时取等号，
即最大月利润为37.5万元．
柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．
1．(柯西不等式的代数形式)设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
当且仅当ad＝bc时，等号成立．
推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，
则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2
(当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立)．
2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
3．(柯西不等式的三角不等式)设x1，y1，x2，y2，x3，y3为任意实数，则：
＋
≥.
一、利用柯西不等式求最值
例1　已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值为________．
答案　
解析　(x＋3y)2≤(4x2＋y2)，
所以4x2＋y2≥16×＝，
当且仅当y＝12x时，等号成立，
所以4x2＋y2的最小值为.
例2　已知正实数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝1，正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝9，则ax＋by＋cz的最大值为________．
答案　3
解析　(ax＋by＋cz)2≤(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)＝9，
∴ax＋by＋cz≤3，
当且仅当a＝3x，b＝3y，c＝3z时取“＝”，
∴ax＋by＋cz的最大值为3.
例3　函数y＝5＋的最大值为________．
答案　6
解析　y2＝(5＋)2＝(5＋·)2≤(52＋2)(x－1＋5－x)＝108，当且仅当x＝时等号成立，∴y≤6.
二、利用柯西不等式证明不等式
例4　已知a1，a2，b1，b2为正实数，求证：(a1b1＋a2b2)·≥(a1＋a2)2.
证明　(a1b1＋a2b2)
＝[()2＋()2]
≥2
＝(a1＋a2)2.
当且仅当b1＝b2时，等号成立．
例5　已知a1，a2，…，an都是实数，求证：
(a1＋a2＋…＋an)2≤a＋a＋…＋a.
证明　根据柯西不等式，有(a＋a＋…＋a)≥(1×a1＋1×a2＋…＋1×an)2，
所以(a1＋a2＋…＋an)2≤a＋a＋…＋a.
课时精练
1．下列函数中，最小值为2的是(　　)
A．y＝x＋
B．y＝
C．y＝ex＋e－x
D．y＝log3x＋logx3(0答案　C
解析　当x<0时，y＝x＋<0，故A错误；
y＝＝＋≥2，
当且仅当＝，
即x2＝－1时取等号，
∵x2≠－1，故B错误；
y＝ex＋e－x≥2＝2，
当且仅当ex＝e－x，
即x＝0时取等号，故C正确；
当x∈(0,1)时，y＝log3x<0，故D错误．
2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A．13 B．12 C．9 D．6
答案　C
解析　由椭圆C：＋＝1，
得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，
则|MF1|·|MF2|≤2＝32＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．
3．(2022·苏州模拟)若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝＋，x∈取得最小值时x的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　f(x)＝＋＝＋
≥＝25，
当且仅当＝，即x＝时等号成立．
4．(2022·重庆模拟)已知x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，则x＋y的最小值是(　　)
A．1 B．4
C．7 D．3＋
答案　C
解析　∵x>2，y>1，(x－2)(y－1)＝4，
∴x＋y＝(x－2)＋(y－1)＋3≥
2＋3＝7，
当且仅当时等号成立．
5．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案　B
解析　已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9，
∵(x＋y)＝1＋a＋＋
≥a＋2＋1，
当且仅当y＝x时，等号成立，
∴a＋2＋1≥9，
∴≥2或≤－4(舍去)，∴a≥4，
即正实数a的最小值为4.
6．(2022·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是(　　)
A．第一种方案更划算 B．第二种方案更划算
C．两种方案一样 D．无法确定
答案　B
解析　设小李这两次加油的油价分别为x元/升、y元/升(x≠y)，则
方案一：两次加油平均价格为
＝>，
方案二：两次加油平均价格为
＝<，
故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．
7．(多选)(2022·重庆渝中区模拟)已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式成立的有(　　)
A．2a＋2b≥2 B．a2＋b2<1
C.＋<4 D．a＋<2
答案　AB
解析　∵2a＋2b≥2＝2＝2，当且仅当a＝b时取等号，∴A正确；
∵a2＋b2∴B正确；
∵＋＝(a＋b)＝2＋＋
≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b时取等号，∴C错误；
∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴0∵a＋≥2＝2，当且仅当a＝1时取等号，
∴a＋>2，D错误．
8．(多选)设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a＋b＋≥2 B.>
C.≥a＋b D．(a＋b)≥4
答案　ACD
解析　因为a>0，b>0，
所以a＋b＋≥2＋≥2，
当且仅当a＝b且2＝，
即a＝b＝时取等号，故A正确；
因为a＋b≥2>0，
所以≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
故B错误；
因为≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以＝＝a＋b－≥
2－＝，当且仅当a＝b时取等号，
所以≥，即≥a＋b，故C正确；
因为(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号，故D正确．
9．若0答案　2
解析　∵0∴x＝≤＝2，
当且仅当x2＝4－x2，即x＝时取“＝”．
10．(2022·百师联盟联考)已知a>0，b>0，且a＋2b＝2ab，则ab的最小值为________，2a＋b的最小值为________．
答案　2　
解析　∵a＋2b＝2ab，
∴2ab≥2，即ab≥2，
当且仅当a＝2b，即b＝1，a＝2时等号成立，
故ab的最小值为2.
∵a＋2b＝2ab，
∴＋＝2，
∵2a＋b＝(2a＋b)··
＝
≥(5＋2)＝，
当且仅当＝，即a＝b＝时等号成立，
∴2a＋b的最小值为.
11．(2022·郴州模拟)习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键，要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{an}(单位：万元，n∈N*)，每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金a1的3倍，已知a＋a＝72.则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为________万元．
答案　120
解析　由题意得，五年累计总投入资金为
a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋5×3a1＝5a3＋15a1
＝5(a3＋3a1)＝10(a1＋a2)，
而10(a1＋a2)＝10
≤10＝120，
当且仅当a1＝a2时等号成立，
∴预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元．
12．已知p：存在实数x，使4x＋2x·m＋1＝0成立，若綈p是假命题，则实数m的取值范围是________．
答案　(－∞，－2]
解析　∵綈p为假命题，∴p为真命题，
即关于x的方程4x＋2x·m＋1＝0有解．
由4x＋2x·m＋1＝0，
得m＝－2x－＝－
≤－2＝－2，
当且仅当2x＝，即x＝0时，取等号．
∴m的取值范围为(－∞，－2]．
13．(2022·合肥质检)若△ABC的内角满足sin B＋sin C＝2sin A，则(　　)
A．A的最大值为
B．A的最大值为
C．A的最小值为
D．A的最小值为
答案　A
解析　∵sin B＋sin C＝2sin A.
∴b＋c＝2a.
由余弦定理知
cos A＝＝
＝≥＝，
当且仅当b＝c时取等号．
又A∈(0，π)，
∴014．(2022·南京模拟)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的取值范围是________．
答案　
解析　∵x2＋y2＋xy＝1 xy＝(x＋y)2－1，
又∵xy≤2，
∴(x＋y)2－1≤2，令x＋y＝t，
则4t2－4≤t2，∴－≤t≤，
即－≤x＋y≤，当且仅当x＝y时，取等号，
∴x＋y的取值范围是.
15．(2022·重庆沙坪坝区模拟)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则＋的最小值为________．
答案　3＋2
解析　因为x>0，y>0且x＋y＝xy，
则xy＝x＋y>y，即有x>1，同理y>1，
由x＋y＝xy得，(x－1)(y－1)＝1，
于是得＋＝1＋＋2＋
＝3＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当＝，
即x＝1＋，y＝1＋时取“＝”，
所以＋的最小值为3＋2.
16．设a>b>0，则a2＋＋的最小值是________．
答案　4
解析　∵a>b>0，∴a－b>0，
∴a(a－b)>0，a2＋＋
＝a2＋ab－ab＋＋
＝a2－ab＋＋ab＋
＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4，
当且仅当
即a＝，b＝时等号成立．
∴a2＋＋的最小值是4.

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