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§1.5　一元二次方程、不等式
考试要求　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法．
知识梳理
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x12.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　√　)
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　×　)
(4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　×　)
教材改编题
1．若集合A＝{x|x2－9x>0}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∪B等于(　　)
A．R
B．{x|x>－1}
C．{x|x<3或x>9}
D．{x|x<－1或x>3}
答案　C
解析　A＝{x|x>9或x<0}，B＝{x|－1∴A∪B＝{x|x<3或x>9}．
2．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝________.
答案　－14
解析　依题意知
解得
∴a＋b＝－14.
3．一元二次不等式ax2＋ax－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　(－4,0)
解析　依题意知即
∴－4题型一　一元二次不等式的解法
命题点1　不含参的不等式
例1　(1)不等式－2x2＋x＋3<0的解集为(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，
即(x＋1)(2x－3)>0，
∴x<－1或x>.
(2)(多选)已知集合M＝，集合N＝，则(　　)
A．M＝
B．N＝
C．M∪N＝
D．M∩N＝
答案　ACD
解析　由题设可得M＝[－1,3]，N＝(－1,4]，
故A正确，B错误；
M∪N＝{x|－1≤x≤4}，故C正确；
而M∩N＝{x|－1命题点2　含参的不等式
例2　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以(x－1)<0.
所以当a>1时，解得当a＝1时，解集为 ；
当0综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ；
当a>1时，不等式的解集为.
延伸探究　在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．
解　当a>0时，同例2，当a＝0时，
原不等式等价于－x＋1<0，即x>1，
当a<0时，<1，
原不等式可化为(x－1)>0，
解得x>1或x<.
综上，当0当a＝1时，不等式的解集为 ，
当a>1时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为.
教师备选
解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.
解　由题意知，Δ＝a2－4，
①当a2－4>0，即a>2或a<－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝，
∴原不等式的解为≤x≤.
②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.
当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，
即(x－1)2≤0，∴x＝1；
当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，
即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.
③当Δ＝a2－4<0，即－2原不等式的解集为 .
综上，当a>2或a<－2时，原不等式的解集为；
当a＝2时，原不等式的解集为{1}；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2思维升华　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1　(1)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的是(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4}
C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为
D．a＋b＋c>0
答案　AC
解析　关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)，
所以二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口方向向上，即a>0，故A正确；
对于B，方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3,4，
由根与系数的关系得
解得
bx＋c>0 －ax－12a>0，
由于a>0，所以x<－12，
所以不等式bx＋c>0的解集为，
故B不正确；
对于C，由B的分析过程可知
所以cx2－bx＋a<0 －12ax2＋ax＋a<0 12x2－x－1>0 x<－或x>，
所以不等式cx2－bx＋a<0的解集为，故C正确；
对于D，a＋b＋c＝a－a－12a＝－12a<0，故D不正确．
(2)解关于x的不等式(x－1)(ax－a＋1)>0.
解　①当a＝0时，原不等式可化为x－1>0，即x>1；
当a≠0时，(x－1)(ax－a＋1)＝0的两根分别为1,1－.
②当a>0时，1－<1，
∴原不等式的解为x>1或x<1－.
③当a<0时，1－>1，
∴原不等式的解为1综上，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；
当a>0时，原不等式的解集为；
当a<0时，原不等式的解集为.
题型二　一元二次不等式恒(能)成立问题
命题点1　在R上恒成立问题
例3　(2022·漳州模拟)对 x∈R，不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．－2C．a<－2或a≥2 D．a≤－2或a≥2
答案　A
解析　不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立，满足题意；
当a－2≠0时，要使不等式恒成立，
需即有
解得－2综上可得，a的取值范围为(－2,2]．
命题点2　在给定区间上恒成立问题
例4　已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案　
解析　要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：
方法一　令g(x)＝m2＋m－6，
x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m<，所以0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是.
方法二　因为x2－x＋1＝2＋>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，
所以m<在x∈[1,3]上恒成立．
令y＝，
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．
所以m的取值范围是.
命题点3　给定参数范围的恒成立问题
例5　(2022·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是(　　)
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案　D
解析　不等式x2＋px>4x＋p－3
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
可得
∴x<－1或x>3.
教师备选
函数f(x)＝x2＋ax＋3.
若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是________________．
答案　[－7,2]
(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)
解析　若x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②
或③
解①得－6≤a≤2，解②得a∈ ，
解③得－7≤a<－6.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]．
令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．
只需即
解得x≤－3－或x≥－3＋.
∴实数x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞)．
思维升华　恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
跟踪训练2　(1)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
答案　A
解析　因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，
即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，
只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点，
所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，
即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0，
解得－1≤a≤4，
所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}．
(2)当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，4] B．(－∞，－5)
C．(－∞，－5] D．(－5，－4)
答案　C
解析　令f(x)＝x2＋mx＋4，
∴当x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立，
∴
即
解得m≤－5.
课时精练
1．不等式9－12x≤－4x2的解集为(　　)
A．R B．
C. D.
答案　C
解析　原不等式可化为4x2－12x＋9≤0，
即(2x－3)2≤0，
∴2x－3＝0，∴x＝，
∴原不等式的解集为.
2．(2022·揭阳质检)已知p：|2x－3|<1，q：x(x－3)<0，则p是q的(　　)
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．必要不充分条件
答案　B
解析　∵p：|2x－3|<1，则－1<2x－3<1，
可得p：1又∵q：x(x－3)<0，由x(x－3)<0，可得q：0可得p是q的充分不必要条件．
3．(2022·南通模拟)不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集为 ，则m的取值范围是(　　)
A．m<－1 B．m≥
C．m≤－ D．m≥或m≤－
答案　B
解析　∵不等式(m＋1)x2－mx＋m－1<0的解集为 ，
∴不等式(m＋1)x2－mx＋m－1≥0恒成立．
①当m＋1＝0，即m＝－1时，不等式化为x－2≥0，
解得x≥2，不是对任意x∈R恒成立，舍去；
②当m＋1≠0，即m≠－1时，对任意x∈R，
要使(m＋1)x2－mx＋m－1≥0，
只需m＋1>0且Δ＝(－m)2－4(m＋1)(m－1)≤0，
解得m≥.
综上，实数m的取值范围是m≥.
4．(2022·合肥模拟)不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值是(　　)
A．－5 B．－ C．－4 D．－3
答案　C
解析　∵x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，
则a≥－恒成立，
又x∈[1,3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号．
∴－≤－4，
∴a≥－4.故a的最小值为－4.
5．(多选)满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(　　)
A．(－2，－1) B．(－3，－6)
C．(2,4) D.
答案　AD
解析　不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为，
∴方程(ax－b)(x－2)＝0的实数根为和2，
且即a＝2b<0，故选AD.
6．(多选)(2022·湖南长郡中学月考)已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是(　　)
A．a2＝4b
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0
D．若不等式x2＋ax＋b答案　ABD
解析　由题意，知Δ＝a2－4b＝0，
所以a2＝4b，所以A正确；
对于B，a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当a2＝，即a＝时等号成立，
所以B正确；
对于C，由根与系数的关系，
知x1x2＝－b＝－<0，所以C错误；
对于D，由根与系数的关系，知x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c＝－c，
则|x1－x2|＝
＝＝2＝4，
解得c＝4，所以D正确．
7．不等式>1的解集为________．
答案　(1,4)
解析　∵>1，
∴－1>0，即>0，
即1∴原不等式的解集为(1,4)．
8．一元二次方程kx2－kx＋1＝0有一正一负根，则实数k的取值范围是________．
答案　(－∞，0)
解析　kx2－kx＋1＝0有一正一负根，
∴解得k<0.
9．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.
(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
解　(1)根据题意得
解得a＝－2，b＝8.
(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0 x2－ax－(a＋1)<0，
即[x－(a＋1)](x＋1)<0.
当a＋1＝－1，即a＝－2时，
原不等式的解集为 ；
当a＋1<－1，即a<－2时，
原不等式的解集为(a＋1，－1)；
当a＋1>－1，即a>－2时，
原不等式的解集为(－1，a＋1)．
综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为 ；
当a>－2时，不等式的解集为(－1，a＋1)．
10．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．
解　(1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)－f(x)＝16x，
得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以故a＝4，b＝－8，
所以f(x)＝4x2－8x＋2.
(2)因为存在x∈[1,2]，
使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1,2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，
令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1,2]，
故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，
即m的取值范围为(－∞，－2)．
11．(多选)已知函数f(x)＝4ax2＋4x－1， x∈(－1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值可能是(　　)
A．0 B．－1 C．－2 D．－3
答案　CD
解析　因为f(x)＝4ax2＋4x－1，
所以f(0)＝－1<0成立．
当x∈(－1,0)∪(0,1)时，由f(x)<0可得4ax2<－4x＋1，
所以4a当x∈(－1,0)∪(0,1)时，
∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
所以－＝2－4≥－4，
当且仅当x＝时，等号成立，
所以4a<－4，解得a<－1.
12．(2022·南京质检)函数y＝lg(c＋2x－x2)的定义域是(m，m＋4)，则实数c的值为________．
答案　3
解析　依题意得，一元二次不等式－x2＋2x＋c>0，即x2－2x－c<0的解集为(m，m＋4)，所以m，m＋4是方程x2－2x－c＝0的两个根，所以解得m＝－1，c＝3.
13．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．
答案　[－4,3]
解析　原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即114．若不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解，则a的取值范围是________．
答案　
解析　对于方程x2＋ax－2＝0，
∵Δ＝a2＋8>0，
∴方程x2＋ax－2＝0有两个不相等的实数根，
又∵两根之积为负，
∴必有一正根一负根，
设f(x)＝x2＋ax－2，
于是不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，
即5a＋23>0，
解得a>－.
故a的取值范围是.
15．(2022·湖南多校联考)若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　D
解析　令x2－(2a＋1)x＋2a＝0，解得x＝1或x＝2a.
当2a>1，即a>时，
不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0的解集为{x|1则3<2a≤4，
解得当2a＝1，即a＝时，
不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0无解，
所以a＝不符合题意；
当2a<1，即a<时，不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0的解集为{x|2a则－2≤2a<－1，解得－1≤a<－.
综上，a的取值范围是.
16．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；
(2)若对于任意x∈[－1,1]，不等式t·f(x)≤2恒成立，求t的取值范围．
解　(1)因为不等式f(x)<0的解集是(0,5)，
所以0,5是一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，
可得
解得
所以f(x)＝2x2－10x.
不等式组
即
解得
因为不等式组的正整数解只有一个，
可得该正整数解为6，
可得6<5－k≤7，
解得－2≤k<－1，
所以k的取值范围是[－2，－1)．
(2)tf(x)≤2，即t(2x2－10x)≤2，
即tx2－5tx－1≤0，
当t＝0时显然成立，
当t>0时，有
即
解得－≤t≤，
所以0当t<0时，函数y＝tx2－5tx－1在[－1,1]上单调递增，
所以只要其最大值满足条件即可，
所以t－5t－1≤0，
解得t≥－，
即－≤t<0，
综上，t的取值范围是.

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