资源简介

2022年山西省中考数学专题练6-三角形
一．选择题（共10小题）
1．如图，一副三角板放在直线l上，∠ABC＝∠DFE＝90°，∠ACB＝45°，∠E＝60°，点B，C和点F在直线l上，DE∥BF，则∠CDF的度数是（　　）
A．10° B．15° C．20° D．25°
2．一副三角板如图放置，等腰直角三角板的斜边与含30°的直角三角板长直角边重合于AC，∠B＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，点N在边CD上运动，点M在边BC上运动，连接MN，AN，分别作出MN和AN边的中点E和F，测得EF的最小值是6cm，则最长的斜边CD的长为（　　）
A．3cm B．8cm C．8cm D．8cm
3．在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形内角和是180°”的有（　　）个
①
②
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
4．将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．下列说法错误的是（　　）
A．定义反映出事物的本质属性．既可以做性质，也可以做判定
B．证明两个等边三角形全等，具需证明一边相等即可
C．有一个角是45°的等腰三角形是等腰直角三角形
D．在放大镜下，一个字可以变大，一条线段可以变长，但是一个角的大小是不变的
6．如图，已知直线a∥b，将一块含45°角的直角三角尺ABC（∠C＝90°）按图示位置放置．若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理，但远在毕达哥拉斯出生之前，这一定理早已被人们所利用，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等），特别是定理的证明，据说有400余种方法．其中在《几何原本》中有一种证明勾股定理的方法：如图所示，作CG⊥FH，垂足为G，交AB于点P，延长FA交DE于点S，然后将正方形ACED、正方形BCNM作等面积变形，得S正方形ACED＝S ACQS，S正方形BCNM＝S BCQT，这样就可以完成勾股定理的证明．对于该证明过程，下列结论错误的是（　　）
A．△ADS≌△ACB B．S ACQS＝S矩形APGF
C．S CBTQ＝S矩形PBHG D．SE＝BC
8．如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC边于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E．已知AD＝3，DE＝4，则下列结论正确的是（　　）
A．AE＝BE B．DE垂直平分AC
C． D．
10．在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（　　）
A．统计思想 B．分类思想
C．数形结合思想 D．函数思想
二．填空题（共8小题）
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为边作等边△BCD，过点A作AE∥CD交BD于点E，BD＝6，AE＝5，则△ABC的周长是 　 　．
12．如图1是我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造的一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．图2是弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成．若正方形MNKT的面积是1，正方形EFGH的面积是61，则正方形ABCD的边长是 　 　．
13．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝a+3，现有图1的直角三角形4个，小明用这4个全等的直角三角形拼成如图2的赵爽弦图，若图2中正方形DEFG的面积为29，则a的值为 　 　．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AC＜BC，在∠CAB的内部作∠BAD＝45°交边BC于点D，CD＝3，则△ABC的面积是 　 　．
15．在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE⊥BC，交BC于点E，且AB＝5，AE＝BC＝4，则CD＝　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC＝4，以AB为边作等边三角形ABD，使点D与点C在AB同侧，连接CD，则CD＝　 　．
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，点M，N分别在AB，AC上，且BM＝BD，CN＝CD，若DM＝2，DN＝3，则BC＝　 　．
18．定义：如图，点C、点D把线段AB分割成AC、CD和BD，若以AC、CD、BD为边的三角形是一个直角三角形，则称点C、点D是线段AB的勾股分割点．已知点M、点N是线段AB的勾股分割点，AM＝2，MN＝3，则BN＝　 　．
三．解答题（共9小题）
19．如图1是太原市新换的一批新能源公交车，图2，图3分别是该公交车双开门关闭、打开时的俯视示意图．ME、EF、FN是门轴的滑动轨道，∠E＝∠F＝90°，两门AB，CD的门轴A，B，C，D都在涓动轨道上，两门关闭时（图2），A，D分别在E，F处，门缝忽略不计（即B，C重合），两门同时开启，点A，D分别沿E→M，F→N的方向同时匀速滑动（如图3），当B到达E时，C恰好到达F，此时两门完全开启，在门开启的过程中，BC＝EB+CF时，求∠ABE的度数．
20．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．求证：BD＝CE．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，点E在BD的延长线上，点F在DB的延长线上，且DE＝BF，连接AE，CF．
求证：
（1）AD＝CB；
（2）AE∥CF．
22．阅读下列材料，并完成相应的学习任务：
我们知道三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，由于三角形的三条高（或高所在的直线）相交于一点，因此我们把三角形三条高的交点叫做三角形的垂心，下面我们以锐角三角形为例，证明三角形的三条高相交于一点．
如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的高，且AD与BE相交于点P．连接CP并延长，交AB于点F．
求证：CF⊥AB．
证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ．
∵MN∥BC，MQ∥AB，NQ∥AC，
∴四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形．
∴BC＝AM＝AN，AC＝BN＝BQ，AB＝MC＝CQ．
∵AD⊥BC，
∴∠MAD＝∠ADB＝90°，即AD⊥MN．
∴PM＝PN．
…
学习任务：
（1）请将上面剩余的证明过程补充完整；
（2）点P是△MNQ的 　 　．（填出字母代号即可）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
（3）若∠CAB＝40°，则∠MPN＝　 　°．
23．阅读与思考
在数学活动课上，老师提出了这样﹣﹣个问题：如图1，已知锐角∠AOB，C是OA边上一点，利用尺规作图在OB边上求作点P，使∠CPB＝2∠AOB．小明同学想到了如下的方法，并完成了部分证明．
方法：（1）如图2，分别以点O，C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N；
（2）作直线MN，交OB于点P，交OC于点Q；
（3）连接CP．则点P即为所求．
证明：如图3，连接ON，CN，OM，CM．
由作图可知，ON＝CN，OM＝CM．
∴点M，N均在线段OC的垂直平分线上．（依据1）
∴直线MN是线段OC的垂直平分线．（依据2）
…
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？
（2）请将上述证明过程补充完整．
（3）尺规作图：请在图1中，用不同于小明的方法求作点P．（保留作图痕迹，不写作法）
24．如图，在△ABC与△ADE中，AC＝AE，∠C＝∠E，点D在BC边上，∠1＝∠2．试判断BC与DE的数量关系，并说明理由．
25．如图，∠A＝∠D，BF＝EC，AB∥DE．
求证：AC＝DF．
26．综合与实践
问题情境：
如图1，M是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），分别以AM和BM为斜边在AB同侧构造等腰直角三角形AMC和等腰直角三角形BMD，连接CD．取AB中点E，CD中点F，连接EF．
猜想验证：
（1）如图2，当点M与点E重合时，试判断EF与CD之间的数量关系，并说明理由；
延伸探究：
（2）如图3，当点M与点E不重合时，问题（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若AB＝2cm，线段EF是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．
27．阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R．然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
任务：
（1）填空：“办法一”依据的一个数学定理是　 　；
（2）根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；
（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）．
2022年山西省中考数学专题练6-三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】解：∵DE∥BF，
∴∠EDC＝∠ACB＝45°，
∵∠EFD＝90°，∠5＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴∠CDF＝∠EDC﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
2．【解答】解：连接AM，
∵点E和F分别为MN和AN边的中点，
∴AM＝2EF，
∵EF的最小值是6cm，
∴AM的最小值是12cm，
由题意可知，当点M与点B重合时，AM最小，
∴AB＝12cm，
∴ACAB＝12cm，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，
则CD8（cm），
故选：D．
3．【解答】解：①由EF∥AB，则∠ECA＝∠A，∠FCB＝∠B．由∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°，得∠A+∠ACB+∠B＝180°，故①符合题意．
②由CE∥AB，则∠A＝∠FEC，∠B＝∠BCE．由∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°，得∠A+∠B+∠ACB＝180°，故②符合题意．
③由CD⊥AB于D，则∠ADC＝∠CDB＝90°，无法证得三角形内角和是180°，故③不符合题意．
④由ED∥BC，得∠EDF＝∠AED，∠A＝∠FDB．由ED∥CB，得∠EDA＝∠B，∠C＝∠AED，那么∠C＝∠EDF．由∠ADE+∠EDF+∠FDB＝180°，得∠B+∠A+∠C＝180°，故④符合题意．
能证明“三角形内角和是180°”的有3个，
故选：C．
4．【解答】解：由题意知，在Rt△DEF中，∠EDF＝60°，
∵AB∥DF，
∴∠1＝∠EDF＝60°，
故选：C．
5．【解答】解：A、定义反映出事物的本质属性．既可以做性质，也可以做判定，是真命题；
B、证明两个等边三角形全等，具需证明一边相等即可，是真命题；
C、有一个角是45°的等腰三角形不一定是等腰直角三角形，若45°是顶角，原命题是假命题；
D、在放大镜下，一个字可以变大，一条线段可以变长，但是一个角的大小是不变，是真命题；
故选：C．
6．【解答】解：过A作直线AD∥直线a，
∵直线a∥b，
∴AD∥直线a∥直线b，
∴∠1＝∠DAC＝30°，∠D＝∠DAB，
∵∠1＝30°，∠CAB＝45°，
∴∠2＝∠DAB＝∠DAC+∠CAB＝30°+45°＝75°，
故选：D．
7．【解答】解：A、∵四边形ADEC是正方形，
∴AD＝AC，∠DAS+∠SAC＝∠SAC+∠CAB＝90°，
∴∠DAS＝∠BAC，
∵∠D＝∠ACB＝90°，
∴△ADS≌△ACB；
故A正确；
B、∵△ADS≌△ACB，
∴AS＝AB＝AF，
∵FS∥GQ，
∴S ACQS＝S矩形APGF，
故B正确；
C、同理可得：S CBTQ＝S矩形PBHG；
故C正确；
D、∵△ADS≌△ACB，
∴DS＝BC，
S不一定是DE的中点，所以SE与BC不一定相等，
故D错误，
本题选择结论错误的，
故选：D．
8．【解答】解：因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两直线，且有公共点C．
故选：B．
9．【解答】解：过D点作DF⊥AB于点F，
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC边于点D，
∴DC＝DF，
∵过点D作BC的平行线交AB于点E．
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝90°，
∵AD＝3，DE＝4，
∴AE，
∴DF，
∴DC＝DF3，故DE不能平分AC，故B说法错误；
∵，
∴AE≠BE，故A说法错误；
∵，
∴故C说法错误；
∵，故D说法正确；
故选：D．
10．【解答】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．【解答】解：连接AD交BC于F，设AE、BC交于G，
∵△BDC为等边三角形，
∴∠BDC＝∠DBC＝60°，DB＝DC，
∵AE∥CD，
∴∠AED＝∠DBC＝60°，
∴△GBE为等边三角形，
∴BE＝BG，
∵AB＝AC，DB＝DC，
∴AD⊥BC，BF＝FCBC＝3，
∴∠ADE＝∠ADC＝30°，
∵AE∥CD，
∴∠EAD＝∠ADC＝30°，
∴∠EAD＝∠ADB，
∴DE＝AE＝5，
∴BE＝BG＝1，
∴AG＝4，GF＝2，
由勾股定理得：AF2，
∴AB，
∴△ABC的周长6＝26，
故答案为：26．
12．【解答】解：∵正方形MNKT的面积是1，正方形EFGH的面积是61，
∴四个直角三角形的面积之和为61﹣1＝60，
∵正方形ABCD的面积＝正方形MNKT的面积+四个直角三角形的面积，
∴正方形ABCD的面积是61+60＝121，
∴正方形ABCD的边长是11，
故答案为：11．
13．【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝a，AC＝a+3，
∴AB2＝AC2+BC2＝（a+3）2+a2＝a2+6a+9+a2＝2a2+6a+9，
由题意可得：AB＝DE，
∵图2中正方形DEFG的面积为29，
∴2a2+6a+9＝29，
解得a1＝2，a2＝﹣5（不合题意，舍去），
即a的值为2，
故答案为：2．
14．【解答】解：过B点作BH⊥AD于H，如图，
在Rt△ADC中，AD3，
∵∠H＝∠C，∠BDH＝∠ADC，
∴△BHD∽△ACD，
∴，
∴2，
设DH＝x，则AH＝2x，
在Rt△BHD中，BDx，
在Rt△ABH中，∵∠BAH＝45°，
∴BH＝AH，即2x＝x+3，
∴x＝3，
∴BD＝315，
∴BC＝BD+CD＝15+3＝18，
∴S△ABC6×18＝54．
故答案为：54．
15．【解答】解：∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在Rt△ABE中，BE3，
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣3＝1，
在Rt△ACE中，AC，
∵BD平分∠ABC，
∴点D到BA和BC的距离相等，
∴S△ABD：S△CBD＝BA：BC＝5：4，
∵S△ABD：S△CBD＝AD：CD，
∴AD：CD＝5：4，
∴CDAC．
故答案为：．
16．【解答】解：过点D作DE⊥BC于点E，如图，
∵△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝AD＝4，∠ABD＝60°．
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝30°．
∵DE⊥BC，
∴DEBD＝2．
∴BE＝BD cos30°＝42．
∴CE＝BC﹣BE＝4﹣2．
∵DE⊥BC，
∴CD
＝4
＝4
＝4
＝2（
＝22．
故答案为：22．
17．【解答】解：作BG⊥AB且使得BG＝BD，
∵∠C+∠ABC＝90°，∠GBD+∠ABC＝90°，
∴∠C＝∠GBD，
∵CN＝DC＝BD＝BM＝BG，
∴△NCD≌△GBD（SAS），
∴DG＝DN＝3，
∵，，
∴∠MDB+∠BDG
＝180°﹣45°＝135°，
作MH⊥GD于点H，则∠MDH＝45°，
∴△MDH为等腰直角三角形，
∴，
∴GH＝3+2＝5，
∴，
∵△BGM是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为．
18．【解答】解：①当MN为最长线段时，
∵点 M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN；
②当BN为最长线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN．
综上所述：BN或．
故答案为：或．
三．解答题（共9小题）
19．【解答】解：由题意得，AB＝CDEF，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，
∵BC＝EB+CF，
∴BCEF，
∴BE＝CFBCAB，
∴∠BAE＝30°，
∴∠ABE＝60°，
故∠ABE的度数为60°．
20．【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
∴BD＝CE．
21．【解答】证明：（1）如图，∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△ABD和△CDB中
，
∴△ABD≌△CDB（AAS），
∴AD＝CB．
（2）如图，∵∠ADB＝∠CBD，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠CBD，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴∠E＝∠F，
∴AE∥CF．
22．【解答】（1）证明：分别过点A，B，C作它们所对边的平行线，三条平行线两两相交于点M，N，Q．分别连接PM，PN，PQ．
∵MN∥BC，MQ∥AB，NQ∥AC，
∴四边形MABC，四边形ANBC，四边形ABQC都是平行四边形．
∴BC＝AM＝AN，AC＝BN＝BQ，AB＝MC＝CQ．
∵AD⊥BC，
∴∠MAD＝∠ADB＝90°，即AD⊥MN．
∴PM＝PN，
同法可证PN＝PQ，
∴PM＝PQ，
∵CM＝CQ，
∴PC⊥MQ，
∵MQ∥AB，
∴CF⊥AB．
（2）解：由（1）可知，点P是△MNQ的各边的垂直平分线的交点，
∴点P是△MNQ的外心，
故选B．
（3）解：∵四边形ABQC是平行四边形，
∴∠BQC＝∠CAB＝40°，
∵点P是△MNQ的外心，
∴∠MPN＝2∠MQN＝80°，
故答案为：80°．
23．【解答】解：（1）依据1：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
依据2：两点确定一条直线．
（2）证明：如图3，连接ON，CN，OM，CM．
由作图可知，ON＝CN，OM＝CM．
∴点M，N均在线段OC的垂直平分线上，
∴直线MN是线段OC的垂直平分线，
∴PC＝PO，
∴∠PCO＝∠POC，
∵∠CPB＝∠PCO+∠POC，
∴∠CPB＝2∠AOB．
（3）如图，点P即为所求．
24．【解答】解：BC＝DE．
理由：∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠1，
∵∠ADC＝∠ADE+∠2，∠1＝∠2，
∴∠B＝∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（AAS），
∴BC＝DE．
25．【解答】证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠E，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
∴AC＝DF．
26．【解答】解：（1）结论：CD＝2EF．
理由：如图2中，
∵△AMC，△BMD都是等腰直角三角形，
∴∠ACM＝∠MDB＝90°，AC＝MC，MD＝BD，
∴∠A＝∠AMC（180°﹣∠ACM）＝45°，∠DMB＝∠B（180°﹣∠MDB）＝45°，
∴∠CMD＝180°﹣∠∠DMB＝90°，
∵CF＝DF，
∴MFCD，即CD＝2EF．
（2）结论成立．
理由：如图3中，延长AC交BD的延长线于G，连接MG，EG．
∵△AMC，△BMD都是等腰直角三角形，
∴∠ACM＝∠MDB＝90°，AC＝MC，MD＝BD，
∴∠A＝∠AMC（180°﹣∠ACM）＝45°，∠DMB＝∠B（180°﹣∠MDB）＝45°，
∴∠MCG＝∠AGB＝∠GDM＝90°，AG＝BG，
∴四边形MCGD是矩形，△AGB是等腰直角三角形，
∴GM＝CD，
∵E是AB的中点，
∴GE⊥AB，
∴∠AEG＝90°，
∵F是CD的中点，
∴F是GM的中点，
在Rt△MEG中，F是GM的中点，
∴EFGM，
∴EFCD，即CD＝2EF．
（3）由（2）可知，CD＝GM≥EG，
∴CDAB，
∴CD≥1，
∴CD的最小值为1，
∴EF的最小值为．
27．【解答】解：（1）∵CD＝30，DE＝50，CE＝40，
∴CD2+CE2＝302+402＝502＝DE2，
∴∠DCE＝90°，
故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理；
故答案为：勾股定理的逆定理；
（2）由作图方法可知，QR＝QC，QS＝QC，
∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，
∵∠SRC+∠QCS+∠QCR+∠QSC＝180°，
∴2（∠QCR+∠QCS）＝180°，
∴∠QCR+∠QCS＝90°，
即∠RCS＝90°；
（3）①如图③所示，直线PC即为所求；
②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

展开更多......

收起↑