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2022中考专题复习--折叠问题
一．选择题（共7小题）
1．（2021 宁波模拟）如图，在中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到△，与交于点，连接，若，，则折痕的长为　　
A． B． C． D．
2．（2021 丽水）如图，在纸片中，，，，点，分别在，上，连结，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则的长为　　
A． B． C． D．
3．（2021 永嘉县校级模拟）如图，将图一中的等腰直角三角形纸片，依次沿着折痕，翻折，得到图二中的五边形．若图二中，，点，恰好都是线段的三等分点，交于点，，则等腰直角三角形的斜边的长为　　
A． B． C． D．
4．（2021 岱岳区一模）如图，等边的边长是6，是等边边上的一点，且，现将折叠，使点与重合，折痕为，点、分别在、上，则　　
A． B． C． D．
5．（2021 绥化）如图所示，在矩形纸片中，，，点、分别是矩形的边、上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接、、，与交于点．则下列结论成立的是　　
①；
②当点与点重合时，；
③的面积的取值范围是；
④当时，．
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
6．（2018 乐清市模拟）如图，一张三角形纸片，其中，，点是边上一动点，将，翻折使得，分别落在，边上，与，与分别对应），点从点运动运动至点，△面积的大小变化情况是　　
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
7．（2019 重庆）如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，若，，则点到的距离为　　
A． B． C． D．
二．填空题（共17小题）
8．（2021 临海市模拟）如图，把一张矩形纸片沿，对折，得到五边形，其中，顶点与重合于点，重叠部分为正方形，顶点在上，若，，则长为 　　．
9．（2021 长兴县模拟）如图，将一个边长为4的等边纸片折叠，使点落在边上，折痕分别交边，于点，，则折叠过程中的最小值为 　　．
10．（2021 路桥区一模）如图，在矩形中，将矩形沿着折痕折叠，点，落在，上，与边交于点．若点恰好与的中点重合，且，则的值为 　　．
11．（2021 温州模拟）如图，矩形中，，点为边上一点，连接，，，且，将沿翻折得连接，则到的距离为　　．
12．（2021 萧山区模拟）如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为　　．
13．（2021 河南模拟）如图，在中，，，，点为的中点，点是线段上一动点，把沿直线翻折，点的对称点是，连接，若，则的长为 　　．
14．（2019秋 温岭市期末）将两块相同的含有角的直角三角板如图放置，顶点在边上移动（不运动至、，边始终经过点，边与边交于点，已知．
（1）若是的中点，则　　；
（2）的最小值为　　．
15．（2020 青羊区模拟）如图，在中，，，，点为边上的一个动点，连接，过点作交边于点，则的最大值为　　．
16．（2021 西湖区二模）如图，正方形的边长为4，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交正方形一边于点．当时，的长为　　．
17．（2021 西湖区一模）如图，中，，，点在边上，将沿翻折，点的对称点为，使得，则　　，　　．
18．（2021 上城区一模）如图，在中，，，点是中点，点，分别在边，上（均包括端点），若使为直角三角形的点恰好有两个，则的长应满足的条件是　　．
19．（2021 萧山区二模）如图，点是平行四边形边上一点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在的角平分线上，若，，，则　　，　　．
20．（2021 杭州二模）中，，，，折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，当点由向连续移动过程中，点经过的路径长记为，则　　，　　．
21．（2021 江干区模拟）已知，在射线上取一点，在射线上取一点，连接，再作点关于直线的对称点，连接，，得到如下图形．移动点，当时，　　；当时，的度数是　　．
22．（2021 西湖区校级三模）如图，已知，，，，点在所在直线上运动，以为边作等边三角形，则　　．在点运动过程中，的最小值 　　．
23．（2021 马鞍山模拟）如图，将边长为4的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点与点重合，与交于点，取的中点连接，则的周长最小值是　　．
24．（2021 沙坪坝区校级三模）如图，在中，，，点为边的中点，点是边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，，若经过的中点，且，则的面积是 　　．
折叠问题
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2021 宁波模拟）如图，在中，是边的中点，连接，把沿翻折，得到△，与交于点，连接，若，，则折痕的长为　　
A． B． C． D．
【分析】连接交于，由翻折可得是等边三角形，再利用勾股定理可得和的长，进而可得答案．
【解答】解：连接交于，
沿翻折得到△，，是边的中点，
，是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
．
故选：．
2．（2021 丽水）如图，在纸片中，，，，点，分别在，上，连结，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则的长为　　
A． B． C． D．
【分析】由翻折得出，，再根据平分，得出，然后借助相似列出方程即可．
【解答】解：作于，
在纸片中，，
由勾股定理得：，
将沿翻折得，
，，
平分，
，
，
设，
在中，，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
3．（2021 永嘉县校级模拟）如图，将图一中的等腰直角三角形纸片，依次沿着折痕，翻折，得到图二中的五边形．若图二中，，点，恰好都是线段的三等分点，交于点，，则等腰直角三角形的斜边的长为　　
A． B． C． D．
【分析】根据折叠得：，，，进而得出四边形是菱形，设，表示其它的边长，在等腰直角三角形中，利用边角关系，表示边长，再在等腰直角三角形中，依据边角关系，距离方程求出未知数，进而求出斜边的长．
【解答】解：由折叠得：，，，
，
，
，
四边形是菱形，
，
同理：，
设，则，，
在等腰直角三角形中，，
，
在在等腰直角三角形中，，
，
解得：，
，
故选：．
4．（2021 岱岳区一模）如图，等边的边长是6，是等边边上的一点，且，现将折叠，使点与重合，折痕为，点、分别在、上，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据翻折变换的性质得到，，又由，，可得：的周长为8，的周长为10，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题．
【解答】解：为等边三角形，
，，
，
又，
，
，
由折叠，得：，，
，，
的周长为8，的周长为10，
与的相似比为，
．
故选：．
5．（2021 绥化）如图所示，在矩形纸片中，，，点、分别是矩形的边、上的动点，将该纸片沿直线折叠．使点落在矩形边上，对应点记为点，点落在处，连接、、，与交于点．则下列结论成立的是　　
①；
②当点与点重合时，；
③的面积的取值范围是；
④当时，．
A．①③ B．③④ C．②③ D．②④
【分析】①错误．说明的长度是变化的即可．
②正确．利用面积法求出即可．
③错误．求出面积的最大值，即可判断．
④正确，利用勾股定理求出，可得结论．
【解答】解：是定值，，的长是变化的，
的值也是变化的，
与不一定相等，故①错误．
四边形是矩形，
，
，
由翻折的性质可知，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
当，重合时，设，则有，
，
，，，
，
，
，故②正确，
当，重合时，的面积最大，最大值，
，故③错误，
如图2中，当时，，
，
，故④正确．
故选：．
6．（2018 乐清市模拟）如图，一张三角形纸片，其中，，点是边上一动点，将，翻折使得，分别落在，边上，与，与分别对应），点从点运动运动至点，△面积的大小变化情况是　　
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【分析】如图，作于．设，则．构建二次函数，利用二次函数的性质即可判断．
【解答】解：如图，作于．设，则．
，
，
由翻折不变性可知：，，
，，
，
，
的值先增大后减小，
故选：．
7．（2019 重庆）如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，若，，则点到的距离为　　
A． B． C． D．
【分析】连接，交于点，过点作于点，由翻折知，，垂直平分，证为等边三角形，利用解直角三角形求出，，，在中，利用勾股定理求出的长，在中利用面积法求出的长．
【解答】解：如图，连接，交于点，过点作于点，
，是边上的中点，
，
由翻折知，，垂直平分，
，，，
，
为等边三角形，
，
，
，
在△中，
，，
，，
，
在中，
，
，
，
，
故选：．
二．填空题（共17小题）
8．（2021 临海市模拟）如图，把一张矩形纸片沿，对折，得到五边形，其中，顶点与重合于点，重叠部分为正方形，顶点在上，若，，则长为 　　．
【分析】过作于，设，则，在中，，可得，，由面积法得，即可得，，从而可求出．
【解答】解：过作于，如图：
一张矩形纸片沿，对折，得到五边形，其中，顶点与重合于点，
，，，
，，
设，则，
四边形为正方形，
，，
在中，，
，
解得或，
不妨取取结果相同），则，，
，
，
，
，
四边形为正方形，
，
，，
，，
．
故答案为：．
9．（2021 长兴县模拟）如图，将一个边长为4的等边纸片折叠，使点落在边上，折痕分别交边，于点，，则折叠过程中的最小值为 　　．
【分析】如图，当时，最小，即最小，设，则，由等边三角形性质可得，得出，，运用勾股定理可得：，建立方程求解即可．
【解答】解：如图，纸片折叠，使点落在边上处，
，
当时，最小，即最小，
设，则，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
解得：，
答案为．
10．（2021 路桥区一模）如图，在矩形中，将矩形沿着折痕折叠，点，落在，上，与边交于点．若点恰好与的中点重合，且，则的值为 　　．
【分析】首先得出，再根据翻折的性质得出，得出，最后利用勾股定理得出结果．
【解答】解：点是的中点，
，
由翻折可得，
，
，
，
，
设，
，
在△中，
，
，，
．
故答案为：．
11．（2021 温州模拟）如图，矩形中，，点为边上一点，连接，，，且，将沿翻折得连接，则到的距离为　．　．
【分析】根据题意知：是等边三角形，可求出，，的长，由，则，，由等积可得，代入即可．
【解答】解：连接，作于，交于，作于，于，
在中，，
，
由翻折知：，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，，
在中，，
，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
12．（2021 萧山区模拟）如图，长方形纸片，将纸片沿折叠，使点落在边上点处，再将右侧余下部分折叠，使与能在直线重合，折痕为．若，则的值为　　．
【分析】连接，依据折叠性质可得：，，，，，，再利用矩形性质，可证明四边形是菱形，由，运用三角函数定义可求得，进而可证是等边三角形，且，由，求得，再由，可求得答案．
【解答】解：连接，由折叠，得：，，，，，，
是矩形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
由折叠知：，
是等边三角形，且，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
13．（2021 河南模拟）如图，在中，，，，点为的中点，点是线段上一动点，把沿直线翻折，点的对称点是，连接，若，则的长为 　0.8或5.6　．
【分析】解：由题意知，点在以点为圆心，以4为半径的圆上运动，以为边作，满足条件的与有两处交点，故有两种情况．情况一：，，解得，情况二：，解得．
【解答】解：由题意知，点在以点为圆心，以4为半径的圆上运动，
以为边作，满足条件的与有两处交点，故有两种情况．
如图1，记与的交点为，过点作
由折叠可知，，，，
，
，
点是的中点，，，，
，，
又，，
，
，
，
，
，
在中，
，，
，
，
在中，．
情况一：
，
，
解得，
故；
情况二：
，
，
解得，
故．
综上，的长为0.8或5.6．
故答案为：0.8或5.6．
14．（2019秋 温岭市期末）将两块相同的含有角的直角三角板如图放置，顶点在边上移动（不运动至、，边始终经过点，边与边交于点，已知．
（1）若是的中点，则　　；
（2）的最小值为　　．
【分析】（1）首先证明平分时，点是的中点，直角三角形求出即可．
（2）如图，延长到，使得，则，，在上取一点，使得，设，，则．根据一元二次方程，利用判别式，求出的最大值，即可解决问题．
【解答】解：（1）在中，，，，
，，
当平分时，
，，，
，
，
，即此时点是的中点，
．
故答案为：．
（2）如图，延长到，使得，则，，在上取一点，使得，设，，则．
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△，
，
，
或（舍弃），
，
的最小值．
故答案为：．
15．（2020 青羊区模拟）如图，在中，，，，点为边上的一个动点，连接，过点作交边于点，则的最大值为　2　．
【分析】过作于，过作于，利用相似三角形的性质根据一元二次方程，利用根的判别式解决问题即可．
【解答】解：过作于，过作于，
在中，，，，
，
，，
，，
，
，，
设，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
方程有实数解，
△，
，
整理得，，
解得或（舍弃），
，
的最大值为2．
故答案为2．
16．（2021 西湖区二模）如图，正方形的边长为4，点在边上，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交正方形一边于点．当时，的长为　2或　．
【分析】分两种情形：如图1中，当时，连接交于．如图2中，当时，过点作于．分别求解即可．
【解答】解：如图1中，当时，连接交于．
，，
四边形是平行四边形，
，
，，由折叠知，，，
，
，
．
如图2中，当时，过点作于．
，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
综上所述，的值为2或．
17．（2021 西湖区一模）如图，中，，，点在边上，将沿翻折，点的对称点为，使得，则　　，　　．
【分析】（1）先求和，再用是外角即可得结果；
（2）延长交于，过作于，首先证明、△、是等腰三角形，再设，，用列方程，用表示，从而可得答案．
【解答】解：方法一：，，
沿翻折，
，
，
，
，
沿翻折，
，
；
延长交于，过作于，如图：
，，
，
沿翻折，
，，
沿翻折，，
，
而，
，，
，
设，，
△中，，
中，，，
由可得：，
解得，
，
．
方法二：，，
沿翻折，
，
，
，
，
沿翻折，
，
；
过作于，如图：
，，
，
沿翻折，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
设，则，
中，，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：，．
18．（2021 上城区一模）如图，在中，，，点是中点，点，分别在边，上（均包括端点），若使为直角三角形的点恰好有两个，则的长应满足的条件是　或　．
【分析】如图，当，分别为直角顶点时，一定存在两个点，满足条件．以为直径作圆，当圆与直线相切时，存在一个点，使得，此时，观察图象可知，满足条件的的值为．当点与重合时，也满足条件，此时．
【解答】解：如图，当，分别为直角顶点时，一定存在两个点，满足条件．
以为直径作圆，当圆与直线相切时，存在一个点，使得，此时，
观察图象可知，满足条件的的值为，
另外当点与重合时，也满足条件，此时，
综上所述，或．
故答案为：或．
19．（2021 萧山区二模）如图，点是平行四边形边上一点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在的角平分线上，若，，，则　1　，　　．
【分析】根据平行四边形的性质，由角平分线性质得，即为等边三角形，即，由折叠性质得，延长交的延长线于，利用相似三角形的性质，设，构建方程求解即可．
【解答】解：如图，过点作于点，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
是的角平分线，
，
是等边三角形，
，
，
延长交的延长线于，
设，则，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
解得或（舍弃），
．
故答案为：1；
20．（2021 杭州二模）中，，，，折叠，使点落在边上的点处，折痕交于点，当点由向连续移动过程中，点经过的路径长记为，则　　，　　．
【分析】过作，垂足为，求出，长度，利用勾股定理即可求出长度，分析点的运动路径，分段计算出长度加在一起即可．
【解答】解：过作，垂足为，如图1，
，，
，
，
，
；
①由折叠知，垂直平分，
当与重合时，此时最小，
如图2，作，垂足为，连接，
设，
，
，，
垂直平分，
，
在△中，，
即，
解得，（舍去负值）
，
②，
当最大时，最短，
最短，
当时，为垂线段，取最小值，
如图3，作，垂足为，
设，则，
，
垂直平分，
，
，
，
，
从最近到最远走了；
③当从点继续向移动，增加，
减小，
当与重合时，如图4，
此时，
，
从到运动了，
点从，运动到，再运动到，路径长为，
故答案为：；．
21．（2021 江干区模拟）已知，在射线上取一点，在射线上取一点，连接，再作点关于直线的对称点，连接，，得到如下图形．移动点，当时，　　；当时，的度数是　　．
【分析】当时，证明即可．分两种情况，取的中点，连接，，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到是等边三角形，进而依据轴对称的性质得出的度数．
【解答】解：①如图1中，设交于点．
，关于对称，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
②分两种情况：
如图，当时，取的中点，连接，，
则，
即，
又，
，
是等边三角形，
，
又垂直平分，
，
又，
，
；
如图，当时，同理可得，
又，
，
故答案为：，或．
22．（2021 西湖区校级三模）如图，已知，，，，点在所在直线上运动，以为边作等边三角形，则　4　．在点运动过程中，的最小值 　　．
【分析】以为边作正，并作，垂足为点，连接、，在中，，由，得，最小即是最小，此时，故的最小值是．
【解答】解：以为边作正，并作，垂足为点，连接、，如图：
在中，，，，
，
，
，
正，等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
最小即是最小，
当时，最小，此时，
四边形是矩形，
，
的最小值是．
故答案为：4，．
23．（2021 马鞍山模拟）如图，将边长为4的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点与点重合，与交于点，取的中点连接，则的周长最小值是　　．
【分析】如图，取的中点，连接，，．首先证明，，推出，求出即可解决问题．
【解答】解：如图，取的中点，连接，，．
由翻折的性质以及对称性可知；，，，
，
，
在中，，
，，
，
，
的最小值为，
的周长的最小值为，
故答案为．
24．（2021 沙坪坝区校级三模）如图，在中，，，点为边的中点，点是边上一点，连接，将沿翻折，得到，连接，，，若经过的中点，且，则的面积是 　　．
【分析】过点作于点，设与交于点，可得四边形为平行四边形，而，故平行四边形为菱形，即得，，又四边形为平行四边形，推出，证明四边形是平行四边形，可得是中位线，从而，在中，，即知，推出，根据与等高，即可得答案．
【解答】解：过点作于点，设与交于点，
点是边的中点，点是的中点，
，
，
又，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
平行四边形为菱形，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，即，
四边形是平行四边形，
，，
，
是中位线，
，
，
，
在中，
，，
，
，
，
平行线间的距离相等，以为底，高即为，
，
故答案为：．
考点卡片
1．垂线段最短
（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
（2）垂线段的性质：垂线段最短．
正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
2．平行线的性质
1、平行线性质定理
定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等．
定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．
定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．
2、两条平行线之间的距离处处相等．
3．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
4．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
5．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
6．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
7．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
8．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
9．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
10．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
11．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
12．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
13．轨迹
14．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
15．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
16．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
17．旋转的性质
（1）旋转的性质：
　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样．
18．平行线分线段成比例
（1）定理1：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．
（2）推论1：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
（3）推论2：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例．
19．解直角三角形
（1）解直角三角形的定义
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
（2）解直角三角形要用到的关系
①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；
②三边之间的关系：a2+b2＝c2；
③边角之间的关系：
sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．
（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）

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