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数列通项公式的六种求法-2022届高三数学二轮专题复习
数列的通项公式是高考必考内容，经常出现在选择题、填空题或解答题第一问的位置，其重要性不言而喻。只要掌握了数列的基本公式，学会求数列通项公式的各种方法，并且具备一定的灵活地应用知识解决问题的能力，即可正确解答数列通项公式的题。
下面我们学习数列的通项公式的六种常用的求法。
一、公式法：即若已知等差数列、等比数列，则直接求通项公式，用到的公式有：
（1）等差数列的通项公式：（其中为首项，是公差。）
（2）等比数列的通项公式：（其中为首项，是公比。）
例题1：（2021全国卷2）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的n的最小值．
【答案】解：（1）由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，所以，所以，
数列的通项公式为：.
（2）由（1）得：，，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
例题2．（2020全国卷2）已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；（2）求.
【答案】解：（1） 设等比数列的公比为q(q>1)，则，
整理可得：，解得或，因为，所以，，
数列的通项公式为：.
（2）由（1）得：，故：
.
二、法，法：即根据前项和，前项积，利用公式，
（注意此时分母不能为0），可求出数列的通项公式.
（1）已知求的具体步骤如下：
第一步：令得；
第二步：令得；
第三步：在第二步求得的的表达式中取，判断其值是否为；
第四步：写出数列的通项公式（若第三步中时，表达式的值不等于，则数列的通项公式务必要分段表示。）
（2）已知求的具体步骤同上。
例题1：（2014广东卷文）
设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，
，（1）求的值；（2）求数列的通项公式。
【答案】解：（1），，
令，得，即，解得或，
因为数列的各项均为正数，所以。
（2），所以，
因为数列的各项均为正数，所以。
当时，，
又符合上式，所以，。
例题2：（2021全国乙卷理）
记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列；（2）求的通项公式．
【答案】解：（1）由已知得,且，,
取,由得，解得,由于为数列的前n项积，
所以，，
即，，
所以, 由于，所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列。
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
, , 当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
例题3：已知数列的前项和，（1）求与的关系；
（2）求通项公式。
【答案】解：（1）由，得，
两式作差得，，即，
所以；
（2）对，当时，，即，
解得，将两边同乘以，得，
所以，又，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列。
所以，所以。
例题4：（2015浙江高考）已知数列和满足，，
，（1）求与；
（2）记数列的前项和为，求。
【答案】解：（1）由，，得；
由题意知，当时，，故，
当时，，两式作差得，
，所以，又，所以是首项为1，公比为1的等比数列，
所以，所以。
（2）由（1）知，。记数列的前项和为，
则①，
②，①－②得，
，
所以。
三、累加法、累乘法：
（1）累加法：
当数列中有，即第n项与第n 1项的差是个有规律的数列，
就可以利用累加法求数列的通项公式；
（2）累乘法：
当数列中有，即第n项与第n 1项商是个有规律的数列，
就可以利用累乘法求数列的通项公式。
例题1：（2008江西卷文）在数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在数列中，
，故选A.
例题2：已知数列满足，(，)，则数列的通项（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】数列满足，，整理得，，，，
所有的项相乘得：，整理得：，故选：．
四、将递推数列转化为等差数列的方法
当已知数列不是等差数列时，则需构造与之相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出包含的关系式，进而求出。常用方法有：平方法、开平方法、倒数法等。
将题设中的递推关系转化为等差数列的常见形式如下：
①转化为常数，则数列是等差数列；
②转化为常数，则数列是等差数列；
③转化为常数，则数列是等差数列；
④转化为常数，则数列是等差数列；
⑤转化为常数，则数列是等差数列。
例题1：在数列中，若，且，则通项公式
【答案】
【分析】由，可得，转化为等差数列求解。
例题2：数列满足，，，
（1）设，证明数列是等差数列；（2）求数列的通项公式。
【答案】解：（1）由，得，即，
又，所以数列是首项为，公差为的等差数列；
（2），所以，
所以，，
，…，，
所以，
所以，所以。
例题3：已知数列满足，，
（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和。
【答案】（1）证明：因为，所以，
所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列。
所以，所以；
（2）解：，
所以，
，
所以，
所以。
五、将递推数列转化为等比数列的方法（待定系数法）
当已知数列不是等比数列时，往往需要利用待定系数法构造与之相关的等比数列，利用等比数列的通项公式，求出包含的关系式，进而求出。
将题设中的递推关系转化为等比数列的常见类型如下：
类型①：，可划归为；
推导过程：对于已知数列的项满足，则可设，
所以，对比，可得：，解得：，从而将求数列的通项公式的问题，转化为求等比数列的通项公式。进而求得的通项公式。
类型②：形如的递推关系式：
令，用待定系数法求出的值，划归为等比数列问题，进而求出的通项公式。
类型③：形如的递推关系式：
当时，对两边取以为底的对数，得，
视为一个整体，即转化为类型①。
例题1：已知数列满足=1，= ()，则数列的通项公式 .
【答案】=
【分析】构造新数列，其中p为常数，使之成为公比是的系数2的等比数列，即= ，整理得：=使之满足= ∴p=1，
即是首项为=2，q=2的等比数列∴=，=.
例题2：在数列中，已知，且，则通项公式
【答案】
【分析】令，
则，又，
所以，解得，所以，又，
所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，
所以，所以。
例题3：已知数列满足，，则数列的通项公式
【答案】
【分析】将两边同除以，可得，
，所以，由于，
所以数列是首项为，公比为的等比数列。
所以，所以。
例题4：在正项数列中，，，，求数列的通项公式。
【答案】解：两边同时取常用对数，得，
即，又，
所以数列是首项为1，公比为的等比数列，
所以，所以
，，，……，，
所以，
所以，所以.
例题5：（2013高考真题）已知数列满足，，
（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）证明：。
【答案】证明：（1）由，得，
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，所以；
（2）由（1）知，，
因为当时，，所以，所以，
所以，
所以。
六、观察法
例题1：根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：
① 1，，，，，…， .
② ，…， .
【答案】①；②
【分析】①将数列写成：，，，，，
②分析：这是一个与有关的数列，可将数列写成：，…，
可知分母组成以7为首项，3为公差的等差数列；分子组成以3为首项，1为公差的等差数列。
所以其通项公式为：.
例题2：已知数列满足，，，为数列的前项和，则的值为
【答案】
【分析】，，，，
，，，，
所以周期为6，因为，且，
所以。

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