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2022年云南省中考数学专题练5-二次函数
一．选择题（共11小题）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（　　）
A．ab＜0
B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间
C．a
D．点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，当实数t时，y1＜y2
2．二次函数y＝﹣（x+3）2+9的图象的顶点坐标是（　　）
A．（﹣3，9） B．（3，9） C．（9，3） D．（9，﹣3）
3．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：
①abc＜0；
②a+b+c＜0；
③2a﹣b＝0；
④4ac﹣b2＞0；
⑤当x＜﹣3时，y＞0．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：
①abc＜0；
②2a﹣b＜0；
③4a﹣2b+c＜0；
④b2﹣4ac＞0．
其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在平面直角坐标系中，两条直线为l1：y＝﹣3x+3，l2：y＝﹣3x+9，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，直线l2交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，点A、E关于y轴对称．抛物线y＝ax2+bx+c过E、B、C三点，下列判断中：①a﹣b+c＝0；②2a+b+c＝5；③抛物线关于直线x＝1对称；④抛物线过点（b，c）；⑤S四边形ABCD＝5，其中正确的个数有（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，则阴影部分的面积是（　　）
A．π B．2π C．4π D．都不对
7．如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，当水面宽增加（24）m时，则水面应下降的高度是（　　）
A．2m B．1m C．m D．（2）m
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x，结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②3a+c＞0；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④0；
⑤若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2．
其中正确的结论有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；
②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；
③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；
④当x＜0时，y随x增大而增大．
其中结论正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
11．抛物线y＝（x+5）2﹣1的顶点坐标是（　　）
A．（5，﹣1） B．（﹣5，1） C．（5，1） D．（﹣5，﹣1）
二．填空题（共6小题）
12．如图，已知抛物线y＝（x﹣t）2﹣1与轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），直线yx+3与x轴和y轴分别交于C，D两点．
（1）若抛物线经过点D，且A点的坐标是（3，0），求抛物线的函数解析式；
（2）在（1）的条件下，点P是在直线DC下方二次函数图象上的一个动点，试探究点P的坐标是多少时，△CDP的面积最大，并求出最大面积；
（3）当1≤x≤3时，抛物线对应的函数有最小值3，求t的值．
13．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C．下列结论：①abc＞0；②3a﹣c＝0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④对于任意实数m，总有a﹣b≥am2﹣bm．其中正确的是 　 　（填写序号）．
14．如图已知A1，A2，A3，…An是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝…＝An﹣1An＝1，分别过点A1，A2，A3，…An′作x轴的垂线交二次函数yx2（x＞0）的图象于点P1，P2，P3，…Pn，若记△OA1P1的面积为S1，过点P1作P1B1⊥A2P2于点B1，记△P1B1P2的面积为S2，过点P2作P2B2⊥A3P3于点B2，记△P2B2P3的面积为S3，…依次进行下去，则S3＝　 　，最后记△Pn﹣1Bn﹣1Pn（n＞1）的面积为Sn，则Sn＝　 　．
15．如果将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为　 　．
16．若二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，则k的取值范围是 　 　．
17．抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（2，3），抛物线的对称轴为　 　．
三．解答题（共9小题）
18．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小．设r是抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，m．
（1）求b、c的值；
（2）求证：r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）以下结论：m＜1，m＝1，m＞1，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．
19．抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的任意一点，过点P作PE∥y轴交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时P点坐标；
（3）将该抛物线向右平移个单位得到新抛物线y′，N是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点B、C、Q、N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知抛物线y1＝ax2+x+c经过点A（0，），B（1，2）．
（1）求抛物线y1的解析式；
（2）抛物线y1与x轴是否有公共点，若有，求公共点的坐标，若没有，请说明理由；
（3）连接AB，将线段AB向右平移5个单位长度得到线段A'B'，若线段A'B'与抛物线y2＝amx2c（其中m＞0）有且仅有一个公共点，求m的取值范围．
22．已知点A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的差；
（3）当t≤x≤t+3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．
23．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A、B（A与B的左侧），交y轴的负半轴于点C，OC＝3OB，B点的坐标为（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是抛物线对称轴与x轴的交点，点P是第三象限内抛物线上一点，当△PCD面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，绕点D旋转直线CD得到直线l，当直线l经过点P时停止旋转，在旋转过程中，直线l与线段CP交于点N，设点C，P到直线l的距离分别为d1，d2，当d1+d2最大时，求直线l旋转的角度．
24．已知抛物线y＝x2﹣ax﹣x+a（a＞1）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，且OB＝3OA．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）已知点M是抛物线上一点，且纵坐标为m，若n满足n+m2+10m＝0，求n的最大值．
25．已知抛物线y＝mx2﹣3mx﹣18m（m是常数，且m≠0）．
（1）证明：抛物线与x轴总有两个交点；并求出这两个交点A、B（A在B的左侧）的坐标；
（2）若点C（1，5）和D（5，n）在抛物线上，点P是线段AB上的点，且有．请判断△PCD的形状；
（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点Q，使得S△QCD＝S△OCD？若存在，求出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
26．已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴只有一个交点（1，0），并且还经过（2，﹣1），（0，1）两点中的一个点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线y＝n（n＞0）与抛物线交于点A，B，与抛物线y交于点C、D，说明线段AB与线段CD之间的数量关系．
2022年云南省中考数学专题练5-二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x1，
∴b＝﹣2a＜0，
∴ab＜0，所以A选项的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间，所以B选项的结论正确；
把B（0，﹣2），A（﹣1，m）代入抛物线得c＝﹣2，a﹣b+c＝m，
而b＝﹣2a，
∴a+2a﹣2＝m，
∴a，所以C选项的结论正确；
∵点P1（t，y1），P2（t+1，y2）在抛物线上，
∴当点P1、P2都在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时t≥1；
当点P1在直线x＝1的左侧，点P2在直线x＝1的右侧时，y1＜y2，此时0＜t＜1且t+1﹣1＞1﹣t，即t＜1，
∴当t＜1或t≥1时，y1＜y2，所以D选项的结论错误．
故选：D．
2．【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+9，
∴二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，9）．
故选：A．
3．【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，①正确，符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，点A（﹣3，0），
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，②错误，不符合题意．
∵抛物线对称轴为直线x1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，③正确，符合题意．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，④错误，不符合题意．
由图象可知，当x＜﹣3时，y＞0，⑤正确，符合题意．
故选：C．
4．【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，
∴﹣10，
∴2a﹣b＜0，故②正确；
由图象可知，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0；故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，
∴方程ax2+bx+c＝0有两个不想等的实数根x1，x2，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故④正确．
综上，有3个说法正确；
故选：C．
5．【解答】解：∵直线l1：y＝﹣3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴A（1，0），B（0，3），
∵点A、E关于y轴对称，
∴E（﹣1，0）．
∵直线l2：y＝﹣3x+9交x轴于点D，过点B作x轴的平行线交l2于点C，
∴D（3，0），C点纵坐标与B点纵坐标相同都是3，
把y＝3代入y＝﹣3x+9，得3＝﹣3x+9，解得x＝2，
∴C（2，3）．
∵抛物线y＝ax2+bx+c过E、B、C三点，
∴，解得，
∴y＝﹣x2+2x+3．
①∵抛物线y＝ax2+bx+c过E（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，故①正确；
②∵a＝﹣1，b＝2，c＝3，
∴2a+b+c＝﹣2+2+3＝3≠5，故②错误；
③∵抛物线过B（0，3），C（2，3）两点，
∴对称轴是直线x＝1，
∴抛物线关于直线x＝1对称，故③正确；
④∵b＝2，c＝3，抛物线过C（2，3）点，
∴抛物线过点（b，c），故④正确；
⑤∵直线l1∥l2，即AB∥CD，又BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S四边形ABCD＝BC OB＝2×3＝6≠5，故⑤错误．
综上可知，正确的结论有3个．
故选：C．
6．【解答】解：∵C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝﹣x2的图象，
∴两函数图象关于x轴对称，
∴阴影部分面积即是半圆面积，
∴阴影部分的面积S2π．
故选：B．
7．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，
∴OA＝OBAB＝2米，
∵抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），
得：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
把x代入抛物线解析式得出：y＝﹣0.5×6+2＝﹣1，
∴水面应下降的高度是1米，
故选：B．
8．【解答】解：由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x可得，
9a﹣3b+c＝0，，即a＝b，与x轴的另一个交点为（2，0），4a+2b+c＝0，
抛物线开口向下，a＜0，b＜0，
抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，
所以，abc＞0，因此①正确；
由9a﹣3b+c＝0，而a＝b，
所以6a+c＝0，又a＜0，
因此3a+c＞0，所以②正确；
抛物线的对称轴为x，a＜0，因此当x时，y随x的增大而增大，所以③不正确；
由于抛物线的顶点在第二象限，所以0，因此0，故④正确；
抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）（2，0），
因此当y＝﹣3时，相应的x的值应在（﹣3，0）的左侧和（2，0）的右侧，
因此m＜﹣3，n＞2，所以⑤正确；
综上所述，正确的结论有：①②④⑤，
故选：B．
9．【解答】解：①观察图象可知：
a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，
∴①正确；
②当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，
∴②错误；
③对称轴x＝﹣1，即1
得b＝2a，
当x时，y＜0，
即ab+c＜0，
即a+2b+4c＜0，
∴5a+4c＜0．
∴③正确；
④因为抛物线与x轴有两个交点，
所以Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0．
∴④错误；
⑤∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），
∴当y1＞y2时，﹣5＜m＜3．
∴⑤正确．
故选：C．
10．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；
∵抛物线与x轴的两交点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以③错误；
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以④正确．
故选：B．
11．【解答】解：抛物线y＝（x+5）2﹣1的顶点坐标是（﹣5，﹣1），
故选：D．
二．填空题（共6小题）
12．【解答】解：（1）∵直线yx+3与x轴和y轴分别交于C，D两点，
∴C（5，0），D（0，3），
∵抛物线经过点D，
∴t2﹣1＝3，
解得：t＝±2，
∵抛物线经过点A（3，0），
∴（3﹣t）2﹣1＝0，
解得：t＝2或4，
∴t＝2，
∴y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3，
故该抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）设P（t，t2﹣4t+3），过点P作PH∥y轴，交CD于H，
则H（t，t+3），
∴PHt+3﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2t，
∴S△CDPPH×（xC﹣xD）（﹣t2t）（t）2，
∵0，
∴当t时，S△CDP取得最大值，此时，P（，）；
（3）∵当1≤x≤3时，抛物线y＝（x﹣t）2﹣1对应的函数有最小值3，
∴可分三种情况：
①当t＜1时，（1﹣t）2﹣1＝3，
解得：t＝﹣1或t＝3（舍去）；
②当1≤t≤3时，该函数的最小值为﹣1，不符合题意；
③当t＞3时，（3﹣t）2﹣1＝3，
解得：t＝5或t＝1（舍去）；
综上所述，t的值为﹣1或5．
13．【解答】解：把点A（﹣3，0），B（1，0）代入二次函数y＝ax2+bx+c，
可得二次函数的解析式为：y＝ax2+2ax﹣3a，
∵该函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∴b＝2a＜0，c＝﹣3a＞0，
∴abc＞0，3a+c＝0，①错误，②错误；
∵对称轴为直线：x1，
∴x＜﹣1时，y随x的增大而增大，x＞﹣1时，y随x的增大而减小；③错误；
∴当x＝﹣1时，函数取得最大值，即对于任意的m，有a﹣b+c≥am2﹣bm+c，
∴a﹣b≥am2﹣bm，故④正确．
综上，正确的个数有1个，
故答案为：④．
14．【解答】解：当x＝1时，yx2，则P1（1，），所以S11；
当x＝2时，yx2＝2，则P2（2，2），所以S21×（2）；
当x＝3时，yx2，则P3（3，），所以S31×（2），
同样方法可得S4，
所以Sn．
故答案为，．
15．【解答】解：将抛物线y＝（x﹣1）2先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么所得的新抛物线的解析式为：y＝（x﹣1+2）2+1，即y＝（x+1）2+1．
故答案为y＝（x+1）2+1．
16．【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣x+k的图象与x轴有两个公共点，
∴（﹣1）2﹣4×2k＞0，
解得k，
故答案为：k．
17．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，3）和B（2，3），
∴此两点关于抛物线的对称轴对称，
∴x1．
故答案为：直线x＝1．
三．解答题（共9小题）
18．【解答】（1）解：∵y＝﹣2x2+bx+c经过点（0，﹣2），当x＜﹣4时，y随x的增大而增大，当x＞﹣4时，y随x的增大而减小，即对称轴为直线x＝﹣4，
∴，解得；
（2）证明：由题意，抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣16x﹣2，
∵r是抛物线y＝﹣2x2﹣16x﹣2与x轴的交点的横坐标，
∴2r2+16r+2＝0，
∴r2+8r+1＝0，
∴r2+1＝﹣8r
∴（r2+1）2＝（﹣8r）2，
∴r4+2r2+1＝64r2，
∴r4﹣2r2+1＝60r2；
（3）m＞1正确，理由如下：
由（2）知：r4﹣2r2+1＝60r2；
∴r4﹣62r2+1＝0，
∴r7﹣62r5+r3＝0，
而m﹣11
，
由（2）知：r2+8r+1＝0，
∴8r＝﹣r2﹣1，
∵﹣r2﹣1＜0，
∴8r＜0，即r＜0，
∴r9+60r5﹣1＜0，
∴0，
即m﹣1＞0，
∴m＞1．
19．【解答】解：（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式得，
，
解得，；
（2）直线BC与抛物线的对称轴交于点F，连接AF，如图1，
此时，AF+CF＝BF+CF＝BC的值最小，
∵AC为定值，
∴此时△AFC的周长最小，
由（1）知，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，
∴对称轴为直线x＝1，
令y＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝0，
解得，x＝﹣1，或x＝3，
∴B（3，0），
∵C（0，﹣3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），得
，
解得，，
∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，
当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，
∴F（1，﹣2）；
（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），过P作PH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，如图2，
则PH＝5DG，E（m，m﹣3），
∴PE＝m2﹣3m，DE＝m﹣3，
∵∠PHE＝∠DGE＝90°，∠PEH＝∠DEG，
∴△PEH∽△DEG，
∴，
∴，
∵m＝3（舍），或m＝5，
∴点P的坐标为P（5，12）．
故存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，其P点坐标为（5，12）．
20．【解答】解：（1）令y＝0，则x2x+2＝0，
解得x＝﹣1或x＝4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴yx+2，
设P（t，t2t+2），则E（t，t+2），
∴PEt2+2t（t﹣2）2+2，
∵点P为直线BC上方抛物线上一点，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时，PE有最大值2，
此时P（2，3）；
（3）存在点Q，使以点B、Q、N为顶点的四边形为菱形，理由如下：
∵yx2x+2（x）2，
∴平移后的抛物线为y'（x﹣2）2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，
设N（2，n），Q（x，y），
①当BC为菱形对角线时，BC＝BN，
∴，
解得，
∴Q（2，1），N（2，1），此时Q、N重合；
②当BN为菱形对角线时，BC＝CN，
∴，
解得或，
∴Q（6，8）或（6，0）；
③当BQ为菱形对角线时，BC＝BN，
∴，
解得或，
∴Q（﹣2，﹣2）或（﹣2，6）；
综上所述：Q点坐标为（6，8）或（6，0）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，6）．
21．【解答】解：（1）∵抛物线y1＝ax2+x+c经过点A（0，），B（1，2），
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y1x2+x；
（2）抛物线y1与x轴是有公共点．
令y1＝0，则x2+x0，
即x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线y1与x轴的公共点的坐标为（﹣1，0）和（3，0）；
（3）由题意得，A′（5，），B′（6，2），
设直线A′B′的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
直线A′′B′解析式为yx﹣1，且5≤x≤6，
∵线段A'B'与抛物线y2＝amx2c（其中m＞0）有且仅有一个公共点，
∴方程mx2xx﹣1在5≤x≤6的范围内有且只有一个解，
整理得，方程mx2+2mx0在5≤x≤6的范围内有且只有一个解，
∴抛物线y3mx2+2mx在5≤x≤6的范围内与x轴有且仅有一个公共点，
∵抛物线y3mx2+2mx对称轴为x＝2，且开口向下，
由图可知，
当x＝5时，y3≥0，当x＝6时，y3≤0，
即，
解得：，
∴m的取值范围是m≤1．
22．【解答】解：（1）∵已知A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点
∴4+4m﹣2﹣2m＝﹣3
解得，
∴此二次函数的解析式为：y＝x2﹣6x+5，
∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点坐标为（3，﹣4）；
（2）∵抛物线开口向上，顶点坐标为（3，﹣4），
∴当x＝3时，y最小值＝﹣4，
当x＝﹣1时，y最大值＝12，
∴当﹣1≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为16；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，y最大值＝t2﹣6t+5
当x＝t+3时，y最小值＝（t+3）2﹣6（t+3）+5＝t2﹣4，
t2﹣6t+5﹣（t2﹣4）＝4
﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9＝4，
解得（不合题意，舍去）；
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴y最小值＝﹣4，
i）当0≤t时，在x＝t时，y最大值＝t2﹣6t+5，
∴t2﹣6t+5﹣（﹣4）＝4，
解得t1＝1，t2＝5（不合题意，舍去）；
ii）当t＜3时，在x＝t+3时，y最大值＝t2﹣4，
∴t2﹣4﹣（﹣4）＝4，
∴解得t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去）；
③当t＞3时，y随着x的增大而增大，
当x＝t时，y最小值＝t2﹣6t+5，
当x＝t+3时，y最大值＝t2﹣4，
∴t2﹣4﹣（t2﹣6t+5）＝4，
解得（不合题意，舍去）；
综上所述，t＝1或2．
23．【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1，
∴OC＝3OB＝3，
∴C（0，﹣3），
将B（1，0），C（0，﹣3）代入抛物线y＝x2+bx+c，
则，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴D（﹣1，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+n，
则，
解得：，
∴直线CD的解析式为y＝﹣3x﹣3，
如图1，过点P作PH∥x轴交CD于点H，
设P（t，t2+2t﹣3），则H（t2t，t2+2t﹣3），
∴PHt2t﹣tt2t，
∴S△PCDPH×3（t2t）t2t（t）2，
∵0，
∴当t＝﹣4时，△PCD面积取得最大值，
此时，点P的坐标为（，）；
（3）过C点作CE⊥l于点E，过P点作PF⊥l于点F，则CE＝d1，PF＝d2，
∵S△PCDDN×（d1+d2），
当d1+d2取得最大值时，DN应该取得最小值，当DN⊥CP时取得最小值．
根据C（0，﹣3）和P（，）可得CP，
∵S△PCDDN×CP，
∴DN，
当DN⊥CP时，cos∠CDN，
∴∠CDN＝45°，
即直线l旋转的角度为45°．
24．【解答】解：（1）y＝x2﹣ax﹣x+a＝x2﹣（a+1）x+a＝（x﹣a）（x﹣1），
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0）或（a，0）．
∵a＞1，OB＝3OA，
∴A（1，0），B（3，0）．
（2）由（1）可得：a＝3，
∴抛物线的解析式为：＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∵点M的纵坐标是m，抛物线开口向上，
∴m≥﹣1，
∵n+m2+10m＝0，
∴n＝﹣m2﹣10m＝﹣（m+5）+25．
∴当m＞﹣5时，n随m的增大而减小，
∴当m＝﹣1时，n有最大值，最大值为：﹣1+10＝9．
∴n的最大值为9．
25．【解答】（1）证明：令y＝mx2﹣3mx﹣18m＝0，
∵Δ＝（3m）2﹣4m （﹣18m）＝81m2＞0（m≠0），
∴方程mx2﹣3mx﹣18m＝0有两个不相等的根，即抛物线与x轴总有两个交点；
∵m（x﹣6）（x+3）＝0，
∴x＝6或x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），B（6，0）．
（2）将点C（1，5）的坐标代入解析式y＝mx2﹣3mx﹣18m，
∴m﹣3m﹣18m＝5，解得m．
∴yx2x．
令x＝5，则y5252．
∴D（5，2），
∴CD＝5，
由（1）知A（﹣3，0），B（6，0）．
∵点P是线段AB上的点．且有，
∴设点P的横坐标为t，则（t+3）：（6﹣t）＝3：5，解得t，
∴P（，0），
∴PC，PD，
∴PC＝PD，
∴△PCD是等腰三角形且PC＝PD．
（3）存在，理由如下：
如图，过点O作CD的平行线分别与抛物线交于点Q1，Q2，
则S△Q1CD＝S△Q2CD＝S△OCD，
设直线CD的解析式为：y＝kx+b，
∵C（1，5），D（5，2），
∴，解得．
∴直线CD的解析式为：yx．
∴直线OQ1的解析式为：yx，
令yx2xx，解得x＝3+3或x＝3﹣3．
∴点Q的坐标为：（3+3，）或（3﹣3，）．
26．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴只有一个交点（1，0），
∴抛物线顶点为（1，0），
∴y＝a（x﹣1）2，
将（2，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2得﹣1＝a，
∴y＝﹣（x﹣1）2＝﹣x2+2x﹣1（不符合题意，舍去）．
将（0，1）代入y＝a（x﹣1）2得1＝a，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2＝x2﹣2x+1．
（2）把y＝n代入y＝（x﹣1）2得n＝（x﹣1）2，
解得x1＝1，x2＝1，
∴AB＝2．
把y＝n代入y得n，
解得x3＝1，x4＝1，
∴CD＝2，
∴．

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