资源简介

空间向量及其线性运算
【学习目标】
1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；
2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.
【学习过程】
一、复习：
1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模； 叫零向量，记着 ； 具有 叫单位向量.
2. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.
3.实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)当λ＞0时，λa与A. ；当λ＜0时，λa与A. ；当λ＝0时，λa＝ .
4. 向量加法和数乘向量运算律：
交换律：a＋b＝ 结合律：(a＋b)＋c＝ 数乘分配律：λ(a＋b)＝
5.① 表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
②空间向量共线定理：对空间任意两个向量（）， 的充要条件是存在唯一实数， 使得 ；
③ 推论： l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是
6. 空间向量共面：
①共面向量： 同一平面的向量.
②定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在 ， 使得 .
③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：
⑴ 存在 ，使
⑵ 对空间任意一点O，有
7.向量的数量积： .
8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.
9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着 .
10. 设A，B，则＝ .
11. 向量的直角坐标运算：
设a＝，b＝，则
⑴a＋b＝ ； ⑵a－b＝ ；⑶λa＝ ；
⑷a·b＝
二、动手试试
1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B. 1 C. 2 D. 3
2．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、是（ ）
A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量
3．已知a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ=（ ）
A. B. C. D.
4．若a、b均为非零向量，则是a与b共线的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6. 则（ ）
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1
三、典型例题
例1 如图，空间四边形OABC中，，
，点M在OA上，且OM=2MA,点为的中点，则 .
变式：如图，平行六面体中，，,点分别是的中点，点Q在上，且,用基底表示下列向量：
⑴ ; ⑵ ; ⑶ ; ⑷ .
例2 如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，,点是的中点，求证：.
变式：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是的中点，在直线上求一点N，使得
【达标检测】
1．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若，，， 则（ ）
A. B. C. D.
2.、（ ）
A． B． 与不平行也不垂直 C. ， D．以上情况都可能.
3. 已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．以上都不对
4.已知且与互相垂直，则的值是（ ）
A. 1 B. C. D.
5. 若A(m＋1，n－1,3)， B. (2m,n,m－2n)， C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n=
【作业布置 】
如图，在棱长为1的正方体中，点分别是的中点.
⑴ 求证：；
⑵ 求与所成角的余弦；
⑶ 求的长.
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