资源简介

空间向量的数量积运算
【学习目标】
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律。
2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题。
【学习过程】
一、预习
1．空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量在空间中任取一点O，作则∠AOB叫做向量的夹角
记法
范围 _______。当<>=
想一想：<>与<>相等吗？<>与<>呢？
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量，则||||
（2）数量积的运算律：
数乘向量与向量数量积的结合律
交换律 =________
分配律
（3）数量积的性质
两个向量积的性质 （1）若
（3）若θ为
（4）
想一想：类比平面向量，你能说出的几何意义吗？
3．如何理解空间向量的夹角？
（1）任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两个平面向量夹角范围一样，即；
（2）空间向量的夹解在之间，但直线夹角在内，利用向量求直线夹角时注意转化，两直线的夹角余弦值一定为非负数。
4．如何理解平面向量与空间向量数量积的关系？
由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同。
5．怎样理解向量的应用？
由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以许多立体几何中的问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助向量的数量积运算加以解决。
（1）=||||可用来求两个向量的夹角、两条异面直线所成的角。
（2），用于判断空间两个向量（或空间两条直线）的垂直。
（3），用于对向量模的计算，求两点间的距离和线段的长度。
拓展：（1）空间向量数量积运算不满足消去律，即
（2）空间向量的数量积运算不满足结合律，即不正确。
二、课堂互动
类型一：利用数量积求夹角
例1：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线BC1与AC的夹角的大小。
类型二：利用数量积求两点间的距离
例2：如图，已知线段AB⊥平面αBCα，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF=30°，D与A在α的同侧，若AB=BC=CD=2，求A．D两点间的距离。
类型三：利用数量积证明垂直关系
例3：如图已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，求证CA1⊥B1D1．
【达标检测】
限时：20分钟 使用时间：
1．设是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：
①；
②；
③垂直；
④
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2．空间向量
A． B． C． D．
3．空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
4．设向量
5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若棱长为a，求。
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