资源简介

空间向量及其运算
【学习目标】
1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养．
2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算素养．
3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及逻辑推理的数学素养．
【学习重难点】
1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．
2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．
3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．
【学习过程】
一、新知初探
1．空间向量
（1）定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．
（2）模（或长度）：向量的大小．
（3）表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．
2．几类特殊的向量
（1）零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．
（2）单位向量：模等于1的向量称为单位向量．
（3）相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．
（4）相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
（5）平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．
（6）共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．
3．空间向量的线性运算
类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．
图1 图2
（1）如图1，＝＋＝a＋b，＝－＝a－b．
（2）如图2，＋＋＝．
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．
（3）给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：
①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：
（ⅰ）当λ＞0时，与a的方向相同；
（ⅱ）当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．
（4）空间向量的线性运算满足如下运算律：
对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝（λ＋μ）a；②λ（a＋b）＝λa＋λb．
4．空间向量的数量积
（1）空间向量的夹角
如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b．
（2）空间向量数量积的定义：
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积（或内积），记作a·b．
（3）数量积的几何意义
①向量的投影
如图所示，过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′.
②数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.
（4）空间向量数量积的性质：
①a⊥b a·b＝0；
②a·a＝|a|2＝a2；
③|a·b|≤|a||b|；
④（λa）·b＝λ（a·b）；
⑤a·b＝b·a（交换律）；
⑥（a＋b）·c＝a·c＋b·c（分配律）．
二、初试身手
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小．（　　）
（2）两个相反向量的和为零向量．（　　）
（3）只有零向量的模等于0．（　　）
（4）空间中任意两个单位向量必相等．（　　）
2．下列命题中正确的是（　　）
A．（a·b）2＝a2·b2
B．|a·b|≤|a||b|
C．（a·b）·c＝a·（b·c）
D．若a⊥（b－c），则a·b＝a·c＝0
3．（教材P11练习A②改编）化简：
（1）（a＋2b－3c）＋5＝________；
（2）（－）－（－）＝________．
4．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，则
（1）〈，〉＝________；
（2）〈，〉＝________；
（3）〈，〉＝________．
三、合作探究
类型1 空间向量的概念及简单应用
【例1】（1）下列说法中正确的是（　　）
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有＋＝
类型2 空间向量的线性运算
【例2】（1）如图所示，在三棱柱ABC A1B1C1中，N是A1B的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝（　　）
A．（a＋b－c）
B．（a＋b＋c）
C．a＋b＋c
D．a＋（b＋c）
（2）如图，已知长方体ABCD A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．
①－；
②＋＋．
类型3 数量积的运算及应用
【例3】如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
（1）·；
（2）·；
（3）（＋）·（＋）．
【学习小结】
1．空间向量的基本概念，特别注意单位向量和零向量．单位向量的长度为1，方向任意．零向量的方向是任意的，与任意向量平行，零向量与任意向量的数量积为0．
2．向量的线性运算包括向量的加法、减法与数乘运算．加减法运算遵循平行四边形法则和三角形法则，向量的数量积运算要注意两个向量的夹角．
【精炼反馈】
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，下列各对向量夹角为45°的是（　　）
A．与
B．与
C．与
D．与
2．在棱长为2的正四面体ABCD中，若E、F分别是BC、AD的中点，则·等于（　　）
A．0
B．
C．-1
D．1
3．化简：2＋2＋3＋3＋＝________．
4．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________．
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