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2022年上海市青浦区中考数学二模试卷
副标题
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共6小题，共18分）
在中，，的余弦是
A. B. C. D.
已知非零向量和单位向量，那么下列结论中，正确的是
A. B. C. D.
下列二次根式的被开方数中，各因式指数为的有
A. B.
C. D.
下列说法中，错误的有
能被整除；
把开平方得的平方根，表示为；
把精确到万位是；
对于实数，规定．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列关于代数式的说法中，正确的有
单项式系数是，次数是次；
多项式是一次二项式；
是二次根式；
对于实数，．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为顶点，为一边作角，角的另一边交轴于在上方，则坐标为
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共12小题，共36分）
如果从、、、、任意选取一个数，选到的数是无理数的概率为______．
将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位后，所得抛物线为，则抛物线解析式为______．
抛物线在对称轴左侧，随的增大而增大，则的取值范围是______．
为防治新冠病毒，某医药公司一月份的产值为亿元，若每月平均增长率为，第一季度的总产值为亿元，则关于的函数解析式为______．
如图，是实验室里一批种子的发芽天数统计图，其中“天发芽”的圆心角和“天发芽”的百分比如图所示，“天发芽”与“天发芽”的扇形弧长相等．则这批种子的平均发芽天数为______．
已知正多边形每个内角的度数为，则正多边形的边长与半径的比值为______．
如图，已知平行四边形中，是上一点，，联结交于，若向量，向量，则向量______．
如图，已知中，点是上一点，，若，，则______．
小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为______米．
如图，已知中，、分别在边、上，，平分，交于，若，则______．
如图，已知在中，，，，是边上一点，将沿直线翻折，点落在点处，如果，那么点与点的距离等于______．
如图，在直角梯形中，，，是上一定点，，，，点是上一个动点，以为圆心，为半径作若与以为圆心，为半径的有公共点，且与线段只有一个交点，则长度的取值范围是______．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
先化简代数式，然后在下列数值、、、、中，挑选一个作为的值代入求值．
解不等式组，并将解集在数轴上表示出来，并写出其自然数解．
为了解某区名学生放学后在校体育运动的情况，调研组选择了有名学生的校，抽取名学生进行调查，调查情况具体如表．
表：感兴趣的运动项目
项目 乒乓球 篮球 足球 羽毛球 健美操
人数
此次调查的总体是______，样本容量是______；
若从年级某学习加强班进行抽样调查，则这样的调查______“合适”，“不合适”，原因是样本不是______样本；
根据如表，估计该校对篮球感兴趣的学生的总人数为______；
根据如图，若从左至右依次是第一、二、三、四、五组，则中位数落在第______组．
若要从对篮球感兴趣的同学中选拔出一支篮球队来，现在有以下两名学生的投篮数据，记录的是每次投篮命中的个数．
甲同学：、、、、；乙同学：、、、、．
若想要选择更稳定的同学，你会选择计算这两组数据的______，因为这个量可以代表数据的______请计算出你所填写的统计量，并且根据计算的结果，选择合适的队员．
如图，已知是的直径，是上一点，点、在直径两侧的圆周上，若平分，求证：劣弧与劣弧相等．
如图，已知在梯形中，，对角线、交于，平分，点在底边上，联结交对角线于，．
求证：四边形是菱形．
联结，求证：．
已知直线经过点，两点，抛物线与已知直线交于、两点点在点的右侧，顶点为．
求直线的表达式；
若抛物线的顶点不在第一象限，求的取值范围；
若直线与直线所成夹角的余切值等于，求抛物线的表达式．
梯形中，，于点，，，以为直径，以为直径，直线与交于点，与交于点如图，设．
记两圆交点为、在上方，当时，求的值；
当与线段交于、时，设，求关于的函数关系式，并写出定义域；
联结，线段与交于点，分别联结、，若与相似，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，
，
故选：．
根据余弦的定义即可得出答案．
本题考查了解直角三角形，掌握是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、，不符合题意；
B、不一定成立，因为非零向量和单位向量的方向不一定相同，不符合题意；
C、，符合题意；
D、不一定成立，因为非零向量和单位向量的方向不一定相同，不符合题意．
故选：．
根据向量既有长度也有方向对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了向量的运算，向量的问题一定要注意从方向与模两方面考虑．
3.【答案】
【解析】解：被开方数的指数为，所以此选项正确；
B.的指数为，所以此选项错误；
C.中，的指数不是，所以此选项错误；
D.，所以被开方数因式的指数是所以此选项错误；
故选：．
根据二次根式的定义判断即可．
本题主要考查了二次根式的定义，分清因数和指数是解答此题的关键．
4.【答案】
【解析】解：能被整除，故原说法错误；
把开平方得的平方根，表示为，故原说法错误；
把精确到万位是，故原说法错误；
对于实数，规定，当，不是正整数时不成立，故原说法错误；
故错误的个数为个，
故选：．
根据平方根的定义、近似数及分数指数幂逐项判定即可．
本题主要考查平方根的定义、近似数及分数指数幂，熟练掌握平方根的定义、近似数及分数指数幂是解答此题的关键．
5.【答案】
【解析】解：单项式系数是，次数是，故不符合题意；
不是整式，故不符合题意；
是二次根式，故符合题意；
对于实数，，故不符合题意；
正确的个数是个，
故选：．
根据单项式的系数和次数判断；根据多项式的定义判断；根据二次根式的定义判断；根据二次根式的性质判断．
本题考查了二次根式的定义，单项式，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：过点在上方作，使，过点作轴于，过点作轴于，
是等腰直角三角形，
，
轴，轴，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，，，
，，
，
，
设的解析式为，
，解得，
的解析式为，
令，则，
的坐标为．
故选：．
过点在上方作，使，则是等腰直角三角形，过点作轴于，过点作轴于，证明≌，则，，可得，利用待定系数法求的解析式，与轴的交点坐标即为所求的的坐标．
本题考查坐标与图形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是作辅助线构造全等三角形．
7.【答案】．
【解析】解：从、、、、这个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有种情况，即：、；
抽取到无理数的概率为：．
故答案为：．
由从、、、、中这六个数中任意抽取一个，抽取到无理数的有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】
【解析】解：将抛物线向左平移个单位，向上平移个单位后，所得抛物线为，
将抛物线向右平移个单位，向下平移个单位后，得到抛物线为，即．
故答案为：．
根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
9.【答案】
【解析】解：由题意得抛物线开口向下，
，
，
故答案为：．
由抛物线开口向下时，对称轴左侧随的增大而增大可得，进而求解．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．
10.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
把一月份、二月份、三月份的产值加起来就是第一季度的总产值，根据题意即可得出答案．
本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，把一月份、二月份、三月份的产值加起来是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：“天发芽”所占的百分比为：，
天发芽”与“天发芽”的扇形弧长相等，
天发芽”与“天发芽”所占的百分比都是，
这批种子的平均发芽天数为：，
故答案为：．
根据题意和扇形统计图中的数据，可以计算出发芽天、天和天所占的百分比，然后根据加权平均数的计算方法计算即可．
本题考查扇形统计图、加权平均数，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：正多边形每个内角的度数为，
正多边形每个外角的度数为，
边，
如图，，
过点作于点，
，
，，
设半径为，
，
，
正多边形的边长与半径的比值为．
故答案为：．
根据多边形的外角和是求出正多边形的边数，过点作于点，构造直角三角形，利用解直角三角形求解．
本题考查了正多边形和圆，根据多边形的外角和是求出正多边形的边数是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：向量，向量，
，
中，，
，，
∽，
，
．
故答案是：．
利用三角形法则，可求得，易证得∽，然后由相似三角形的对应边成比例，求得，继而求得答案；
此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
14.【答案】
【解析】解：，，
∽．
．
，
．
在中，
，
．
故答案为：．
先说明与的关系，得到与的关系，再在中利用直角三角形的边角间关系求出即可．
本题主要考查了三角形相似，掌握三角形相似的判定方法和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设米，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得，
故答案为：．
设米，用含的代数式表示出和的长，再根据可得的值．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】
【解析】解：，，
∽，
，
，
，
，
平分，
，
∽，
．
故答案为：．
由，推出∽，得到，，由于平分，于是得到，证得∽，即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
17.【答案】．
【解析】解：如图，作垂足为，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，过点作延长线于点，
，
四边形是直角梯形，
过点作于点，得矩形，
，，
在中，，
是由翻折，
，，
，
，
，
，
．
点与点的距离等于．
故答案为：．
作垂足为，根据已知条件可得，，过点作延长线于点，可得四边形是直角梯形，过点作于点，得矩形，然后利用勾股定理即可解决问题．
本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键，解题时要善于发现特殊三角形，属于中考常考题型．
18.【答案】
【解析】解：根据题意可知：的最小值为圆与相切，切点为，如图所示：
，
在直角梯形中，
，
，
四边形是矩形，
，
最大值为圆与圆内切，切点为，
，
则长度的取值范围是．
故答案为：．
根据题意可得的最小值为圆与相切，切点为；最大值为圆与圆内切，切点为，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题．
本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系．
19.【答案】解：
，
要使分式有意义，必须且且且，
即不能为，，，，
取，
当时，原式
．
【解析】先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，根据分式有意义的条件求出不能为，，，，取，最后代入求出答案即可．
本题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
20.【答案】解：
由得，，
由得，，
所以不等式的解集为：．
在数轴上表示为：
故其自然数解为：，、．
【解析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
21.【答案】某区名学生放学后在校体育运动的情况 不合适 随机 三 方差 稳定性
【解析】解：此次调查的总体是某区名学生放学后在校体育运动的情况，样本容量是，
故答案为：某区名学生放学后在校体育运动的情况，；
从年级某学习加强班进行抽样调查，则这样的调查不合适，原因是样本不是随机样本，
故答案为：不合适，随机；
人，
故答案为：；
第和第个数是中位数，故中位数落在第三组，
故答案为：三；
想要选择更稳定的同学，你会选择计算这两组数据的方差，因为这个量可以代表数据的稳定性，
甲同学命中的平均数为，乙同学命中的平均数为，
，
，
，
选乙队员．
故答案为：方差，稳定性．
根据总体和样本容量的定义解答；
根据样本的选取方式解答；
用样本估计总体即可；
根据中位数的定义解答；
根据方差是意义和计算方法解答．
本题考查频数分布直方图，频数分布表，掌握频率是正确解答的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
22.【答案】证明：过点作于点，作于点，连接、，
平分，，，
，
在和中，
，
≌，
，
平分，
，
，
，，
，
，
劣弧与劣弧相等．
【解析】过点作于点，作于点，连接、，根据角平分线的性质得到，利用判定≌，则，根据三角形外角性质推出，据此即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，利用判定≌是解题的关键．
23.【答案】证明：，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
，
四边形是菱形；
四边形是菱形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
∽，
，
，
，
，
，，
，
．
【解析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定可得结论；
由“”可证≌，可得，由相似三角形的性质可得，即可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
24.【答案】解：直线经过点，，
，
解得：，
该直线的函数表达式为：；
由知：，
，
该抛物线的顶点为，
由题意得：，
解得：；
的取值范围为；
当时，如图，过点作轴交直线于点，交轴于点，作于点，
，
，
，
由，
得：，，
，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，
抛物线的表达式为；
当时，如图，过点作轴交直线于点，交轴于点，作于点，
，
，
，
由，
得：，，
，
，
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，与矛盾；
综上所述，抛物线的表达式为．
【解析】运用待定系数法即可求得答案；
由，可得该抛物线的顶点为，再由题意列出不等式组求解即可；
分两种情况：当时，如图，过点作轴交直线于点，交轴于点，作于点，求出的坐标，利用三角函数得出，再求出，根据，建立方程求解即可得出答案；当时，运用的方法即可求得答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，抛物线的顶点式，求二次函数与一次函数的图象的交点，等腰直角三角形性质，三角函数等知识，难度适中，运用分类讨论思想和数形结合思想是解题关键．
25.【答案】解：如图，
与的交点记作点，
是两圆的公共弦，
，，
连接，则，
根据勾股定理得，，
记与的交点为，连接，交于，
为的直径，
，
在中，，，
设，则，
根据勾股定理得，，
，
或舍去，
，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
连接，则，
根据勾股定理得，，
，
是的中点，
是的中位线，
，，
同理：四边形是矩形，
，
，
；
如图，
连接，则，
过作，
则，
由知，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
当点与重合时，，
，
，
当与相切时，，
，
，
定义域为，
即关于的函数关系式为；
如图，
与相似，且，
当∽时，
，此时，点和点重合，
，
，
当∽时，
，
，
，
，
，
，
，
由知，，
，
过点作于，
，
，
在中，，
，
即满足条件的值为或．
【解析】先求出，进而求出，再求出，，根据勾股定理求出，进而得出，即可求出答案；
连接，则，过作，则，进而得出，进而得出，当点与重合时，，当与相切，即可求出答案；
分两种情况：当∽时，得出点和点重合，求出，当∽时，判断出，再用三角函数求出的值．
此题是圆的综合题，主要考查了矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，三角形的中位线定理，相似三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
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