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专题06 数列
1.【2021年·全国甲卷（理）】等比数列的公比为q，前n项和为.设甲：，乙：是递增数列，则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2.【2021年·北京卷】和是两个等差数列，其中为常值，，，，则( )
A.64 B.100 C.128 D.132
3.【2019年·全国Ⅰ卷（理）】记为等差数列的前n项和.已知，则()
A． B． C． D．
4.【2020年·全国Ⅱ卷（理）】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( )
A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块
5.【2021年·浙江卷】已知数列满足，，记数列的前n项和为，则( )
A. B. C. D.
6.【2020年·全国Ⅰ卷（文）】设是等比数列，且，，则( )
A.12 B.24 C.30 D.32
7.【2021年·全国甲卷（文）】记为等比数列的前n项和.若，，则( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.【2021年·北京卷】数列是递增的整数数列，且，，则n的最大值为( )
A.9 B.10 C.11 D.12
9.【2020年·全国Ⅱ卷（文）】记为等差数列的前n项和.若，，则____.
10.【2019年·全国Ⅲ卷（文）】记为等差数列的前n项和，若，则___________.
11.【2021年·新高考Ⅰ卷】某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n次，那么____.
12.【2020年·全国Ⅰ卷（理）】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和.
13.【2021年·新高考Ⅰ卷】已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
14.【2021年·全国乙卷（文）】设是首项为1的等比数列，数列满足.已知，，成等差数列.
（1）求和的通项公式；
（2）记和分别为和的前n项和.证明：.
15.【2021年·全国乙卷（理）】记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知.
（1）证明：数列是等差数列.
（2）求的通项公式.
答案以及解析
1.答案：B
解析：本题考查等比数列的定义和求和、充要条件.若，，则是递减数列.若是递增数列，则，一定可得.故甲是乙的必要条件但不是充分条件.
2.答案：C
解析：由题，，则，故.
3.答案：A
解析：由题知，，解得，∴，故选A．
4.答案：C
解析：由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为，易知其首项，公差，所以.设数列的前项和为，由等差数列的性质知也成等差数列，所以，所以，得，所以三层共有扇面形石板的块数为，故选C.
5.答案：A
解析：本题考查递推数列数列求和、不等式.
第1步（对数列通项进行放缩）：
由已知可知，，，，故数列是正项递减数列，.因为，所以.利用累加法，知，可得，即，即，所以.利用累乘法，知，即，所以.
第2步（求和比较）：
.显然，.综上所述，.
6.答案：D
解析：解法一设等比数列的公比为，所以，由，解得，所以，故选D.
解法二令，则.设数列的公比为，则，所以数列为等比数列，由题意知，，所以等比数列的公比，所以，所以，故选D.
7.答案：A
解析：本题考查等比数列的求和公式与性质应用.设等比数列的公比为q，显然，根据题目条件可得化简可得，即，所以.
8.答案：C
解析：要想n最大，前面的项应该越小越好，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14前12项和为102超过了100，故n的最大值为11.如3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，25.故选C.
9.答案：25
解析：通解设等差数列的公差为，则由，得，即，解得，所以.
优解设等差数列的公差为，因为，所以，所以，所以.
10.答案：100
解析：得
11.答案：5；
解析：本题考查等比数列的前n项和、错位相减法求和及逻辑推理.（1）折4次可以得到，，，，共五种规格的图形.（2）由题意可知折k次共有种规格的图形，每个图形的面积为，则这些图形的面积之和，从而可知.令，则，所以，两式相减得，所以，所以.
12.答案：(1)；(2).
解析：(1)设的公比为，由题设得，即.
所以，解得(舍去)，.
故的公比为.
(2)记为的前项和.由(1)及题设可得，.所以，
.
可得
.
所以.
13.答案：（1）因为2n为偶数，
所以，，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
所以，，.
（2）当n为奇数时，，
所以的前20项和为
.
由（1）可知，，
所以的前20项和为.
14.答案：（1）因为，，成等差数列，所以.
因为是首项为1的等比数列，设其公比为q，
则，所以，所以，
所以.
（2）由（1）知，，
所以.
，①
所以，②
①-②，得，
所以，
所以，
所以.
15.答案：（1）当时，，
由，解得.
当时，由题知，代入，
可得，所以，
所以是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由题意，得.
由（1）可得.
由，可得.
当时，，显然不满足该式，
所以

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