资源简介

第 3课时 共面向量定理
知识技能
1. 了解向量共面的含义，理解共面向量定理．
2. 能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题．
思想方法
利用类比的思想，经历共面向量定理的发现、归纳及证明的过程，完善共面
向量定理的知识建构．
核心素养
1. 通过对空间向量“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程，提升逻辑推
理素养．
2. 通过对共面向量定理的运用，提升数学运算素养．
教学重点：空间向量共面定理的应用．
教学难点：空间向量共面定理的证明及其应用．
问题导引
预习教材 P12～14，思考下面的问题：
1. 怎样的空间向量是共面的？
2. 共面向量定理的内容是什么？
3. 结合已学的平面向量有关知识，思考共面向量定理的应用有哪些？
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1. →已知空间四点 O, A, B, P满足OP＝mO→A＋nO→B，且 A, B, P三点共线，则
m＋n＝__1__.
2. 在长方体 ABCD A1B1C1D1中，试用A→B →，AD →表示 A1C1.
解 因为A→C＝A→B＋A→D，由立体几何知识知 AC∥A1C →1且 AC＝A1C1，则AC＝
A→1C1，所以A→1C1＝A→B＋A→D.
一、 问题情境
问题 1 在平面向量中，向量 b 与向量 a(a≠0)共线的充要条件是存在实数λ，
使得 b＝λa.那么，空间中任意一个向量 p 与两个不共线向量 a, b 共面时，它们之
间存在怎样的关系呢？
问题 2观察长方体，你能发现空间向量之间有什么关系？[1]
二、 数学建构
如图 1，在长方体 ABCD A B → → → → → →1 1C1D1中，A1B1＝AB， A1D1＝AD，而AB， AD，
A→C在同一平面内，此时，我们称A→1B1， A→1D1， A→C是共面向量．
(图 1)
1. 共面向量：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量．
问题 3你能从长方体中尝试找出几组共面向量？[2]
问题 4
1 1
向量A→C ＝A→B＋A→1 1 D，向量A→1O1＝ A→B＋ A→D，那么向量A→1O1与向量A→B， A→D
2 2
→
共面吗？若A1M1＝xA→B＋yA→D(x, y∈R)，你能得到什么结论？[3]
2. 共面向量定理：如果两个向量 a, b 不共线，那么向量 p 与向量 a, b 共面
的充要条件是存在有序实数组(x, y)，使 p＝xa＋yb.
证明 (必要性)向量 a, b 不共线，当向量 p 与向量 a, b 共面时，它们可以平
移到同一个平面内，根据平面向量的基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y)，使
得 p＝xa＋yb.
(充分性)对于空间的三个向量 p，a, b，其中 a, b 不共线．如果存在有序实数
组(x, y)，使 p＝xa＋yb，那么在空间任意取一点 M，作M→A＝a, M→B＝b, M→A′＝
xa，过点 A′作A′→P＝yb(如图 2)，则M→P＝M→A′＋A→′P＝xa＋yb＝p，于是点 P
在平面 MAB内，从而M→P M→， A， M→B共面，即向量 p 与向量 a, b 共面．
(图 2)
与平面向量一样，p＝xa＋yb，这就是说，向量 p 可以由两个不共线的向量
a, b 线性表示．
三、 数学运用
例 1 已知 A, B, C 1 1三点不共线，平面 ABC外一点 M满足O→M＝ O→A＋ O→B＋
3 3
1O→C.
3
(1) 判断M→A， M→B， M→C三个向量是否共面；
(2) 判断点 M是否在平面 ABC内．[4]
(见学生用书课堂本 P5)
[处理建议] 根据共面向量定理，只需证明存在实数 x, y，使得M→A＝xM→B＋
yM→C.
[规范板书] → → → →解 (1) 因为OA＋OB＋OC＝3OM，
所以O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)，
M→A B→所以 ＝ M＋C→M → →＝－MB－MC，
所以向量M→A， M→B， M→C共面．
(2) 由(1) →知向量MA， M→B →， MC共面，而它们有共同的起点 M，且 A, B, C
三点不共线，所以点 M, A, B, C共面，即点 M在平面 ABC内．
已知向量A→B →，CD分别在两条异面直线上，M, N分别为线段 AC, BD
的中点，求证：向量A→B， C→D， M→N共面．
[ ] M→N M→A A→B B→N M→N M→ → →规范板书 证明 ＝ ＋ ＋ ， ＝ C＋CD＋DN，两式相加
得 2M→N＝M→A＋M→C＋A→B＋C→D＋B→N＋D→N.又因为M→A＋M→C＝0, B→N＋D→N＝0，所以
2M→N＝A→B＋C→D，即M→N 1＝ A→B 1＋ C→D，所以A→B， C→D， M→N共面．
2 2
[题后反思] 解决向量共面的策略：(1) 若已知点 P在平面 ABC内，则有A→P
＝xA→B＋y A→C或O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已
知向量，用待定系数法求出参数．
(2) 证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要
灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量表示.
例 2 (教材 P13例 6改编)设空间任意一点 O和不共线的三点 A, B, C，若点
P满足向量关系O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其中 x＋y＋z＝1)，试问：P, A, B, C四点
是否共面？[5]
(见学生用书课堂本 P5)
[处理建议] 通过分析，将判断 P, A, B, C四点是否共面转化为空间向量是否
共面．即要判断 P, A, B, C四点是否共面，可考察三个共起点的向量A→P， A→B，
A→C是否共面．
[规范板书] 解 由 x＋y＋z＝1(不妨设 x≠0)，可得 x＝1－z－y，
O→P (1 z y)O→A yO→B zO→C O→A y(O→B O→A) z(O→ →则 ＝ － － ＋ ＋ ＝ ＋ － ＋ C－OA)，
所以O→P－O→A＝y(O→B－O→A)＋z(O→C－O→A)，即A→P＝yA→B＋zA→C.
由 A, B, C三点不共线，可知A→B和A→C不共线，所以A→P， A→B， A→C共面且具
有公共起点 A，从而 P, A, B, C四点共面．
如果将 x＋y＋z＝1整体代入，由(x＋y＋z)O→P＝xO→A＋yO→B＋z O→C出
发，你能得到什么结论？
[规范板书] 解 将 x＋y＋z＝1整体代入，得 xA→P＋yB→P＋zC→P＝0，则 P, A,
B, C四点共面．
[题后反思] (1) 联系平面向量，对于空间中任意一点 O，满足向量关系O→P
＝xO→A＋yO→B(其中 x＋y＝1)的三点 P, A, B是否共线类比联想到空间四点共面的
判断方法．
(2) 通过确定的数量关系来研究几何位置关系，体现了数形结合的思想.
例 3 如图，在底面是菱形的四棱锥 P ABCD中，E是 PD的中点，求证：
PB∥平面 AEC.[6]
(例 3)
[处理建议] 本题要证 PB∥平面 AEC，可转化为证明向量P→B与平面 AEC内
某一向量平行或两个不共线向量共面，且 PB不在平面 AEC内．
[规范板书] 证法一 连接 BD，交 AC于点 O，再连接 EO.因为底面 ABCD
是菱形，所以 O是 BD的中点．又因为 E是 PD的中点，所以 OE是△DBP的中
位线，所以P→B∥E→O.又因为 PB 平面 AEC，EO 平面 AEC, 所以 PB∥平面 AEC.
→ →
证法二 因为底面 ABCD是菱形，所以AB＝DC.
又因为 E是 PD的中点，所以P→D＝2E→D，所以P→B＝P→D＋D→A＋A→B＝2E→D＋D→A
＋D→C＝(E→D＋D→A)＋(E→D＋D→C)＝E→A＋E→C.
又因为E→A与E→C不共线，所以P→B， E→A， E→C共面．
而 PB 平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC.
[题后反思] 可以通过添加辅助线(证法一)，用综合法证明；也可以用向量
的方法进行证明(证法二)．通过比较这两种方法，让学生感知用空间向量的知识
来求解立体几何问题，逐步认识空间向量的解题功能．
如图，已知斜三棱柱 ABCA1B1C1，在 AC1和 BC上分别取点 M, N，
使A→M＝kA→C1， B→N＝kB→C，其中 0＜k≤1，求证：MN∥平面 ABB1A1.
(变式 1)
[规范板书] 证明 因为A→M＝kA→C1＝k(A→A1＋A→B＋B→C)，A→N＝A→B＋B→N＝A→B
＋kB→C，
M→N A→N A→所以 ＝ － M＝(1－k)A→B－kA→A1，
所以M→N与向量A→B， A→A1共面．
而 MN 平面 ABB1A1，
所以 MN∥平面 ABB1A1.
如图，已知四边形 ABCD, ABEF都是平行四边形，且它们所在的
平面不共面，M, N分别是 AC, BF的中点，求证：CE∥MN.
(变式 2)
[规范板书] 证明 因为 M, N分别是 AC, BF的中点，四边形 ABCD, ABEF
都是平行四边形，所以M→N＝M→A＋A→F 1＋F→N＝ C→A＋A→F 1＋ F→B.
2 2
→ → → → → 1→ → → 1→
又因为MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－ CA＋CE－AF－ FB，
2 2
1→
所以 CA →＋AF 1＋ F→B 1→＝－ CA＋C→E → 1→－AF－ FB，
2 2 2 2
→
所以CE＝C→A →＋2AF＋F→B →＝2(MA A→F →＋ ＋FN)，
所以C→E＝2M→N， 所以C→E∥M→N.
因为点 C不在 MN上，所以 CE∥MN.
[题后反思] 证明空间图形中的两条直线平行，可以转化为证明两个向量共
线问题．这里关键是利用向量的线性运算，从而确定C→E＝λM→N中λ的值．
四、 课堂练习
1. (多选)下列命题中，假命题有(BCD)
A. 若 A, B, C, D → → → →是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0
B. |a|－|b|＝|a＋b|是 a, b 共线的充要条件
C. 若A→B， C→D共线，则 AB∥CD
D. 对空间任意一点 O与不共线的三点 A, B, C，若O→P＝xO→A＋yO→B＋zO→C(其
中 x, y, z∈R)，则 P, A, B, C四点共面
2. →若点 P与不共线的三点 A，B，C共面，且对于空间任意一点 O，都有OP
1
＝ O→A 3＋2O→B＋λO→C，则λ＝－ .
2 2
3. 已知两个非零向量 e e 不共线，如果A→B＝e ＋e A→C＝2e ＋8e ，A→1, 2 1 2, 1 2 D＝3e1
－3e2，求证：A, B, C, D四点共面．
证明 因为A→C＋A→D＝5(e1＋e ) A→B 12 ，所以 ＝ (A→C＋A→D)，所以A→B， A→C，A→D
5
共面且共起点，即 A, B, C, D四点共面．
4. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F分别是 BB → →1,A1D1的中点，问：A1B，B1C
与E→F是否共面？
→ → →
解 EF＝EB＋BA1＋A→F 1B→B A→ 1 →1 ＝ 1 － 1B＋ A1D 1(B→1＝ 1B＋B→C) → 1 →－A1B＝ B1C－
2 2 2 2
A→1B.又因为B→1C， A→ → → →1B不共线，根据共面向量定理可知向量A1B， B1C， EF共面．
五、 课堂小结
1. 本节课的主要学习内容是向量共面的基本概念及共面向量定理．
2. 运用共面向量定理证明线面平行及四点共面.
[1] 引导学生发现并概括空间向量的不同位置关系，明确本节课的学习内容．
[2] 将概念的辨析通过问题来体现，使学生在自主尝试中加深对概念的理解．
[3] 引导学生从特殊到一般，发现并归纳、推理，将学习的过程转变为自主
探究的过程．
[4] 深化学生对共面向量定理的理解，使学生掌握空间向量共面的证明方法．
[5] 通过平面向量中证三点共线的方法，引导学生类比得到空间向量中证四
点共面的方法，体现了类比的数学思想方法．
[6] 利用共面向量定理证明线面平行、线线平行问题．

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