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第 4课时 空间向量基本定理
知识技能
1. 掌握空间向量基本定理及其推论．
2. 会根据需要选择适当的基底来表示任一空间向量．
思想方法
1. 借助几何体，经历从特殊到一般的思想．
2. 抽象概括出空间向量基本定理并寻求证明的过程，体现了化归与转化的
思想．
核心素养
1. 通过对空间向量基本定理及其推论的形成过程的探究，提升直观想象素
养．
2. 通过对定理证明过程的探究，提升逻辑推理素养．
教学重点：空间向量基本定理的灵活应用．
教学难点：空间向量基本定理及其推论的形成过程．
问题导引
预习教材 P17～19，思考下面的问题：
1. 平面向量的基本定理的内容是什么？
2. 平面向量基本定理表明平面内任一向量可以用该平面内的两个不共线的
向量来线性表示，那么空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗？
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1. (1) 如果三个向量 e1, e2, e3不共面，那么对任意一个空间向量 p，存在唯一
的有序实数组(x, y, z)，使得 p＝xe1＋ye2＋ze3.其中{e1, e2, e3}叫作空间的一个基底，
e1, e2, e3都叫作基向量.
(2) 单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两互相垂直，且长度
都为_1__，常用{i, j, k}表示．
2. 设有三个空间向量 a, b, c，已知 a与 b不平行，m, n是两个实数，则“a,
b, c三个向量共面”是“c＝ma＋nb”的(C)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若A→1B1＝a, A→1D1
＝b, A→1A＝c，则B→ 1 11M用 a, b, c表示为－ a＋ b＋c.
2 2
一、 问题情境
问题 1平面向量基本定理是什么？
如果 e1, e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a，有且只有一对实数λ1, λ2，使得 a＝λ1e1＋λ2e2.
平面向量基本定理表明：平面内任一向量可以用该平面的两个不共线向量线
性表示.
问题 2如图 1，从地面升到空中的歼 20战斗机所处的位置，还能用平面内
两个不共线的向量表示吗？
(图 1)
问题 3如何准确表示歼 20战斗机的位置呢？
问题 4空间任一向量能用三个不共面的向量线性表示吗？
二、 数学建构
1. 空间向量基本定理
如果三个向量 e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量 p，存在唯一的有序
实数组(x, y, z)，使 p＝xe1＋ye2＋ze3.[1]
证明 (存在性)如图 2，设 e1, e2, e3不共面，过点 O作O→A＝e →1, OB＝e2, O→C＝
e3, O→P＝p.
(图 2)
过点 P作直线 PP′∥OC，交平面 OAB于点 P′；
在平面 OAB内，过点 P′作直线 P′A′∥OB, P′B′∥OA，分别与直线
OA, OB相交于点 A′， B′.
于是，存在三个实数 x, y, z O→A′ xO→，使 ＝ A＝xe → → →1, OB′＝yOB＝ye2, P′P＝
zO→C＝ze3，
所以O→P →＝OA′＋O→B′＋P′→P → → →＝xOA＋yOB＋zOC，所以 p＝xe1＋ye2＋ze3.
(唯一性)假设还存在 x′， y′， z′且 x′≠x，使 p＝x′e1＋y′e2＋z′e3，
即 xe1＋ye2＋ze3＝x′e1＋y′e2＋z′e3，
所以(x－x′)e1＋(y－y′)e2＋(z－z′)e3＝0.
因为 x≠x y－y′′，所以 e1＝ ·e
z－z′
2＋ ·e3，
x′－x x′－x
所以 e1，e2，e3共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x, y, z)是唯一的．
推论 设 O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点 P，都存在唯一
→ → → →
的有序实数组(x, y, z)，使得OP＝xOA＋yOB＋zOC.[2]
2. 基底
如果三个向量 e1, e2, e3不共面，那么空间的每一个向量都可由 e1, e2, e3线性表
示，我们把{e1, e2, e3}称为空间的一个基底，向量 e1, e2, e3叫作基向量．如果空间
一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底．特别地，当
一个正交基底的三个基向都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用
{i, j, k}表示．
三、 数学运用
例 1 (教材 P18 例 1)如图，在正方体 OADB CA′D′B′中，E是 AB 与
OD的交点，M是 OD′与 CE O→ → → →的交点，试用向量 A，OB，OC分别表示向量OD′
和O→M.[3]
(例 1)
[处理建议] 充分利用图形中的几何知识，引导学生发现向量之间的联系．
[ → → →规范板书] 解 因为OD＝OA＋OB，
所以OD→′＝O→D＋DD→′＝O→A＋O→B＋O→C.
由△OME∽△D′MC，
可得 OM 1MD 1＝ ′＝ OD′，
2 3
1
所以O→M＝ OD→ 1O→A 1′＝ ＋ O→B 1＋ O→C.
3 3 3 3
[题后反思] 重视平面几何知识在解题过程中的灵活应用．
如图，已知四面体 ABCD的三条棱A→B＝b, A→C＝c, A→D＝d, M为 BC
→
的中点，试用基向量 b, c, d表示向量DM.
(变式)
[规范板书] 解 因为M为 BC的中点，所以D→M 1(D→B D→＝ ＋ C) 1 → →＝ [(AB－AD)
2 2
＋(A→C－A→D)] 1＝ [(b 1 1－d)＋(c－d)]＝ b＋ c－d.
2 2 2
例 2 如图，已知空间四边形 OABC, M, N分别是对边 OA, BC的中点，点 G
在线段 MN上，且 MG＝2GN →，用基底向量OA， O→B O→C →， 表示向量OG.[4]
(例 2)
[规范板书] → 1→ →解 因为 M, N分别是对边 OA, BC的中点，所以OM＝ OA，ON
2
1 1 2 2 1 2
＝ O→B＋ O→C，则O→G＝O→M＋M→G＝O→M＋ M→N＝O→M＋ (O→N－O→M)＝ O→M＋ O→N
2 2 3 3 3 3
1
＝ O→A 1＋ O→B 1＋ O→C.
6 3 3
[题后反思] 运用空间向量的线性运算，将空间向量转化为平面向量．
如图，M, N分别是四面体 OABC的边 OA, BC的中点，P, Q是 MN
的三等分点，用基底向量O→A， O→B， O→C表示O→P和O→Q.
(变式)
[ → → → 1→ 2规范板书] 解 OP＝OM＋MP＝ OA＋ M→N 1＝ O→A 2 → → 1＋ (ON－OM)＝ O→A＋
2 3 2 3 2
2(O→N 1→ 1→ 2 1－ OA)＝ OA＋ × (O→B＋O→C) 1O→ 1→＝ A＋ OB 1＋ O→C.
3 2 6 3 2 6 3 3
O→Q 1O→M 1O→P 1O→A 1 O→A 1O→B 1O→C 1→ 1→ 1→＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ OA＋ OB＋ OC.
2 2 4 12 6 6 3 6 6
例 3 已知向量{e1, e2, e3}为空间的一个基底，试问：向量 a＝3e1＋2e2＋e3, b
＝－e1＋e2＋3e3, c＝2e1－e2－4e3是否共面？并说明理由．
[处理建议] 用反证法，先假设 a, b, c共面，再根据共面向量定理看是否满
足共面的条件．
[规范板书] 解 假设 a, b, c共面．由共面向量定理可知，存在三个不全为
零的实数 x，y，z，使得 xa＋yb＋zc＝0，即 x(3e1＋2e2＋e3)＋y(－e1＋e2＋3e3)＋
z(2e1－e2－4e3)＝0，亦即(3x－y＋2z)e1＋(2x＋y－z)e2＋(x＋3y－4z)e3＝0.由 e1，
3x－y＋2z＝0， z＝－5x，
e2，e3不共面，得 2x＋y－z＝0， 解得 不妨令 x＝－1，则 y＝7，y＝－7x.
x＋3y－4z＝0，
z＝5.于是 a＝7b＋5c，所以 a, b, c三向量共面．
[题后反思] 以向量{e1, e2, e3}为空间的一个基底表示向量 a, b, c，重点考查
共面向量定理和线性运算，运用了方程的思想．
已知{e1, e2, e } → →3 是空间的一个基底，且OA＝e1＋2e2－e3, OB＝－3e1
＋e2＋2e →3, OC＝e1＋e2－e3，试判断{O→A， O→B， O→C}能否作为空间的一个基底？
[规范板书] 解 假设O→A， O→B， O→C共面，由向量共面的充要条件知，存
在实数 x, y O→A xO→，使 ＝ B＋y O→C成立，所以 e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1
＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
因为 {e1, e2, e3}是空间的一个基底，所以 e1, e2, e3 不共面， 所以
－3x＋y＝1，
x＋y＝2， 此方程组无解，即不存在实数 x, y，使O
→A →＝xOB＋y O→C成立．
2x－y＝－1，
→ → →
所以OA， OB， OC不共面．
故{O→A， O→B， O→C}能作为空间的一个基底．
例 4
如图，在三棱柱 ABC A′B′C′中，已知AA→′＝a, A→B＝b, A→C＝c, M, N分
别是 BC′， B′C → →′的中点，试用基底{a, b, c}表示向量AM， AN.
(例 4)
[规范板书] 解 连接 A′N.
A→M 1 1 1 1＝A→B＋ BC→′＝A→B＋ (B→C＋CC→′)＝A→B＋ B→C＋ C→C 1′＝A→B＋ (A→C－
2 2 2 2 2
A→B) 1AA→ 1A→B 1A→C 1＋ ′＝ ＋ ＋ A→A 1′＝ (a＋b＋c)．
2 2 2 2 2
A→N A→A′ A′→N AA→ 1 →＝ ＋ ＝ ′＋ (A′B′ →＋A′C′) → 1 →＝AA′＋ (AB A→＋ C)＝a＋
2 2
1b 1＋ c.
2 2
[题后反思] 用基底表示向量的步骤：
① 定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．
② 找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法
则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后
求出结果．
③ 下结论：利用空间的一个基底{a, b, c}可以表示出空间所有向量，表示要
彻底，结果中只能含有 a, b, c，不能含有其他形式的向量．
若把例 4中“A→A′＝a”改为“AC→′＝a”，其他条件不变，则结
果是什么？
[规范板书] 解 因为 M为 BC′的中点，N为 B′C′的中点，所以A→M＝
1(A→B＋AC→′) 1a 1＝ ＋ b.
2 2 2
A→N 1(AB→ → 1 → → → 1→ 1 → 1 1′ → →＝ ＋AC′)＝ (AB＋BB′＋AC′)＝ AB＋ CC′＋ AC′＝ AB
2 2 2 2 2 2
1 → → 1 → 1→ → 1→ 1 1
＋ (AC′－AC)＋ AC′＝ AB＋AC′－ AC＝ b＋a－ c.
2 2 2 2 2 2
四、 课堂练习
1. (多选)下列判断正确的是(ABD)
A. 若三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B. 若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个
向量共线
C. 若 a, b是两个不共线的向量，且 c＝λa＋μb(λ， μ∈R 且λμ≠0)，则{a, b,
c}构成空间的一个基底
D. 若O→A， O→B， O→C不能构成空间的一个基底，则 O, A, B, C四点共面
2. 在长方体 ABCD A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是(C)
A. A→B， A→C， A→D
B. A→B， A→A1， A→B1
C. D→A ， D→C ， D→1 1 1 1 1D
D. A→C1， A→C →1 ， CC1
3. 已知{a, b, c}是空间的一个基底，若 pa＋qb＋c与 a＋pb＋qc共线，则实
数 p＝_1__，q＝_1__.
4. 在四面体 O ABC中，O→A＝a, O→B＝b, O→C＝c, D为 BC的中点，E为 AD
O→E 1a 1b 1的中点，则 ＝ ＋ ＋ c.(用 a, b, c表示)
2 4 4
五、 课堂小结
1. 空间向量的基本定理及其推论，基底的概念．
2. 运用代数的方法判断向量是否共面.
[1] 称 p可由 e1, e2, e3线性表示．
[2] 因为 O, A, B, C四点不共面，所以共起点的三个向量O→A， O→B， O→C不
共面．如何说明理由呢？(利用反证法来说明)
[3] 通过此例，使学生获得空间向量基本定理的感性认识，经历推演的过程，
增强数与式的运算能力．
[4] 通过本例，让学生熟练掌握用基底表示向量的步骤与方法．

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