资源简介

第 5课时 空间向量的坐标表示(1)
知识技能
1. 能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算．
2. 会根据向量的坐标判断两个空间向量平行并解决相关问题．
思想方法
1. 运用类比猜想的数学思想方法，经历平面向量坐标表示到空间向量坐标
表示的过程，体会数学知识发生和发展过程．
2. 运用空间向量的坐标形式参与运算，体会数形结合的思想．
核心素养
1. 通过空间向量的坐标表示，提升数学逻辑推理素养．
2. 通过运用空间向量的坐标形式进行计算，提升数学运算素养．
教学重点：空间向量的坐标表示．
教学难点：空间向量的坐标运算．
问题导引
预习教材 P20～22，思考下面的问题：
1. 如何用坐标表示空间任意一点的位置？
2. 如何用坐标表示空间向量？怎样用坐标进行空间向量的加、减及数乘运
算？
3. 如何利用向量的坐标运算求解立体几何问题？
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1. 平面向量的坐标表示及运算律：
(1) 若 p＝xi＋yj(i, j 分别是与 x轴、y轴同方向的两个单位向量)，则 p 的坐
标为(x，y)；
(2) 若 a＝(a1, a2), b＝(b1, b2)，则 a＋b＝(a1＋b1, a2＋b2), a－b＝(a1－b1,_a2－
b2),_λa＝(λa1,_λa2)(λ∈R), a·b＝a1b1＋a2b2,_a∥b a1＝λb1,_a2＝λb2(λ∈R), a⊥b
a1b1＋a2b2＝0；
(3) 若点 A的坐标为(x →1, y1)，点 B的坐标为(x2, y2)，则AB＝(x2－x1,_y2－y1).
2. 在长方体 ABCD A′B′C′D′中，AB＝6, AD＝4, AA′＝7，以这个长
方体的顶点 B为坐标原点，射线 BA、射线 BC、射线 BB′分别为 x轴的正半轴、
y轴的正半轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求这个长方体各个顶点的
坐标．
解 A(6, 0, 0), B(0, 0, 0), C(0, 4, 0), D(6, 4, 0)，A′(6, 0, 7), B′(0, 0, 7), C′(0,
4, 7), D′(6, 4, 7)．
一、 问题情境
问题 1 空间向量基本定理是什么？
问题 2 我们如何选择基底？空间向量如何用坐标表示？
二、 数学建构
问题 3 如图 1，在房间(立体空间)内如何确定电灯位置？[1]
(图 1)
问题 4 确定点在直线上，通过数轴需要一个数；确定点在平面内，通过平
面直角坐标系需要两个数．那么，要确定点在空间内，应该需要几个数呢？
问题 5 如何用一组实数来表示电灯的位置？
解 通过类比联想，容易知道需要三个数．在地面上建立直角坐标系 xOy，
则地面上任一点的位置只需两个数 x, y就可确定．为了确定不在地面上的电灯的
位置，需要用第三个数表示物体离地面的高度，即需第三个数 z.因此，只要知道
电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可．例如，若这个电灯在平面
xOy上的射影的两个数分别为 4和 5，到地面的距离为 3，则可以用有序数组(4, 5,
3)确定这个电灯的位置(如图 2).
(图 2)
问题 6 如何用坐标表示空间向量O→P呢？能表示所有的空间向量吗？
1. 空间向量的坐标表示
如图 3，在空间直角坐标系 O xyz(教材中建立的坐标系都是右手直角坐标系)
中，分别取与 x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量 i, j, k 作为基向量，对于空间
任意一个向量 a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x, y, z)，使 a
＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x, y, z)叫作向量 a 在空间直角坐标系 O xyz中的坐标，
记作 a＝(x, y, z)．
(图 3)
事实上，记向量 a 在 i, j, k 上的投影向量分别为 ai, aj, ak，则 a＝ai＋aj＋ak＝
(a·i)i＋(a·j)j＋(a·k)k，即 a1＝a·i, a2＝a·j, a3＝a·k.
2. 在空间直角坐标系 O xyz中，对于空间任意一点 A(x, y, z)，向量O→A(称O→A
→ →
为点 A的位置向量)是确定的，容易得到OA＝xi＋yj＋zk，因此，向量OA的坐标
为O→A＝(x, y, z)．这就是说，当空间向量 a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐
标就是向量 a 的坐标．
3. 空间向量坐标运算法则
(1) 设 a＝(x1, y1, z1), b＝(x2, y2, z2)，则 a＋b＝(x1＋x2, y1＋y2, z1＋z2), a－b＝(x1
－x2, y1－y2, z1－z2), λa＝(λx1, λy1, λz1), λ∈R.
(2) 若 A(x1, y1, z1)，B(x y z )，则A→B＝O→B－O→2, 2, 2 A＝(x2－x1, y2－y1, z2－z1)．
4. 空间向量平行的坐标表示
a∥b(a≠0) x2＝λx1, y2＝λy1, z2＝λz1(λ∈R)．
三、 数学运用
例 1 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F分别是 D1D, DB
1
的中点，点 G在棱 CD上，且 CG＝ CD, H是 C1G的中点．以 D为坐标原点，
4
DA, DC, DD1所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量E→F
和F→H的坐标．[2]
(见学生用书课堂本 P9)
(例 1)
[处理建议] 求向量的坐标应先求出向量的起点和终点的坐标．
0， 0 1 1 1， ， ， 0
[规范板书] 解 由已知可得点 E 2 ， F 2 2 ， C1(0, 1, 1),
0 3， ， 0 0 7 1， ，
G 4 .因为 H 是 C1G 的中点，所以 H 点坐标为 8 2 .故E→F＝
1 1 1 1 3 1
， ， － － ， ，
2 2 2 ， F→H＝ 2 8 2 .
[题后反思] 求向量的坐标，应先建立恰当的空间直角坐标系，然后得到起
点和终点的坐标，最后得出向量的坐标．
已知 O为坐标原点，A, B, C三点的坐标分别是(2, －1, 2), (4, 5, －
1), (－2, 2, 3) → 1，求点 P的坐标，使AP＝ (A→B－A→C)．
2
[ → →规范板书] 解 AB＝(2, 6, －3), AC＝(－4, 3, 1), A→B →所以 －AC＝(6, 3, －
4)．
→
设点 P的坐标为(x, y, z)，则AP＝(x 2, y 1, z 2), A→P 1(A→ →－ ＋ － 因为 ＝ B－AC)＝
2
3 3 1， ， －2 5， ， 0
2 ，所以 x 1＝5, y＝ ， z＝0，即点 P的坐标为 2 .
2
例 2 已知向量 a＝(1, 2, 3)，b＝(4, 5, 6)，求 a＋b, a－b, 4a.[3]
(见学生用书课堂本 P10)
[处理建议] 引导学生根据空间向量的坐标表示及运算法则解题．
[规范板书] 解 a＋b＝(1, 2, 3)＋(4, 5, 6)＝(1＋4, 2＋5, 3＋6)＝(5, 7, 9)．
a－b＝(1, 2, 3)－(4, 5, 6)＝(1－4, 2－5, 3－6)＝(－3, －3, －3)．
4a＝4×(1, 2, 3)＝(4, 8, 12)．
[题后反思] 空间向量的坐标运算，需要准确、熟练，为后续学习奠定基础．
已知 a＋b＝(2, 2， 2 3), a－b＝(0, 2， 0)，求 a 和 b.
[ 1规范板书] 解 因为 a＋b＝(2, 2， 2 3), a－b＝(0, 2， 0), 所以 a＝ ]
2
＝(1, 2， 3), b 1＝ ＝(1, 0, 3).
2
例 3在正方体 ABCD A1B1C1D1中，M, N, P分别是 CC1,B1C1,C1D1的中点，
试建立适当的空间直角坐标系，求证：平面 MNP∥平面 A1BD.[4](见学生用书课
堂本 P10)
(例 3)
[处理建议] 先建立适当的直角坐标系，再寻求相关空间向量的坐标，从而
确定它们之间的位置关系，以算代证．
[规范板书] 证明 如图，以 D1为坐标原点，D1A1,D1C1,D1D所在直线分别
为 x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为 1，则知点 A1(1, 0,
1
， 1， 0 0 1， 1， 0 1， ， 0
0), B(1, 1, 1), D(0, 0, 1), N 2 ， M 2 ， P 2 ，于是A→1B
1 0 1 0 1 1－ ， ， ， ，
＝(0, 1, 1), A→1D＝(－1, 0, 1)，N→M＝ 2 2 ， P→M＝ 2 2 ，显然有
N→M 1＝ A→D， P→M 1＝ A→B，所以N→M∥A→D， P→M∥A→1 1 1 1B.
2 2
[题后反思] 同平面向量的坐标法解题一样，关键是如何建立适当的直角坐
标系，从而运用代数的方法论证，体现了空间向量的基本思想．当然本题不用坐
标法而用向量的方法也不难证明．
在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为 A1B，CC1的中点，求
证：MN∥平面 ABCD.
[规范板书] 证明 如图，以 D为坐标原点，DA, DC, DD1所在直线分别为
x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．令 DA＝2，则知点 D(0, 0, 0), A(2, 0, 0), C(0,
2, 0), N(0, 2, 1), M(2, 1, 1), →所以DA＝(2, 0, 0), D→C＝(0, 2, 0), M→N＝(－2, 1, 0), 所
以M→N＝－D→A 1＋ D→C， 所以M→N与D→A， D→C共面．而 MN 平面 ABCD, 所以 MN
2
∥平面 ABCD.
(变式)
例 4 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，若 G是 A1D的中点，点 H在平
面 ABCD上，且 GH∥BD1，试判断点 H的位置．[5]
(例 4)
[处理建议] 可以让学生小组讨论，分析建立不同的空间直角坐标系下运算
的复杂程度．
[规范板书] 解 以 D →为原点，DA， D→C →， DD1的方向分别为 x轴、y轴、z
轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则知点 D(0, 0, 0), A(1, 0,
0), A1(1, 0, 1), B(1, 1, 0), D1(0, 0, 1)．因为 G是 A1D的中点，所以点 G的坐标为
1 0 1， ，
2 2 .而点 H在平面 ABCD上，故设点 H的坐标为(m, n, 0)．因为G→H＝(m,
1 0 1 1 1， ， m－ ， n， －
n, 0)－ 2 2 ＝ 2 2 ，B→D1＝(0, 0, 1)－(1, 1, 0)＝(－1, －1, 1)，
m 1 1－ －
而G→H∥B→D 2 n 11，所以 ＝ ＝ 2，解得 m＝1, n＝ .所以点 H 的坐标为
－1 －1 1 2
1 1， ， 0
2 ，所以 H为线段 AB的中点．即当 H为线段 AB的中点时，GH∥BD1.
[题后反思] 解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何
问题转化为代数运算问题．通过计算解决几何中的探索性问题，培养学生的逻辑
思维能力和数学运算能力.
如图，已知正方形 ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直，AB
＝ 2， AF＝1, M是线段 EF的中点．求证：AM∥平面 BDE.
(变式)
[规范板书] 证明 如图，建立空间直角坐标系，设 AC∩BD＝N，连接 NE，
2 2 0 2 2， ， － ， － ， 1
则点N, E →的坐标分别为 2 2 ，(0, 0, 1), 所以NE＝ 2 2 .
2 2
， ， 1
又因为点 A, M 的坐标分别是 ( 2， 2， 0), 2 2 ， 所以A→M＝
2 2
－ ， － ， 1
2 2 . →所以NE＝A→M.而 NE与 AM不共线，所以 NE∥AM.又因为
NE 平面 BDE, AM 平面 BDE, 所以 AM∥平面 BDE.
四、 课堂练习
1. 已知点 M(5, －1, 2), A(4, 2, －1), O为坐标原点，若O→M＝A→B，则点 B的
坐标为(B)
A. (－1, 3, －3) B. (9, 1, 1)
C. (1, －3, 3) D. (－9, －1, －1)
2. 已知点 A(3, 4, 5), B(0, 2, 1), O(0, 0, 0) O→C 2A→，若 ＝ B，则点 C的坐标是(A)
5
6 4 8
－ ， － ， －
A. 5 5 5
6 4 8
， － ， －
B. 5 5 5
6 4 8
－ ， － ，
C. 5 5 5
6 4 8
， ，
D. 5 5 5
3. 已知{i, j, k}为空间的一个单位正交基底，且向量 a＝－i＋j＋3k, b＝2i－
3j－2k，则向量 a－2b 用坐标形式表示为(－5,_7,_7).
提示 因为 a＝(－1, 1, 3), b＝(2, －3, －2)，所以 a－2b＝(－5, 7, 7)．
4. 已知向量 a＝(1, 6, －3), b＝(1, －2, 9), c＝(4, 0, 24)，求证：向量 a, b, c
共面．
解 因为 a＝(1, 6, －3), b＝(1, －2, 9)，所以 a 与 b 不共线．设 c＝xa＋yb，
x＋y＝4， x＝1，
则 6x－2y＝0， 解得 即 c＝a＋3b，所以 a, b, c 共面．y＝3，
－3x＋9y＝24，
五、 课堂小结
1. 空间向量的坐标表示及线性运算．
2. 通过空间向量的坐标表示，运用代数的方法求解空间向量的问题.
[1]在学生思考讨论的基础上，教师引导学生回忆．
[2] 通过此例，让学生获得空间向量坐标的感性认识，在计算中加深对公式、
概念的理解．
[3] 通过此例，让学生熟悉空间向量的坐标运算法则．
[4] 通过本例，让学生初步掌握建立恰当的空间直角坐标系，加深对空间向
量坐标的理解，并能进行简单证明．
[5] 通过本例，让学生学会建立恰当的空间直角坐标系，加深对空间向量坐
标的理解，能解决一些探索性问题．又因为 MN 平面 MNP, A1D 平面 MNP，所
以 A1D∥平面 MNP.同理 A1B∥平面 MNP.又因为 A1D∩A1B＝A1，所以平面 MNP
∥平面 A1BD.

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