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第 6课时 空间向量的坐标表示(2)
知识技能
1. 掌握空间向量数量积的坐标形式.
2. 掌握空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式及其运用．
思想方法
运用类比的思想方法，将平面向量的数量积的坐标形式推广到空间向量数量
积的坐标形式．
核心素养
1. 将平面向量数量积的坐标形式推广到空间向量数量积的坐标形式，发展
了数学逻辑推理素养．
2. 运用公式求解，提升了数学运算素养．
教学重点：空间向量数量积的坐标形式，空间向量的模长公式、夹角公式、
两点间的距离公式．
教学难点：能够用向量的方法解决有关垂直、夹角和距离的简单问题；会根
据向量的坐标判断两个向量共线或垂直．
问题导引
预习教材 P22～24，思考下面的问题：
1. 如何将平面向量数量积的坐标运算公式推广到空间向量呢？
2. 空间向量的模长公式、夹角公式、两点间的距离公式是怎样的？
即时体验[1]
1. 已知向量 a＝(0, －1, 1), b＝(4, 1, 0)，则 a·b＝___－1__,_|a＋b|＝ 17 .
2. 14向量 a＝(2, －3, 1)与 b＝(1, 0, 0)的夹角的余弦值是 .
7
3. 已知向量 a＝(1, 1, x), b＝(1, 2, 1), c＝(1, 1, 1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－
2，则 x＝_2__.
一、 问题情境
1. 平面向量数量积的坐标表示及一些应用[2]
(1) 对于平面内两个非零向量 a＝(x1, y1)，b＝(x2, y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2.
(2) 长度、夹角、垂直的坐标表示
① 长度：a＝(x, y) |a|2＝x2＋y2 |a|＝ x2＋y2；
② 两点间的距离公式：若 A(x1, y1), B(x2, y2)，则|A→B|＝ x2－x1 2＋ y2－y1 2；
x x ＋y y
③ 夹角：cosθ a·b 1 2 1 2＝ ＝ ；
|a||b| x21＋y21· x22＋y22
④ 垂直的充要条件：a⊥b a·b＝0，即 x1x2＋y1y2＝0.(注意与向量共线的坐
标表示的区别)
2. 类比平面向量数量积的坐标表示，思考对于空间两个非零向量，它们的
数量积的坐标表示又是怎样的呢？
二、 数学建构
问题 1 对于单位正交基底{i, j, k}，有 i·i＝j·j＝k·k＝1, i·j＝i·k＝j·k＝0.设空
间两个非零向量 a＝(x1, y1, z1), b＝(x2, y2, z2)，请同学们根据向量数量积的运算律推
导 a·b 的坐标表示．
解 若{i, j, k}是空间的一个单位正交基底，则
a＝(x1, y1, z1)＝x1i＋y1j＋z1k，
b＝(x2, y2, z2)＝x2i＋y2j＋z2k，
所以 a·b＝(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)＝x1x2i2＋y1y2j2＋z1z2k2＋x1y2i·j＋
x1z2i·k＋y1x2j·i＋y1z2j·k＋z1x2k·i＋z1y2k·j＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
从而得两个空间向量数量积的坐标表示公式：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
问题2我们知道|a|2＝a·a，即|a|＝ a·a.如果 a＝(x1, y1, z1)，那么|a|的值为多少？
解 模长公式：若 a＝(x1, y1, z1)，则|a|＝ a·a＝ x21＋y21＋z21.
问题 3请同学们使用向量方法推导 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2)间的距离公式．
解 由 A→B →＝ (x2 － x1, y2 － y1, z2 － z1) 及 模 长 公 式 得 | AB | ＝
x2－x1 2＋ y2－y1 2＋ z2－z1 2.
两 点 间 的 距 离 公 式 ： 若 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) ， 则 AB ＝
x2－x1 2＋ y2－y1 2＋ z2－z1 2.
问题 4设空间两个非零向量 a＝(x1, y1, z1), b＝(x2, y2, z2)，它们的夹角为〈a, b〉，
你能用坐标表示 cos〈a, b〉吗？
解 由向量数量积的定义，可得
a·b x1x2＋y1y2＋z1zcos a·b 2〈 〉＝ ＝ .
|a||b| x21＋y21＋z12· x22＋y22＋z22
特别地，a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
三、 数学运用
例 1 已知向量 a＝(3, 5, －4), b＝(2, 1, 8)．
(1) 求 a·b；
(2) 若λ1a＋λ2b 与 z轴垂直，求λ1, λ2满足的关系式．[3]
(见学生用书课堂本 P11)
[处理建议] 问题(1)，引导学生根据向量数量积的坐标表示求解；问题(2)，
引导学生用坐标表示 z轴(不唯一)，再根据题设条件解题．
[规范板书] 解 (1) a·b＝(3, 5, －4)·(2, 1, 8)＝3×2＋5×1＋(－4)×8＝6＋
5－32＝－21.
(2) 因为(λ1a＋λ2b)·(0, 0, 1)＝(3λ1＋2λ2, 5λ1＋λ2, －4λ1＋8λ2)·(0, 0, 1)＝－4λ1＋
8λ2＝0，
所以λ1－2λ2＝0.
[题后反思] z轴可以用(0, 0, 1)表示，也可以用(0, 0, 2)等表示，这是无关紧
要的，因为垂直只体现方向性，与长度无关．问题(2)为例 2的理解作铺垫．
已知 a＝(λ＋1, 1, 2λ)，若|a|＝ 5，且 a 与 c＝(2, －2λ， －λ)垂直，
求 a.
[规范板书] 解 因为|a|＝ 5，且 a⊥c,
λ＋1 2＋12＋ 2λ 2＝5， 5λ2＋2λ＝3，
所以 化简得 解
λ＋1， 1， 2λ · 2， －2λ， －λ ＝0， 2－2λ2＝0，
得λ＝－1.因此，a＝(0, 1, －2)．
[题后反思] 利用向量平行与垂直条件来确定向量坐标也是向量平行与垂
直题目中重要的一部分，用定义列式后，通过解方程(组)，求出其坐标.
例 2 (教材 P23例 4)已知点 A(3, 1, 3), B(1, 5, 0)．
(1) 求线段 AB的中点坐标和长度；
(2) 求到 A, B两点距离相等的点 P(x, y, z)的坐标 x, y, z满足的条件．[4]
(见学生用书课堂本 P11)
[处理建议] 问题(2)，引导学生根据两点间的距离公式列出等量关系式后，
教师可进一步引导学生探究空间轨迹问题．
[规范板书] 解 (1) 设 M是 AB的中点，O是坐标原点，则
3
O→M 1 → → 1
2， 3，
＝ (OA＋OB)＝ [(3, 1, 3)＋(1, 5, 0)]＝ 2 ，
2 2
2， 3 3，
所以线段 AB的中点坐标是 2 .
因为A→B＝(－2, 4, －3)，所以线段 AB的长度为|A→B|＝ －2 2＋42＋ －3 2＝
29.
(2) 因为 P(x, y, z)到 A, B两点距离相等，则
x－3 2＋ y－1 2＋ z－3 2＝
x－1 2＋ y－5 2＋ z－0 2，
化简得 4x－8y＋6z＋7＝0.
所以到 A, B两点距离相等的点 P的坐标 x, y, z满足的条件是 4x－8y＋6z＋7
＝0.
[题后反思] 平面内到 A, B两点距离相等的点的轨迹是线段 AB的垂直平分
线，空间内到 A, B两点的距离相等的点 P(x, y, z)构成的集合就是线段 AB的中垂
面．若将点P的坐标满足的条件4x－8y＋6z＋7＝0的系数构成一个向量a＝(4, －
8, 6)，与A→B＝(－2, 4, －3)共线．
写出到点 C(1, －2, 3)的距离等于 4 的点 M(x, y, z)的坐标 x, y, z满
足的关系式，并说出点 M的轨迹图形．
[处理建议] 引导学生写出 x, y, z满足的关系式，然后启发学生类比例 2及
平面中的相关知识，共同探讨轨迹图形．
[规范板书] 解 (x－1)2＋(y＋2)2＋(z－3)2＝16，点 M的轨迹是以点 C为球
心、4为半径的球面．
例 3如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，CA＝CB＝1, ∠BCA＝90°， AA1＝
2, N为 A1A的中点．
(例 3)
(1) 求 BN的长；
(2) 求 A1B与 B1C所成角的余弦值．[5]
(见学生用书课堂本 P12)
[处理建议] 建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求出结
果.
[规范板书] 解 如图，以 C为坐标原点，CA, CB, CC1所在直线分别为 x
轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 C xyz.
(例 3答图)
(1) 依题意得点 B(0, 1, 0), N(1, 0, 1), 所以|B→N|＝ 1－0 2＋ 0－1 2＋ 1－0 2
＝ 3， 所以 BN＝ 3.
(2) 依题意得点 A1(1, 0, 2), C(0, 0, 0), B1(0, 1, 2), 所以A→1B＝(－1, 1, －2),
B→1C＝(0, －1, －2), 所以A→1B·B→1C＝(－1)×0＋1×(－1)＋(－2)×(－2)＝3.又因
A→ →→ → 1B·B1C为|A1B|＝ 6， |B1C|＝ 5， 所以 cos〈A→1B ， B→ 301C〉＝ ＝ .而异面
|A→B|·|B→1 1C| 10
直线所成角为锐角或直角，故 A1B与 B1C 30所成角的余弦值为 .
10
[题后反思] 利用空间向量的坐标运算的一般步骤：(1) 建系：根据几何图
形建立恰当的空间直角坐标系．(2) 求坐标：① 求出点的坐标；②写出向量的
坐标．(3) 论证、计算：结合公式进行论证、计算．(4) 转化：转化为平行与垂
直、夹角与距离等问题．
如图，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F分别为 D1D,
BD的中点，点 G在棱 CD上，且 CG 1＝ CD, H为 C1G的中点．
4
(变式)
(1) 求证：EF⊥B1C；
(2) 求 FH的长；
(3) 求 EF与 C1G所成角的余弦值．
[规范板书] (1) 证明 如图，建立空间直角坐标系 D xyz, D为坐标原点，
0 1 1 1， 0， ， ， 0
则知点 E 2 ， F 2 2 ， C(0, 1, 0), C1(0, 1, 1), B1(1, 1, 1),
0 3， ， 0 0 7 1， ，
G 4 ， H 8 2 .
(变式答图)
1 1 0 0 0 1 1 1 1→ ， ， ， ， ， ， －因为EF＝ 2 2 － 2 ＝ 2 2 2 ， B→1C＝(0, 1, 0)－(1,
1, 1)＝(－1, 0, －1)，
1
E→
－
所以 F·B→1C 1 1 →＝ ×(－1)＋ ×0＋ 2 ×(－1)＝0, 所以EF B→⊥ 1C，即 EF⊥
2 2
B1C.
1 3 1 1 3 1
－ ， ， －
(2) 解 由(1) →可得FH＝ 2 8 2 →， 所以|FH|＝ 2 2＋ 8 2＋ 2 2＝
41. 所以 FH 41＝ .
8 8
→ 0
3 1
， ， 0 0， － ， －1
(3) 解 因为C1G＝ 4 －(0, 1, 1)＝ 4 ， 所以|C→1G|＝
1 1
17 → → 1 1 － －. EF·C G 0 4 2 ( 1) 3 |E→F| 3因为 1 ＝ × ＋ × ＋ × － ＝ ， ＝ ，所以 co〈s E→F，
4 2 2 8 2
→ E
→F·C→1G
C 51 511G〉＝ ＝ .故异面直线 EF与 C1G所成角的余弦值为 .
|E→F|·|C→1G| 17 17
例 4 已知点 A(1, 2, 3), B(2, 1, 2), P(1, 1, 2)，点 Q在 OP(O为坐标原点)上运
→ →
动，当QA·QB取得最小值时，求点 Q的坐标．[6]
[处理建议] 根据题意设出点 Q的坐标，再由数量积的意义将Q→A·Q→B转化为
函数问题，最后利用函数知识求解．
[ ] O→Q λO→规范板书 解 设 ＝ P＝(λ， λ， 2λ) →，则QA＝(1－λ， 2－λ， 3－
2λ), Q→B＝(2－λ， 1－λ， 2－2λ), 所以Q→A·Q→B＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3
λ 4－
－2λ)(2－2λ) 6λ2 16λ 2 4＝ － ＋10＝6 3 2－ ， 所以当λ＝ 时，Q→A·Q→B取得最小值
3 3
4 4 8
2 ， ，
－ ，此时 Q 3 3 3 .
3
[题后反思] 利用空间向量数量积的坐标表示，常可将一些综合性问题化归
为函数或方程问题，从而用函数或方程知识来研究、解决问题．
已知 a＝(cosα， sinα， 1), b＝(sinβ， －cosβ， －1)，求|b＋a|的
最大值．
[规范板书] 解法一 由于 b＋a＝(cosα＋sinβ， sinα－cosβ， 0)，
则|b＋a|2＝(cosα＋sinβ)2＋(sinα－cosβ)2＝2＋2sin(β－α)，
所以当β－α π＝ ＋2kπ(k∈Z)时，|b＋a|max＝2.
2
解法二 |a|＝ cos2α＋sin2α＋1＝ 2， |b|＝ 2， a·b＝cosαsinβ－sinαcosβ
－1＝sin(β－α)－1, 所以|b＋a|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝2＋2sin(β－α), 所以当β－α＝
π
＋2kπ(k∈Z)时，|b＋a|max＝2.
2
四、 课堂练习
1. 已知向量 a＝(－3, 2, 5), b＝(1, m, 3)，若 a⊥b，则常数 m的值为(A)
A. －6 B. 6
C. －9 D. 9
2. 已知向量 a＝(0, －1, 1), b＝(4, 1, 0), |λa＋b|＝ 29，且λ>0，则λ的值等于
(C)
A. 5 B. 4
C. 3 D. 2
3. 若向量 a＝(1, λ， 2), b＝(2, －1, 2) 8，且 a 与 b 的夹角的余弦值为 ，则λ
9
2 2＝－ 或 .
55
4. 若点 P(x, y, z)到 A(1, 0, 1), B(2, 1, 0)两点的距离相等，则 x, y, z满足的关系
式是 2x＋2y－2z－3＝0.
五、 课堂小结
1. 在计算和证明立体几何问题时，如果能够在原图中建立适当的空间直角
坐标系，将图形中有关量用坐标来表示，利用空间向量的坐标运算来处理，那么
往往可以在很大程度上降低对空间想象的要求．
2. 求向量坐标的常用方法：先设出向量坐标，再求待定系数.
[1] 为本节课所讲内容作铺垫，揭示本节课要研究的内容，引导学生进行课
前预习．
[2] 回顾平面向量数量积的坐标表示及相关知识，为引导学生类比获得空间
向量数量积的坐标表示作铺垫．
[3] 巩固理解空间向量数量积、夹角、模长的坐标形式，灵活应用所学知识
解决问题，强化运算．
[4] 一方面巩固空间内两点间的距离公式；另一方面通过此题让学生类比猜
想：在二维平面内到两定点的距离相等的点的集合是线段的垂直平分线，那么推
广到三维空间中，到两个定点的距离相等的点的集合构成什么图形？为后续学习
作准备.
[5] 通过本例，让学生能够利用空间两点之间的距离公式和空间向量的夹角
公式解决综合性问题．
[6] 通过本例，将空间向量中的数量积问题转化为函数、方程问题，进而求
解．

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