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第 7课时 直线的方向向量与平面的法向量
知识技能
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．
2. 会用待定系数法求平面的法向量．
思想方法
由平面内借助向量研究两直线位置关系，类比得到空间线与线、线与面、面
与面的位置关系，体现了类比与转化的思想方法．
核心素养
1. 通过图形的直观性，感受平面也是有方向的，提升数学直观想象素养．
2. 通过类比直线的方向向量得到平面的法向量，发展数学逻辑推理素养．
教学重点：直线的方向向量与平面的法向量的概念；平面的法向量的求解．
教学难点：平面的法向量的求解．
问题导引[1]
预习教材 P26～28，思考下面的问题：
直线的“方向”可以用直线的方向向量来刻画，那么平面有“方向”吗？也
能用向量来刻画吗？
即时体验[2]
1. 在平面直角坐标系中，已知点 A(1, 2), B(2, 6)，则直线 AB的斜率 k＝_4__，
直线 AB的一个方向向量为 a＝(1,_4).
2. 给出下列说法：①若两条直线平行，则它们的方向向量的方向相同或相
反．②平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量．③
直线的方向向量是唯一的．其中正确说法的个数为(B)
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
3. 已知点 A(1, 1, 1), B(1, 0, 0), C(0, 1, －1)，则平面 ABC的一个法向量为 m
＝(－2,_－1,_1).
一、 问题情境
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我们要用向量来表示直线和平
面的“方向”．如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
二、 数学建构
问题 1过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线，在“平面解析几何初步”
中如何用数学语言刻画直线的方向的？
解 直线的倾斜角、直线的斜率，并用直线的倾斜角和斜率研究了两条直线
平行和垂直关系.
问题 2 必修第二册“平面向量”这一章中是用什么数学语言刻画直线的方
向的？
解 直线的方向向量，并用直线的方向向量研究了两条直线平行和垂直关系．
直线 l的方向向量：我们把直线 l上的向量 e(e≠0)以及与 e 共线的非零向量
叫作直线 l的方向向量．
问题 3 平面有“方向”吗？
通过展示平面的不同位置，使学生通过观察知道平面也有“方向”.
问题 4
如何用向量来刻画平面的“方向”？
通过模型观察、类比研究、小组讨论寻找出“平面的法向量”来刻画平面的
方向．
活动 1 类比直线的方向向量，与平面平行的直线的方向向量行吗？
观察发现不行，方向不确定．
活动 2 与平面垂直的直线的方向向量行吗？
解 行，根据线面垂直关系，面的垂线方向确定，面的“方向”就确定．
平面α的法向量：如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那
么称向量 n 垂直于平面α，记作 n⊥α.此时，我们把向量 n 叫作平面α的法向量．
概念理解
与平面垂直的直线叫作平面的法线，因此，平面的法向量就是平面法线的方
向向量．
三、 数学运用
例 1 (1) 已知直线 l的一个方向向量 m＝(2, －1, 3)，且直线 l过 A(0, y, 3)
和 B(－1, 2, z)两点，则 y－z的值为(A)
A. 0 B. 1
C. 3 D. 3
2
(2) 在如图所示的空间直角坐标系中，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，
则直线 DD1的一个方向向量为________，直线 BC1的一个方向向量为________.[3]
(例 1(2))
(见学生用书课堂本 P13)
[处理建议] 引导学生理解空间直线方向向量的本质，在解题过程中深化对
概念的理解和掌握．
[规范板书] (1) A.
解析 由点 A(0, y, 3)和 B(－1, 2, z)得A→B＝(－1, 2－y, z－3), 因为直线 l的一
个方向向量 m＝(2, －1, 3)，故设A→B＝km, 所以－1＝2k, 2－y＝－k, z－3＝3k，
解得 k 1 3＝－ ， y＝z＝ . 所以 y－z＝0.
2 2
(2) (0, 0, 1); (0, 1, 1)．(答案不唯一)
解析 因为DD1∥AA1, A→A1＝(0, 0, 1), 所以直线DD1的一个方向向量为(0, 0,
1). 因为 BC1∥AD1, A→D1＝(0, 1, 1)，所以直线 BC1的一个方向向量为(0, 1, 1)．
[题后反思] 理解直线方向向量的概念：① 直线上任意两个不同的点都可
构成直线的方向向量．② 直线的方向向量不唯一．
(1) (多选)若点 M(1, 0, －1), N(2, 1, 2)在直线 l上，则直线 l的一个
方向向量是(AB)
A. (2, 2, 6) B. (1, 1, 3)
C. (3, 1, 1) D. (－3, 0, 1)
(2) 从点 A(2, →－1, 7)沿向量 a＝(8, 9, －12)的方向取线段 AB，使得|AB|＝34，
则点 B的坐标为(A)
A. (18, 17, －17) B. (－14, －19, 17)
6 7 11， ， 1 －2， － ， 13
C. 2 D. 2
提示 (1) 因为点M, N在直线 l上，M→N＝(1, 1, 3), 所以向量(1, 1, 3), (2, 2, 6)
都是直线 l的方向向量．
(2) 设 B点坐标为(x, y, z) →，则AB＝λa(λ>0)，即(x－2, y＋1, z－7)＝λ(8, 9, －
12)，因为|A→B|＝34，所以 64λ2＋81λ2＋144λ2＝34，得λ＝2.所以 x＝18, y＝17, z
＝－17.
例 2 (教材 P26例 1)在正方体 ABCD A1B →1C1D1中，求证：DB1是平面 ACD1
的一个法向量．[4]
(见学生用书课堂本 P13)
[处理建议] 可用向量数量积的定义证明D→B1与平面 ACD1中两个不共线向
量分别垂直；也可用待定系数法求出平面 ACD1的法向量，再证明D→B1与此向量
共线．
[规范板书] 证法一 不妨设正方体的棱长为 1，以{D→A， D→C， D→D1}为单
位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz，则知点 A(1, 0, 0), C(0, 1, 0),
D1(0, 0, 1), B1(1, 1, 1)，
(例 2)
所以D→B1＝(1, 1, 1), A→C＝(－1, 1, 0), A→D1＝(－1, 0, 1)．
因为D→B1·A→C＝1×(－1)＋1×1＋1×0＝0，所以D→B ⊥A→1 C.同理 D→B1⊥A→D1.
又 AC∩AD →1＝A，所以 DB1⊥平面 ACD1，从而DB1是平面 ACD1的一个法向
量．
证法二 设平面 ACD1的一个法向量为 a＝(x, y, z)，
则 a⊥AC→，a⊥A→D1，从而 a·A→C＝0, a·A→D1＝0.
因为 A→C＝(－1, 1, 0), A→D1＝(－1, 0, 1)，
－1·x＋1·y＋0·z＝0，
所以
－1·x＋0·y＋1·z＝0，
x－y＝0， y＝x，
即 解得
x－z＝0， z＝x.
不妨取 y＝z＝x＝1，所以 a＝(1, 1, 1)就是平面 ACD1的一个法向量．
而D→B1＝(1, 1, 1)，故D→B1∥a，
→
所以DB1是平面 ACD1的一个法向量．
[题后反思] (1) 在正方体 ABCD A1B1C1D →1中，DB1⊥平面 ACD1是一个重要
的结论，以前用综合法证明，这里用向量坐标法证明，可让学生分析比较各自的
优点，以便今后灵活运用．
(2) 求平面的法向量，先找是否有与平面垂直的直线；若没有，再用待定系
数法．
(3) 利用待定系数法求平面的法向量的方法与步骤：
① 求平面 ABC的法向量时，要选取平面 ABC内两个不共线的向量，如A→C，
A→B；
② 设平面的一个法向量为 n＝(x, y, z)；
n·A→C＝0，
③ 联立方程组 并求解；
n·A→B＝0，
④ 所求出向量中的三个坐标不是具体的值，而是比例关系，设定一个坐标
为常数(常数不能为 0)便可得到平面的一个法向量．
已知四边形 ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD, SA
＝AB＝BC＝1, AD 1＝ ，求平面 SCD的一个法向量．
2
[规范板书] 解 以 A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz，
(变式)
1
， 0， 0
则 D 2 ， C(1, 1, 0), S(0, 0, 1)，
1
所以S→
， 1， 0
C＝(1, 1, －1), D→C＝ 2 .
设平面 SCD的一个法向量为 n＝(x, y, z)，
则 n·S→C＝0，n·D→C＝0，
x＋y－z＝0，
x＝－2y，
所以 1x＋y＝0， 解得
2 z＝－y.
令 y＝1，则 x＝－2, z＝－1，
所以 n＝(－2, 1, －1)是平面 SCD的一个法向量．
[题后反思] 求平面的法向量通常用待定系数法，由于两个三元一次方程组
成的方程组的解不唯一，为方便起见，需合理取值，平面的法向量不唯一.
例 2 已知点 A(2, 2, 2), B(2, 0, 0), C(0, 2, －2)．
(1) 写出直线 BC的一个方向向量；
(2) →若平面α经过点 A，且BC是平面α的一个法向量，M(x, y, z)是平面α内任意
一点，试写出 x, y, z满足的关系式．
(见学生用书课堂本 P14)
[处理建议] 先明确直线的方向向量和平面的法向量的定义，再由平面的法
向量的定义得出线线垂直，从而确定 x, y, z满足的关系式．
[规范板书] 解 (1) 因为 B(2, 0, 0), C(0, 2, －2), 所以B→C＝(－2, 2, －2)，
→
即BC＝(－2, 2, －2)为直线 BC的一个方向向量．
(2) 因为 A(2, 2, 2), M(x, y, z, ), 所以A→M＝(x－2, y－2, z－2)．
→ → →
因为BC⊥α， AM α， 所以BC⊥AM，
所以(－2, 2, －2)·(x－2, y－2, z－2)＝0，
化简得 x－y＋z－2＝0.
[题后反思] (1) 在空间直角坐标系中，平面可以用关于 x, y, z的三元一次方
程来表示．
(2) 已知直线上一点和直线的方向向量，那么这条直线就唯一确定了．已知
平面内一点和平面的法向量，那么这个平面是否唯一确定？(因为过一点有且只
有一个平面与已知直线垂直，所以已知平面内一点和平面的法向量，这个平面是
唯一确定的)
已知直线 l经过点 A(1, －1, 2)，直线 l的一个方向向量为 a＝(1, －
2, 3)．若 P(x, y, z)是直线 l上任意一点，求 x, y, z满足的关系式．
[规范板书] →解 由题意知AP＝(x－1, y＋1, z－2)．因为 a＝(1, －2, 3)是 l
→ y＋1 z－2
的方向向量，所以AP∥a，所以 x－1＝－ ＝ .所以 x, y, z满足关系式为 x
2 3
y＋1 z－2
－1＝－ ＝ .
2 3
四、 课堂练习
1. 若点 A(－1, 0, 1), B(1, 4, 7)在直线 l上，则直线 l的一个方向向量为(A)
A. (1, 2, 3) B. (1, 3, 2)
C. (2, 1, 3) D. (3, 2, 1)
2. (多选)在直三棱柱 ABC A1B1C1中，可以作为平面 ABC的法向量的是(BC)
A. A→B B. A→A1
C. B→1B D. A→1C1
3. 已知点 A(1, －2, －1), B(0, －3, 1), C(2, －2, 1)．若 e 是平面 ABC的一
个法向量，且|e|＝ 21，则 e 的坐标为(2,_－4,_－1)或(－2,_4,_1).
e⊥A→B， －x－y＋2z＝0，
提 示 设 e ＝ (x, y, z) ． 由 得 所 以
e⊥A→C， x＋2z＝0，
x＝－2z，
因为|e|＝ 21，所以 x2＋y2＋z2＝21，解得 z＝±1.
y＝4z.
4. 已知平面α经过点 O(0, 0, 0)，且 e＝(1, 2, －3)是平面α的一个法向量，若
M(x, y, z)是平面α内任意一点，则 x, y, z满足的关系式是 x＋2y－3z＝0.
5. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F分别是 BB1,DC →的中点，求证：AE是
平面 A1D1F的一个法向量．
证明 建立如图所示的空间直角坐标系．由题意设点 A(2, 0, 0)，则知点 F(0,
1, 0), E(2, 2, 1), A1(2, 0, 2), D1(0, 0, 2)，
(第 5题)
所以A→E＝(0, 2, 1), A→1F＝(－2, 1, －2)，D→1F＝(0, 1, －2)．
因为A→E·A→1F＝0, A→E·D→1F＝0，
所以 AE⊥A1F, AE⊥D1F.
又因为 A1F∩D1F＝F，所以 AE⊥平面 A1D1F.
所以A→E是平面 A1D1F的一个法向量．
五、 课堂小结
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．
2. 会用待定系数法求平面的法向量．
3. 在空间直角坐标系中，平面可以用关于 x, y, z的三元一次方程表示.
[1] 类比直线的“方向”，让学生产生联想平面的“方向”，激发学生的求
知欲，也为学生的思维从感性认识上升到理性认识作铺垫．
[2] 一是回顾刻画直线的方向的两个量“斜率”“方向向量”；二是为本节
课所讲内容作铺垫，和问题导引联系起来，揭示深入学习研究的必要性．
[3] 通过本例，让学生掌握求空间直线方向向量的方法，并能解决与空间直
线方向向量有关的问题．
[4]“线面垂直”以前用综合法证明，这里用向量坐标的方法证明．通过本
例，让学生分析比较这两种方法，体会各自的优点，以便今后灵活运用.

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