资源简介

第 8课时 空间线面关系的判定
知识技能
1. 能用向量方法判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直
关系．
2. 能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理．
思想方法
用向量的思想方法判定空间线面的平行和垂直关系，有助于培养和发展学生
推理论证能力、合情推理能力、逻辑思维能力和运用向量语言进行表达和交流的
能力．
核心素养
在利用向量法判定空间线面关系的过程中，提升数学抽象和逻辑推理的数学
素养．
用向量方法判断空间线面平行与垂直关系．
问题导引
预习教材 P28～31，思考下面的问题：
设空间两条直线 l1, l2的方向向量分别为 e1, e2，两个平面α1, α2的法向量分别
为 n1, n2，则有下表：
平 行 垂 直
l1与 l2 e1∥e2 e1⊥e2
l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1
α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2
即时体验
1 1 1 1， ， ， 1， 1
1. 已 知 点 A(0, 0, 0), B(1, 1, 1), C 2 ， D 2 ，
1 1， 1，
E 2 ，则直线 AB与平面 CDE的位置关系是 垂直.
2. 已知直线 l∥平面α，且直线 l的一个方向向量为 a＝(2, m, 1)，平面α的一
1 1， ， 2
个法向量为 b＝ 2 ，那么 m＝_－8__.
3. 已知平面α的一个法向量为 a＝(1, 2, －2)，平面β的一个法向量为 b＝(－2,
－4, k)．若α∥β，则 k＝_4__.
一、 问题情境
在“立体几何初步”一章中，我们研究了空间两条直线、直线与平面、平面
与平面的位置关系，能不能用直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间线面位
置关系？
二、 数学建构
设空间两条直线 l1, l2的方向向量分别为 e1, e2，两个平面α1, α2的法向量分别
为 n1, n2.
问题 1 展示模型讨论归纳 l1∥l2, l1⊥l2如何用 e1, e2表示？
解 l1∥l2 e1∥e2, l1⊥l2 e1⊥e2.
问题 2 展示直线与平面平行、垂直，观察、讨论 l1∥α1, l1⊥α1如何用 e1, n1
表示？
解 l1∥α1 e1⊥n1, l1⊥α1 e1∥n1.
问题 3 展示两个平面平行、垂直，观察、讨论、归纳α1∥α2, α1⊥α2如何用
n1, n2表示？
解 α1∥α2 n1∥n2,α1⊥α2 n1⊥n2.
设空间两条直线 l1, l2的方向向量分别为 e1, e2，两个平面α1, α2的法向量分别
为 n1, n2，则有下表：
平行 垂直
l1与 l2 e1∥e2 e1⊥e2
l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1
α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2
三、 数学运用
例 1 如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1, ∠A1AB
＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，求证：直线 A1C⊥平面 BDD1B1.[1]
(例 1)
(见学生用书课堂本 P15)
[处理建议] 根据条件，可以{A→B， A→D， A→A1}为基底，并用基向量表示A→1C
和平面 BDD1B1，再通过向量运算证明A→1C是平面 BDD1B1的法向量即可．
[规范板书] 证明 设A→B＝a, A→D＝b, A→A1＝c，则{a, b, c}为空间的一个基底，
→ → →
且A1C＝a＋b－c, BD＝b－a, BB1＝c.
因为 AB＝AD＝AA1＝1, ∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，所以 a2＝b2＝c2
＝1, a·b 1＝b·c＝c·a＝ .
2
在平面 BDD1B1上，取B→D， B→B1为基向量，则对于平面 BDD1B1上任意一点
P，存在唯一的有序实数对(λ， μ)，使得B→P＝λB→D＋μB→B1.
→ →
所以，A1C·BP＝λA→C·B→D μA→C·B→1 ＋ 1 B1＝λ(a＋b－c)·(b－a)＋μ(a＋b－c)·c＝0.
所以A→1C是平面 BDD1B1的法向量．
所以 A1C⊥平面 BDD1B1.
[题后反思] 通过本题，引导学生在几何综合法和空间向量法中进行选择，
并思考基底法和坐标法的适用情况，提升逻辑推理素养．
如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，∠ACB＝90°， ∠BAC＝30°，
BC＝1, AA1＝ 6， M是棱 CC1的中点，求证：A1B⊥AM.
(变式)
[ 1规范板书] 证明 A→B＝A→B－A→A ， A→M＝A→1 1 C＋ A→A1，
2
故A→1B·A→M＝A→B·A→C 1＋ A→B·A→A －A→C·A→ 1 →1 A1－ AA1·A→A1.
2 2
因为 AB⊥AA1,AC⊥AA1，
所以A→B·A→A1＝0, A→C·A→A1＝0，
故A→B·A→M＝2× 3×cos30° 1－ × 6× 6＝0，所以 A1B⊥AM.
2
[题后反思] 也可以建立适当的空间直角坐标系，用坐标表示向量A→1B， A→M，
再证明它们互相垂直．
具体过程如下：以 C为坐标原点，以 CA, CB, CC1所在直线分别为 x轴、y
轴、z轴，建立空间直角坐标系 C xyz，不难得到A→1B＝(－ 3， 1, － 6), A→M＝
6
－ 3， 0，
2 ，则A→ →1B·AM＝0，所以 A1B⊥AM.
例 2 (教材 P30例 5)如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂
直，点 M, N分别在对角线 BD, AE 1 1上，且 BM＝ BD, AN＝ AE，求证：MN∥平
3 3
面 CDE.[2]
(例 2)
(见学生用书课堂本 P16)
[处理建议] 在教材第 12页的例 1中，我们曾用共面向量定理证明了 MN∥
平面 CDE.这里，我们将用坐标的方法加以证明，为此，只需证明向量N→M垂直于
平面 CDE的法向量．
[规范板书] 证明 因为矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，所以
AB, AD, AF互相垂直．不妨设 AB, AD, AF的长分别为 3a, 3b, 3c，以{A→B， A→D，
A→F}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz，则知点 B(3a, 0, 0), D(0,
3b, 0), F(0, 0, 3c), E(0, 3b, 3c)，
(例 2答图)
所以B→D＝(－3a, 3b, 0), E→A＝(0, －3b, －3c)．
B→M 1B→D → 1→因为 ＝ ＝(－a, b, 0), NA＝ EA＝(0, －b, －c)，
3 3
所以N→M＝N→A＋A→B＋B→M＝(0, －b, －c)＋(3a, 0, 0)＋(－a, b, 0)＝(2a, 0, －
c)．
→ → →
又平面 CDE的一个法向量是AD＝(0, 3b, 0)，由NM·AD＝(2a, 0, －c)·(0, 3b, 0)
＝0，得N→M⊥A→D.
因为 MN不在平面 CDE内，所以 MN∥平面 CDE.
[题后反思] 证明线面平行有两种方法：线面平行转化为直线的方向向量与
平面的法向量互相垂直；也可转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共
面，即应用共面向量定理来证明，但要说明该直线不在平面内．同时两种方法都
可以用坐标运算的方法证明．
如图，已知矩形 ABCD和矩形 ADEF所在平面互相垂直，点 M, N
1
分别在对角线 BD, AE上，且 BM＝ BD，当 AN与 AE满足什么数量关系时，MN
3
∥平面 CDE
(变式)
[规范板书] 证明 以{A→B， A→D， A→F}为正交基底，建立如图所示的空间
直角坐标系 A xyz.设 AN＝xAE, AB, AD, AF的长分别为 3a, 3b, 3c，则知点 B(3a, 0,
0), D(0, 3b, 0), F(0, 0, 3c), E(0, 3b, 3c)，
(变式答图)
所以B→D＝(－3a, 3b, 0), E→A＝(0, －3b, －3c)．
N→M N→A → → → → 1→因为 ＝ ＋AB＋BM＝xEA＋AB＋ BD＝(2a, －3xb＋b, －3xc)，又平面
3
CDE的一个法向量是A→D＝(0, 3b, 0), NM∥平面 ECD，所以N→M⊥A→D，
于是(－3x＋1)b2＝0，解得 x 1＝ .
3
AN 1故当 ＝ AE时，MN∥平面 CDE.
3
[题后反思] 立体几何中探究性问题用向量的坐标法求解比较方便，这类问
题比较重要，应熟练掌握．
例 3 如图，已知正方形 ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直，AB＝ 2，
AF＝1, M是线段 EF的中点．
(例 3)
(1)求证：AM∥平面 BDE；
(2)求证：AM⊥平面 BDF.[3]
(见学生用书课堂本 P16)
[处理建议] 要证明线面平行，只要在平面内找一条直线，证明它的方向向
量与已知直线平行；要证明线面垂直，只要证明直线与平面内两条相交直线垂直，
可用数量积为 0来证明．
[规范板书] 证明 (1) 以 C为坐标原点，CD, CB, CE所在直线为 x, y, z轴
的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设 AC∩BD＝N，连接 NE，则知点
2 2
， ， 0
N 2 2 ， E(0, 0, 1)．
(例 3答图)
2 2
N→
－ ， － ， 1
所以 E＝ 2 2 .
2 2
， ， 1
又因为点 A, M的坐标分别是( 2， 2， 0), 2 2 ，
2 2
－ ， － ， 1
A→M 2 2 . N→E A→所以 ＝ 所以 ＝ M.而 NE与 AM不共线，所以 NE
∥AM.
又因为 NE 平面 BDE, AM 平面 BDE，所以 AM∥平面 BDE.
2 2
－ ， － ， 1
(2) 由(1)知A→M＝ 2 2 .
因为 D点坐标为( 2， 0, 0), F点坐标为( 2， 2， 1), 所以D→F＝(0, 2，
1)．
2 2
→ → － －所以AM·DF＝ 2 ×0＋ 2 × 2＋1×1＝0, 所以 AM⊥DF.
同理可证 AM⊥BF.
又因为 DF∩BF＝F, DF, BF 平面 BDF, 所以 AM⊥平面 BDF.
[题后反思] 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：
① 证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行．
② 证明线面垂直，需转化为证明线线垂直．
③ 证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．
如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是边长为 a的正方形，
侧面 PAD⊥底面 ABCD，且 PA＝PD 2＝ AD，设 O, E, F分别为 AD, PC, BD的中
2
点，以 O为原点，OA, OF, OP所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立空间直角坐
标系：(1)写出点 E, F的坐标；(2)判断 EF与平面 PAD是否平行，并说明理由；
(3)判断平面 PAB与平面 PDC是否垂直，并说明理由．
(变式)
a a a
－ ， ， 0 a， ， 0
[规范板书] 解 (1) E 4 2 4 ， F 2 .
(2) 因为 PA＝PD，所以 PO⊥AD.
因为侧面 PAD⊥底面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，所以 PO⊥平面
ABCD.
又因为 O, F分别为 AD, BD的中点，所以 OF∥AB.又因为四边形 ABCD是
正方形，所以 OF⊥AD.
2
因为 PA＝PD＝ AD a，所以 PA⊥PD, OP＝OA＝ .
2 2
a 0 0 0 a 0 a a， ， ， ， － ， 0， 0 0， 0，
所以知点 A 2 ， F 2 ， D 2 ，P 2 ，
a a
， a， 0 － ， a， 0
B 2 ， C 2 .
0 a， ， 0
易知平面 PAD的一个法向量为O→F＝ 2 .
a a a a a
→ ， 0， － → 0， ， 0 ， 0， －因为EF＝ 4 4 ，所以OF·E→F＝ 2 · 4 4 ＝0，
所以O→F⊥E→F，即 OF⊥EF.而 EF 平面 PAD, OF⊥平面 PAD，所以 EF∥平面 PAD.
a a
(3) P→
， 0， －
因 为 A＝ 2 2 ， C→D ＝ (0, － a, 0), →所 以 PA · C→D ＝
a
， 0 a， －
2 2 · (0, －a, 0) 0 → →＝ ，所以PA⊥CD，所以 PA⊥CD.
又因为 PA⊥PD, PD∩CD＝O，所以 PA⊥平面 PDC.又因为 PA 平面 PAB，
所以平面 PAB⊥平面 PDC.
[题后反思] 对于第(3)问，也可以先求两平面的法向量，再判断两法向量是
否垂直．
例 4 在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F分别为棱 AB和 BC的
中点，试在棱 BB1上找一点 M，使得 D1M⊥平面 EFB1.[4]
[处理建议] 先假设 D1M⊥面 EFB1，寻找证明线面垂直的充分条件(D1M垂
直于平面内两条相交直线)，再转化为向量的垂直来解决．
[规范板书] 解 建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz，则知点 A(1, 0, 0),
1 1， ， 0
B1(1, 1, 1), C(0, 1, 0), D1(0, 0, 1), E 2 ，
(例 4))
0 1→ ， － ， －1
所以B1E＝ 2 →， AC＝(－1, 1, 0)．
1 1
－ ， ， 0
而 E, F分别为棱 AB BC E→F 1A→和 的中点，所以 ＝ C＝ 2 2 .
2
设点 M(1, 1, m)，所以D→1M＝(1, 1, m－1)．
因为D1M →⊥平面EFB1，所以D1M⊥EF, D1M⊥B1E，所以D1M·E→F＝0, D→ →1M·B1E
＝0，
1 1
－ ＋ ＋ m－1 ×0＝0，
2 2 1
即 1 解得 m＝ .1×0－ ＋1－m＝0， 2
2
故当 M为棱 B1B的中点时，D1M⊥平面 EFB1.
[题后反思] 此类问题如果不用坐标法解决，那么只能是先观察出结果，再
证明．若该点不特殊，则极不易观察，而通过坐标法来解，可以通过坐标运算得
出点的位置，更为方便．
四、 课堂练习
1. 如图，已知 P是正方形 ABCD所在平面外一点，M, N分别是 PA, BD上
一点，且 PM∶MA＝BN∶ND＝1∶2，求证：MN∥平面 PBC.
(第 1题)
证明 由题意知M→N＝M→P＋P→B＋B→N 1 1 1＝－ P→A＋P→B＋ B→D＝－ (B→A－B→P)＋
3 3 3
P→B 1＋ (B→A →＋BC) 1＝ B→C 2B→－ P.在 BC → 1→ → 2 → →上取点 E，使BE＝ BC，于是MN＝ (BE－BP)
3 3 3 2 3
2
＝ P→E，所以 MN∥PE.因为 PE 平面 PBC，MN 平面 PBC，所以 MN∥平面 PBC.
3
2. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中， AB⊥BC, AB＝BC＝2, BB1＝1, E为
BB1的中点，求证：平面 AEC1⊥平面 AA1C1C.
(第 2题)
证明 由题意知 AB, BC, BB1两两垂直，故以 B为坐标原点，BA, BC, BB1所
在直线分别为 x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图，则知点 A(2, 0, 0),
0 1， 0，
E 2 ， C1(0, 2, 1)，
→ －2， 0
1 1
， → 0， －2， －
所以AE＝ 2 ，C1E＝ 2 .
易知 n＝(1, 1, 0)是平面 AA1C1C的一个法向量．
设 m＝(x, y, z)是平面 AEC1的一个法向量，
1
－2x＋ z＝0，
m·A→E＝0， 2
则 即
m·C→
1
1E＝0， －2y－ z＝0.2
令 z＝4，则 x＝1, y＝－1, 所以 m＝(1, －1, 4)．
又因为 n·m＝1－1＝0, 所以 n⊥m, 所以平面 AA1C1C⊥平面 AEC1.
五、 课堂小结
1. 用向量证明平行的方法：(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．(2)
线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方
向向量与平面内某直线的方向向量平行．(3)面面平行：①证明两平面的法向量
为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．
2. 用向量证明垂直的方法：(1)线线垂直：证明两直线的方向向量垂直，即
证它们的数量积为 0.(2)线面垂直：证明直线的方向向量与平面的法向量共线．(3)
面面垂直：证明两个平面的法向量垂直．
3. 利用向量解决探索性问题的方法：与平行、垂直有关的探索性问题，解
题策略通常是假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻
辑推理，将空间中的平行与垂直转化为向量的平行或垂直来解决．
[1] 让学生体会基底法在证明线面垂直问题中的应用．
[2] 此题在教材第 12页已出现过，此处重新编排，一方面复习用共面向量
定理证明线面平行；另一方面促进学生积极主动地探究证明线面平行的其他方
法．培养学生发现问题、思考问题的能力，使学生掌握探究解决问题的一般的思
想、方法和途径．
[3] 巩固利用坐标法证明线面平行、线面垂直的一般方法．
[4] 了解与线面位置关系判断有关的探索性问题.

展开更多......

收起↑